2025-2026学年下学期湖北省宜昌高三数学调研测试试卷（含答案）

数学本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.一组数据18,20,21,22,28,30,32,36,40,41的第60百分位数为A.29B.30C.31D.322.已知复数z满足1−i1+A.10B.5C.2D.23.已知集合P=xxx−3<0,QA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知Sn为等差数列an的前n项和,若S4=A.84B.100C.103D.1285.已知函数fx=x−a3lnxA.2B.0C.-1D.-26.若α∈0,π2,cosA.π10B.π5C.3π7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,在“赵爽弦图”中,若AB=a,ADA.−213C.−6138.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,过F1A.2B.3C.2D.3二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分)9.设函数fx=A.函数fx在区间1,B.函数y=fC.直线y=2与曲线y=fD.斜率为-3的直线与曲线y=f10.已知数列an，a1=0，an+1=2an+2(n∈N∗)，数列A.a1+a2C.a5=11.如图1,梯形ABCD中,AB//CD,AB=2DC=4,BC=2,AB⊥BC,E,FA.在翻折过程中EG和BC可能平行B.M到平面ABC的距离的最大值为2C.直线AB和CM所成角可能为60D.若平面ACM⊥平面ABC,则三棱锥M−ABC三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.写出一个能使3x+2x2n13.已知圆C1与圆C2外切于点A2,0,且直线x=−2是圆C1与圆14.若曲线y=ex−1过点−1,0的切线恒在函数四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a(1)求证:a2−(2)设点D为线段AB延长线上一点,若AB=3,BD=116.(15分)如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AB=AC=AA1=1,平面ABC1(1)求证:AB⊥AC(2)当线段MN的长度最小时,求平面AMN与平面ABC117.(15分)已知函数fx(1)当时a<0时，求函数f(2)当时a=e时，求函数fx(3)求证:e+12已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点P(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l1:x=my+3m≥1与椭圆C交于A,B两点，直线l2过点M(i)求证:F1N平分(ii)若△AMN与△BMN的面积之比为3,求直线l19.(17分)在概率中,等效转换是计算复杂比赛概率的重要思想.例如:A、B两位选手进行3局2胜制比赛,每局A选手获胜的概率为p,B选手获胜的概率为1−p,且每局比赛相互独立.那么A选手在“3局2胜制”的赛制中获胜的概率,可等效为:A选手在3场比赛中至少赢2场.设3场比赛中A选手获胜的场数为ξ,那么ξ(1)若p=34，求A选手在“5(2)记A选手在“2n−1局n胜”的赛制中获胜的概率为P1；在“2n+1局n+1胜”的赛制中,A(3)网球大满贯赛事有两个签表，上半区有n+1名种子选手，下半区有n−1名种子选手n∈N∗且n≥2.每次抽签都等可能地随机选择一个签表,并抽出一名种子选手进入正赛,抽中后种子选手保留在签表内宜昌市2026届高三4月调研考试数学参考答案一、选择题:题号12345678解析CDBBCACD二、选择题:题号91011解析ABDACDBD三、填空题:12.7(答案不唯一,n=7k四、解答题15.(1)由sinB+sinC=2sin由余弦定理得b+c整理得a2−(2)在△ABC中，由余弦定理得cos∠在△CBD中,由余弦定理得cos∠CBD因为∠ABC与∠CBD互补,所以cos∠即a2+c2−整理可得25=43a2−此时CA2+AD2=32+所以△ACD的面积为S△16.(1)连接A1C交AC1于点在直三棱柱ABC−A1B1C因为AC=AA1,所以四边形ACC1因为平面ABC1⊥平面ACC1A1,平面ABC1所以CD⊥平面ABC因为AB⊂平面ABC1,所以又AA1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC因为CD∩AA1=A1,CD,AA1因为AC⊂平面ACC1A1(2)由(1)知，AC,AB,AA1两两垂直，以A为坐标原点，AC,AB,AA1令AMAC1=A于是MN=则当λ=13时，MN此时M13,0,设平面AMN的一个法向量为n=则n⋅MN=0,n⋅AM=0,即由(1)知A1C⊥平面ABC1，则A1C=设平面AMN与平面ABC1夹角为θ,则故平面AMN与平面ABC1夹角的余弦值为317.(1)函数fx的定义域为0,+∞当a<0时,f′x>0,则f所以函数fx的单调递增区间为0,+∞,无单调递减区间.(2)当a=e时，fx令gx=f′x,则g′x=x+1ex+ex又f′1=0,所以当x∈0,1时,f′所以fx在0,1单调递减,在1,+∞所以fxmin(3)由(2)知，x−1ex≥elnx，即x−1令x=k+1k所以k=即e+1218.(1)由题意知F1−3,0,因为椭圆经过点P4,1,所以联立①②解得a2=所以椭圆C的标准方程为x218(2)(i)l1:x=my+3mF1则F1A同理F1B=22所以cos<Fcos<F1所以cos<F1A,F所以F1A,F1N=<F1B,F1N(ii)设l1与l2相交于点Px0,即y1−y0y0联立x=my+3,x218+由韦达定理得,y1不妨设y1>0,y2联立x=my+3,所以2×−6mm2即m2−17m4+14m所以m2=1,又m≥1故直线l1的方程为x=y+319.(1)设事件A为“5局3胜”的赛制中获胜A选手获得最终胜利,则事件A等效于A、 B进行5局比赛且A至少胜3局.记5局比赛中A获胜的局数为X1,由题意得X1所以PA=(2)证明:设A、B进行2n−1局比赛，甲赢的局数为X则X2∼“2n+1局n+1胜”的赛制中，A①若第2局A输，则后续打满2n−1局比赛，甲至少胜n②若第2局A胜，则后续打满2n-1局比赛，甲至少胜n-1局；7分由全概率公式得P2=所以P=p⋅(3)证明:不妨设有无数名种子选手，上半区的所有种子选手先被抽完⇔“上半区抽完n