重庆市重庆八中高2026届4月强化训练（四）数学+答案

重庆八中高2026届4月强化训练(四)数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.样本数据16,24,10,30,12,14,40的中位数为

A.24B.16C.15D.20

2.设集合A={x|x²-4x-5≤0},,则A∩B=

A.(-1,0)B.[-1,0]C.(-1,0)D.[-1,0]

3.记等差数列{an}的前n项和为Sn,a₃+a₇=6,a₁₂=17,则S16=

A.120B.140C.160D.180

4.在的展开式中常数项为6,则a=

A.±1B.1C.±6D.6

5.直线1:y=-2x+p与x轴相交于点A,与抛物线C:y²=2px(p>0)的准线相交于点B,

过点B作C的准线的垂线与C相交于点D,若|AD|=5,则p=

A.1B.2C.3D.4

6.设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=6-2x,则

A.B.D.

7.已知,则

A.B.D.

8.已知关于复数z的方程(z²+9)(z²-2az+a²+25)=0(a>0)的四个互异复根在复平面上顺

次连接构成一个凸四边形.若这四个顶点恰好共圆，则当该圆的半径最小时a的值为

A.2B.3C.4D.5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x-3)e-¹+2,则

A.

B.f(-1)=0

C.当x<0时，f(x)=(x+3)e⁻x-¹-2

D.f(x)的极大值为e-2

10.已知曲线C:x|x|-y|y|=1与坐标轴交于A,B两点，点P在C上，则

A.|AB|=√2

B.C为轴对称图形

C.直线y=x与C有两个公共点

D.使得△PAB的面积为的点P恰有2个

11.水平桌面上有一个装满水的倒置的圆台形纸杯，下底面半径为R,

上底面半径为r(R>r),高为h.将杯身倾斜，纸杯底最低点

始终接触桌面，当水面恰好同时经过杯口最低点和杯底最高点时，

记杯身轴线与竖直方向夹角为θ,母线与轴线夹角为φ,下列说

法正确的有

A.若,则h=R+r

B.若,则2h=R-r

C.若θ=φ,则水面与杯壁交线上两点间的最大距离为√2R(R+r)

D.若θ=φ,R=2r,则水面与杯壁交线的离心率为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知θ∈(0,π),平面向量a=(sinθ,1),b=(sinθ-1,2sinθ),若a⊥(a-b),

则函数的单调递减区间为_·

13.曲线xy=1在点T(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为

14.已知点O(0,0),A(4,2),B(2,-1),点P在双曲线C:上，记△OAP的面积为S,

△OBP的面积为S₂,则S₁+S₂的最小值为·

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

以离心率为的椭圆C:(a>b>0)的顶点为顶点的四边形面积为4√3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(0,-2)的直线交C于A,B两点，,0为坐标原点，求△OAB的面积.

16.(15分).

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是正三角形，A₁A⊥BC,A₁C⊥AB.

(1)求证：A₁A=A₁B=A₁C;

(2)若∠A₁AB=∠A₁AC=45°,且AB=2,求直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角的余弦值.

17.(15分)

已知f(x)=-1+alnx(x>0)

(1)设函数g(x)=f(x)+x,讨论函数g(x)的单调性；

(2)当0<x≤1时，,求实数a的取值范围.

18.(17分)

已知等差数列{an}的公差为4,其前8项之和为144.等比数列{bₙ}的公比为q(q>0),

且b₁=4,b₃-b₂=48.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)记

(i)证明：数列{c²—c₂n}是等比数列；

(ii)证明：

19.(17分)

盒子A中装有(2n-1)张普通卡片和1张幸运卡片，另有足够多的备用盒子，每盒各有n张

空白卡片(n≥3).每次操作分为以下步骤：

①将盒子A里的卡片取出并充分洗匀，随机分成数量相等的两叠；

②保留含有幸运卡片的一叠，另一叠移出不再使用；

③取一个备用盒，将其中的n张空白卡片全部加入保留的一叠卡片中并洗匀，放入盒A中，

重复上述操作，直至盒子A中无普通卡片.

(1)当n=3时，进行2次操作后，记盒子A中普通卡片数量为X,求X的分布列，并求

出此时盒子A中最有可能的普通卡片张数；

(2)记在某次操作后，盒子A中恰有Y张普通卡片(Y≠2n-1且Y≠0),且从此时起，

再经Z次操作后盒子A中恰好无普通卡片.

(i)若Y=2,证明：

(ii)若Z=1,求E(Y).

重庆八中高2026届4月强化训练(四)数学答案

一、单选题

题号12345678

答案BCCABCDC

1.解：将这组数据从小到大排列：10,12,14,16,24,30,40,中位数为16,故选B

2.解：法一∵x²-4x-5=(x-5)(x+1)≤0,∴-1≤x≤5,即：A=[-1,5]

又∵,∴-2<x<0,即：B=(-2,0),∴A∩B=(-1,0).故选C

法二显然0∉B,排除BD;显然排除A,故选C

3.解：∵a₃+a┐=2a₅=6,∴a₅=3,∴as+a₁2=a₁+a16=20,∴.选C

4.解：法一在的展开式中，第r+1项为(r=0,1,2,3,4)

令4-2r=0,得r=2,∴常数项为T₃=C²a²=6a²=6,解得a=±1.故选A

法二欲得常数项，只有一种情形：2个括号取ax,2个括号取,∴C2-a²=6a²=6。故选A

5.解：由题意，恰为C的焦点.C的准线为

令y=2p,∴即D(2p,2p),由抛物线定义：,∴p=2,选B

6.解：由题意，,故选C

7.解：法一∵

又∵选D

法二∵

联立,解得：,后同法一

8.解：由题意，有：z²+9=0或z²-2az+a²+25=0,解得：z₁=3i,z₂=-3i,Z₃=a+5i,z₄=a-5i

对应复平面上的四个点不妨记为A(0,3),B(0,-3),C(a,5),D(a,-5)

注意到四点关于x轴对称，若共圆则圆心必在x轴上.

设圆心为0(m,0),∵|Ao|=|co|,∴m²+9=(m-a)²+25,解得：(a>0)

取等条件：a=4,故选C

二、多选题

题号91011

答案BCDABDACD

9.解：对A:∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴必有f(0)=0,A错

对B:,B对

对C:令x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x-3)e⁻x-¹+2

又∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)=(-x-3)e-x-1+2,∴f(x)=(x+3)e-x-¹-2,C对

对D:当x>0时，f(x)=(x-3)eˣ⁻¹+2,∴f'(x)=(x-2)eˣ-1

∴f(x)在(0,2)上单减，在(2,+o)上单增，∴f(x)在(0,+∞)上有唯一极小值f(x)极小=f(2)=2-e

又∵f(x)是R上的奇函数(图象关于原点成中心对称),∴f(x)极大=f(-2)=e-2,D对

10.解：对A:不妨令曲线C与x轴、y轴分别交于A,B,令y=0,得x=1,∴A(1,0)

令x=0,得：y=-1,∴B(0,-1),∴|AB|=√2,A对

对B:当时，曲线C:x²-y²=1(第一象限);

当时，曲线C:x²+y²=1(第四象限);

当时，曲线C:x²+y²=-1(第二象限无图象);

当时，曲线C:y²-x²=1(第三象限);

故猜想曲线C关于直线y=-x对称，证明如下：

令M(x,y)为曲线C上任意一点，M(x,y)关于直线y=-x对称的点为N(-y,-x)

显然-1-|-(-x)|-x|=x|x-yy|=1,说明N(-y,-x)也在曲线C上，证毕.故B对

对C:法一：联立得0=1,无解，故C错

法二：作图，显然C错

对D:。,∴点P到直线AB的距离为.

①若点P在第四象限，此时C的轨迹是圆心为(0,0),半径为1的圆在第四象限的部分图象

圆心(0,0)到AB:x-y-1=0的距离为,因此点P到AB的距离的最大值为

∴△PAB面积的最大值为·√2.

∴不存在满足条件的点P

②若点P在第一或第三象限

∵x²-y²=1(x>0,y>0)与y²-x²=1(x<0,y<0)的渐近线均为y=x一

直线y=x与直线y=x-1的距离为

∴如图，满足题意的点恰好有两个，故D对

11.解：对A:如图，若则△OO₁A,△OO₂B均为等腰直角三角形，

则h=|o₁O₂|=|oo|+|oO₂|=|0₁A+|O₂B|=R+r,A对

对B:如图，若,作DC⊥O₁A于C,则φ=∠CDA,则R-r=|o₁4-|o₁C|=|CA|=|cD|=h,B错

对C:若θ=φ,则AB⊥EB,则该圆台形纸杯的轴截面如图：

则△BEF∽△ABF,则,则h²=(R+r)(R-r)=R²-r²

此时水面与杯壁交线为椭圆，两点间的最大距离即|AB|=√²+(R+r)²=√2R(R+F),C对

对D:如图，取O₁O₂的中点O₃,以O₃为圆心的截面圆与椭圆截面的交线为弦GH,作O₃T⊥GH于T

弦长即为该椭圆的短轴长.由选项C知：△BEF∽△ABF,∴

,故离心率,D对

AA

选项AB图选项C图选项D图

三、填空题

题号121314

答案x²+y²-2x-2y=02√2

12.解：∵a-b=(1,1-2sinθ),∴a⊥(a-b)→a·(a-b)=(sinθ,1)·(1,1-2sinθ)=1-sinθ=0

∴sinθ=1,又∵θ∈(0,π),∴

令2kπ≤2x≤π+2kπ,∴(k∈Z),

13.解：∵xy=1,∴,y|x-1=-1

∴曲线xy=1在点T(1,1)处的切线：y-1=-(x-1),即：y=-x+2

∴切线与坐标轴交点A(2,0),B(0,2),0为坐标原点，

∴Rt△ABO的外接圆方程为：(x-1)²+(y-1)²=2,即：x²+y²-2x-2y=0

14.解：法一：设点P(x₀,y%),则x2-4y2=4

直线OA:,即：x-2y=0;直线OB:即：x+2y=0

|o4|=√(4-0)²+(2-0)²=2√5,点P(x₀,y。)到直线OA的距离

|oB|=√(2-0²+(-1-0²=√5,点P(x₀,y。)到直线OB的距离

,则uv=4,

当且仅当即4=|xo-2yo|=√2时，等号成立，∴S+S₂的最小值为2√2

法二：双曲线上任一点P(xo,y0)到两渐近线的距离之积为定值(结论，请同学们自证)

本题中，OA,OB所在直线均为双曲线的渐近线，

当且仅当取等

四、解答题

15.解：(1)由题意：,∴ab=2√3……………1分

又∵,∴a=2c………………2分

联立,∴…………3分

∴椭圆的方程是：…………分

(2)当直线I的斜率不存在时，∵,∴不合题意…………………5分

当直线1的斜率存在时，令1:y=kx-2,A(x₁,y),B(x₂,y₂2)

联立：得：(3+4k²)x²-16kx+4=0………………7分

∵△=(16k)²-16(3+4k²)=48(4k²-1)>0,∴………………8分

解得k²=110分

经检验：∴k²=1符合题意………………11分

原点O到直线AB的距离………………12分

…………………13分

16.解：(1)证明：作A₁O平面ABC于点0,∵BCc平面ABC,∴A₁O⊥BC

又AA₁⊥BC,AA₁∩OA₁=A₁,AA₁c面A₁AO,A₁Oc面A₁AO

∴BC⊥平面A₁AO,A0c面A₁AO,∴BC⊥A02分

同理可证：AB⊥CO3分

又△ABC是正三角形，则0是△ABC的中心

连结AO并延长交BC于点E,连结CO并延长交AB于点F,则E,F分别为BC,AB的中点

又A₁Ec面A₁AO,∴BC⊥A₁E,故A₁B=A₁C5分

同理可证：A₁B=A₁A

综上所述，A₁A=A₁B=A₁C6分

(2)法一：如图：以BC的中点E为坐标原点，以EA,EB所在直线分别为x轴，y轴的正方向，

过E且与OA₁平行的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系…………7分

则A(√3,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),………………8分

设平面AA₁B₁B的法向量为n=(x,y,2),∵AB=(-√3,1,0),

………9分

取z=1,!)…………11分

……12分

令直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角为θ

·,即：直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角的余弦值·……………15分

法二：观察到A₁A,A₁B,A₁C两两垂直，故以A₁为原点，A₁A,A₁C,A₁B分别为x,y,z轴建立空

间直角坐标系，则A₁(0,0,0),A(√2,0,0),B(0,0,√2),A₁C₁=AC=(-√2,√2,0)

∴G(-√2,√2,0),AC₁=(-2√2,√2,0),平面AA₁B₁B的一个法向量n=(0,1,0)

,即直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角的余弦值

C

法三：连接AC₁交A₁C于点D,设点D到平面AA₁B₁B的距离为d

则直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角θ的正弦值即为

由题意：A₁A,A₁B,A₁C两两垂直

,∴直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角θ的余弦值

(直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角θ就是∠DAA₁)

17.解：(1)g(x)=alnx+x-1,

当a≥0时，g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞o)单增………………2分

当a<0时，令g(x)>0,则x>-a;令g'(x)<0,则0<x<-a

∴g(x)的单增区间为：(-a,+0),单减区间为：(0,-a)…………………5分

(2)法一：原不等式(0<x≤1)

①当a<0时，当时，-1+alnx>0,1nx<0,∴,不合题意………7分

②当a≥0时，原不等式⇔(1-x)(-1+alnx)≥Inx⇔x-1-(ax-a+1)lnx≥0

令h(x)=x-1-(ax-a+1)lnx(0<x≤1)

贝

注意到：

当a≥1时，h”(x)<0,∴h'(x)在(0,1)单减，∴h(x)>h'(1)=0

∴h(x)在(0,1)单增，∴h(x)≤h(1)=0,不合题意……9分

当a=0时，h(x)=x-1-Inx,9∴h(x)在(0,1)单减，∴h(x)≥h(1)=0,符合题意

当时，h"(x)>0,∴h'(x)在(0,1)单增，∴h(x)<h(1)=0

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∴h(x)在(0,1)单减，∴h(x)≥h(1)=0,符合题意……………12分

当时，令h"(x)<0,则ax+(a-1)>0,∴,∴h'(x)在)单减，

∴h(x)>h'(1)=0,∴h(x)在单增，∴h(x)≤h(1)=0,不合题意…14分

综上所述，…………………15分

法二：端点效应

①a<0时，参考法一，不成立

②a≥0时，原式⇔alnx-axlnx-1nx+x-1≥0,令g(x)=alnx-axlnx-Inx+x-1,g(1)=0

,g'(1)=0,,g”(1)=1-2a≥0∴

当时，,∴g'(x)个∴g(x)在x∈[0,1]↓,g(1)=0∴g(x)≥0

另外：当时，由g”(x₀)=0,得∴g'(x)在(0,x。)↑,[x,1]↓

又∵g'(1)=0,∴g(x)在(x₀,1)个且g(1)=0,与题干矛盾

当a≥1时，g"(x)<0g'(x)↓,g'(1)=0∴g'(x)≥0∴g(x)个且g(1)=0,与题干矛盾

综上所述：

法三：

①a<0时，参考法一，不成立

②a≥0时，令t=Inx≤0,原式⇔恒成立，

,g'(0)=0,

当时，g"(0)<0,,3t₀<0,当t∈(t₀,O)时，g"(t)<0:g'()在(t₀,O)↓,g'(t)>g'(0)=0

∴g(t)在(t₀,0)个，∴g(t)<g(0)=0,不成立

当时，恒成立，,∴h(a)在

,即证恒成立，

⇔m(t)=(t-2)e+t+2≤0在(-∞,0)恒成立，m'(t)=(t-1)e'+1,m'(0)=0

m”(t)=te'<0,m'()在(-∞,0)↓,m'(t)>m'(0)=0,∴m(t)在(-∞0,0)↑,m(t)<m(0)=0成立

法四：分参

①a<0时，参考法一不成立

②a≥0时，1°x=1时，得a≥0

2°x∈(0,1)时，

令

,p(1)=0,

∵p'(x)≤0,∴