河南平顶山市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南平顶山市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知，，若，则（

）A.2 B. C. D.2.甲、乙分别报名参加春季运动会中的跳远、1500米、铅球三项比赛项目，根据运动会比赛安排，这三项比赛同时进行，每人只能报其中一项，则不同的报名种数为（）A.9 B.8 C.6 D.53.记为数列的前项和，已知，则（

）A. B.

C. D.4.若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（

）A. B. C. D.5.如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（

）

A. B. C. D.6.已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（

）A. B. C. D.7.已知A，B，C，D四名同学参加诗歌朗诵比赛，已评出名次（第一名至第四名，无并列名次），但未公布，一位评委提供如下信息：A不是第四名，B，D两人名次不相邻，根据上述信息，这4人名次排列情况可能的种数为（

）A.6 B.8 C.10 D.128.已知不经过点的直线：与双曲线：交于，两点，若的角平分线与轴垂直，则双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知函数，且，则（

）A. B.在上单调递增

C.只有一个极值点 D.有三个零点10.已知，则（

）A. B.

C. D.11.已知数列满足，设，的前项和分别为，，则（

）A. B.

C.当时， D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数，则曲线在点处的切线方程为

.13.已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则

.14.某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用4天到7所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，7所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有

种四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知二项式的展开式中第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍.(1)求的值；(2)求展开式中的常数项.16.(本小题15分)已知椭圆：经过，两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的左焦点的直线交于，两点，其中点在第二象限内，点在第三象限内，若的面积等于的面积，求.17.(本小题15分)已知数列满足.(1)求，的值；(2)求数列的通项公式；(3)记为数列的前项和，令，求使取得最大值时的值.18.(本小题17分)如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.

(1)证明：平面.(2)若存在点，使得点到，，，的距离相等.（ⅰ）求点到平面的距离；（ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值.19.(本小题17分)已知函数.(1)当时，（ⅰ）求在区间上的值域；（ⅱ）证明：，.(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】5

14.【答案】2160

15.【答案】解：（1）由题意可知，，则，又，所以，解得.（2）二项式的展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的常数项为.

16.【答案】解：（1）由题意可知，解得，，故椭圆的标准方程为.（2）由（1）可知，椭圆的左焦点为，如图，因为的面积等于的面积，所以点，到直线的距离相等，结合图形可知，，则，所以直线的方程为.由消去整理得，解得，设，，则

17.【答案】解：（1）当时，；当时，，解得.（2）因为，所以当时，，两式相减，得，当时，也满足上式，所以.（3）由（2）知，，因为，所以数列为等差数列，则，所以，，令，解得，，令，解得，，令，得.所以，综上可知，取得最大值时的值为4或5.

18.【答案】解：（1）证明：在矩形中，因为//，，所以四边形为正方形，则，，即，又，所以平面，则是平面的一个法向量，同理证得平面，又平面，所以，即，又平面，所以//平面.（2）连接，，由（1）知，//，且平面，所以平面，则，因为平面平面，且，平面平面，所以平面，又平面，则，在，中，当为的中点时，点到，，，的距离相等.

（ⅰ）由上知，，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，.设平面的法向量为，，令，则所以点到平面的距离为.（ⅱ）由可知，点在以为球心，以为半径的球的球面上，当，，共线，且位于线段上时，取得最小值.由坐标系可知，，，所以，则，又，设平面的法向量为，，令，则，由（1）知是平面的一个法向量，记为，于是，故平面与平面夹角的余弦值为.

19.【答案】解：（1）当时，，（ⅰ），所以在上单调递增，则，，所以在区间上的值域为.（ⅱ）要证明，，需证明在上恒成立，令，，则，因为，所以，则，当且仅当时取得等号，所以，则在区间上单调递减，故，即，综上可知，，.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则，即.在上恒成立转化为在上恒成立，令，则，令，则，令，则，当时，，所以单调递减，当时，，所以单调递增，因为，