之存在性问题专题复习含解析浙教版2024八年级数学下册专题突破期末复习6四边形期末复习

期末复习6四边形期末复习之存在性问题专题复习

1.（东阳市期末）如图，四边形仍力。是矩形，0C=2,08=6,反比例函数了=区的图象过

x

点A.

（1）求A的值.

（2）点〃为反比例图象上的一点，作外J_直线力。，必」＞轴，当四边形版第是正方形

时，求点尸的坐标.

（3）点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点0,使得以/I、B、

0、G为顶点组成的平行四边形面积为14?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说

明理由.

【分析】（1）先求出点J坐标，代入解析式可求解；

（2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解；

（3）由平行四边形的面枳为14,可求点。坐标，再分力笈为边和对角线两种情况讨论,

由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解.

【解答】解：（1），：0€=2,046,

・•・点。（2,0）,点5（0,6）,点力（2,6）,

•・•反比例函数y=区的药象过点儿

x

:.4=2X6=12；

（2）VA=12,

・••反比例函数解析式为：夕=卫，

x

设点P（a,卫），

a

•・•四边形外".是正方形，

:,PD=PE,

当点,在第一象限时,

a

**•^i=V13+1»包舍去）

・,・点夕V13-1）;

当点尸在第三象限，

a

/.ai=V13+l（舍去），^=1-V13»

工点户-1-V13）：

综上所述：点尸坐标为（后+1,V13-1）或（1-V13，-1-V13）；

（3）设点0坐标为（力，—）,

b

若AB为边,

•・•以力、B、0、G为顶点组成的平行四动形面积为14,

,・.2X|6・卫|=14,

b

：・b\=-12,b>=—,

13

・•.点0（・12,・1）或（卫，13）,

13

•・•以力、B、。、G为顶点组成的四边形是平行四边形，

:.AB=QG=2,AB〃QG,

・••点G（・10,・1）或（-14,-1）或（遛，13）或（■[i,13）；

1313

若力?为对角线，

设点G（必y）,

•・•以尔B、。、。为顶点组成的四边形是平行四边形，

・•・/1〃与的互相平分，

12

・切或

2+0=-12+x6+6=-12+0=U+x6+6=13+y

**——2-'F22~~~2~'-2

/.^i=14,yi=13,或的=四，y2=-1,

13

，点G（14,13）或（11,-1）,

13

综上所述：点G的坐标为（-10,-1）或（-14,-1）或（邈■,13）或（-2生13）

1313

2

或(14,13)或(21,-1).

13

2.(丽水期中)如图，在菱形力以刀中，NZZ4Q60。，肪=2,点后是边上的动点，作/

以的=60°交比于点。点户在力〃上，P1)=PE.

(1)求证：AE=BQ；

(2)连接图EQ,当NHg90°时，求其的值;

PQ

(3)当/^为何值时，△星'。是等腰三角形.

【分析】(1)如图1中，连接血.证明△力($1S)即可.

(2)如图2中，连接阳PQ,HD.首先证明△〃/力是等边三角形，求出DE,证明四边形

力/型是平行四边形即可.

(3)分两种情形：如图3・1中，当。/三。£时，作QML切于M.求出国即可.如图3

-2中，当PE=QE时，点、E与B重合,点产与力重合，点。与。重合，此时/£=45=2.

【解答】(1)证明：如图1中，连接劭.

图1

•・•四边形/切切是菱形,

AZ/l=Zr=60°,AB=BXBACD,

:.丛ABD,△胸都是等边三角形，

・•./[=/〃即=60°,AD=DB,

♦：4AD44EDQ=60°,

：,4A1)E=4BDQ，

・•・△/，庞也(ASA\

:"E=BQ.

3

DQP=4EQP=30°,

：./ADQ=谊,

VZJP6*=120°,

；・/①仁45°,设以/=a,则。=2a,DM=QM=4^a,

•：CD=AB=2,

工升禽a=2,

/.a=V3-1.

:.CQ=2M-2,

：,AE=BQ=BC-CQ=\-2a.

如图3-2中，当用=。月时，点/与〃重合，点产与力重合，点。与。重合，此时力夕=

AB=2.

图3-2

综上所述，满足条件的〃的值为4-2、经或2.

3.（湖州）如图1,在平面直角坐标系x0中，已知△/1//力比、=90°,顶点力在第一象

限，B,。在x轴的正半轴上（C在8的右侧），BC=2,AB=2心与△48c关于

力。所在的直线对称.

5

(1)当如=2时，求点〃的坐标；

(2)若点力和点〃在同一个反比例函数的图象上，求您的长；

(3)如图2,将(2)中的四边形/历切向右平移，记平移后的四边形为过点

。的反比例函数y=K(*WO)的图象与力的延长线交于点只问：在平移过程中，是

x

否存在这样的h使得以点R4,〃为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写

出所有符合题意的左的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)如图1中，作如J_x轴于反解直角三角形清楚〃E,四即可解决问题：

(2)设如=小则点/I的坐标(a,2畲)，由题意31.DE=g,可得〃(3+a,

点力、〃在同一反比例函数图象上，可得(3+a),清楚a即可；

(3)分两种情形：①如图2中，当点4在线段C力的延长线上，且出〃月〃时，NPA\D

=90°.

②如图2中，利用勾股定理的逆定理，构建方程分别求解;

【解答】解：(1)如图1中，作，轴于£

tanZACB=^-=yJ~3,

BC

AZ/!6^=60°,

根据对称性可知：DC=BC=2,ZACD=ZACB=^°,

••・//尤2=60°,

6

:・/CDE=90°-60°=30°,

：.CE=\,第=如,

：・OE=OB^BC+CE=3,

・•・点〃坐标为（5,V3）.

（2）设如=a,则点A的坐标（a,2«）,

由题意"=1.DE=4i，可得〃（3+a,V3）»

•・•点尔〃在同一反比例函数图象上，

：,2^3a=^/3（3+a）,

a=3>

・••仍=3.

(3)存在.理由如下:

①如图2中，当点4在线段切的延长线上，且7%〃力〃时，ZMP=90°.

在Rt△加弭中，•♦•/4%=60。,

:m=生区,

3

:.PB=a®,

3

由（2）可知尸（3,L）,

3

.\A-=10A/3.

7

②如图2中，由题意“（6,心,设夕（3,区），4（3+力，2«），〃（6+力，鱼），

3

贝|J〃=3、（V3-—）2»M2=（3-7?）2+（V3）\M2=/?2+（^-2V3））

33

当/为|/>=90°时，3〉-（V3-—）2=（3-/7）2+（V3）2+/?2+（区-2百）2,

33

又•・•畲（6+力）=3,

可得女=10«,

当/物产90°时，同法可得4=12畲，

综上所述，%的值为l（h/§或124§.

4.（永康市期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形如宽的顶点力在彳轴上，B,C

在第一象限，反比例函数y=Kawo）的图象经过点。，交AB于D,已知优—12,OA

x

=46，ZAOC=eO°

（1）求反比例函数y=K（20）的函数表达式；

x

（2）连接⑦，求△869的面积；

（3）尸是线段3上的一个动点，以/!尸为一边，在.伊的右上方作正方形力阳；在点尸

的运动过程中，是否存在一点夕使顶点£落在。勿砥的边所在的直线上，若存在，请求出

此时伊的长，若不存在，请说明理由.

【分析】（1）过点。作轴于点G,构造含60°角的RtZ\&G,利用*=12和/月3

的正弦余弦值，即求得仇;、》的长，得到点C坐标，用待定系数法即求得反比例函数表

达式.

（2）由平行四边形物/K边长宏=4近可求得点8坐标，进而求直线49解析式.把直

线/出解析式和反比例函数解析式联立方程组，求解即得到点〃坐标.过点D作DHIBC

于点儿易得心箭=2比'・〃〃，代入计算即求得△比〃的面积.

2

（3）求直线/解析式，设点尸横坐标为勿，用加表示其纵坐标.过点尸作月月_十轴于点

M,过点£作£iV_L直线〃夕于点/V,由正方形尸性质即可证△〃，性/△如昭，可得*/=/1必

8

=4近，.’怯=4必，即得到用力表示点后坐标.由于点£可能落在。物比的边比1、BC、AB

上，故需分类讨论.①落在％上时，把点后坐标代入直线%解析式，解方程求m即得

到点尸坐标，进而求少的长：②落在回上，则点6纵坐标等于点。纵坐标，列得方程：

③落在/步上，把点E坐标代入直线/步解析式再解方程.

【解答】解：(1)如图1,过点。作C6_Lx轴于点G

・•・/庞Z=90°

•・•仇=12,/欢=60，

/.cosZ.A()C=^-~,sinZJ^X—空XI

0C20C2

：・OG=工OC=G,

22

・・・C(6,6V3)

••・反比例函数y=K(B0)的图象经过点C

X

・・・6北=区解得：A=36禽

6

・•・反比例函数的函数表达式为尸毁巨

(2)如图2,过点〃作加「砥于点〃

••・勿=4五，点力在x轴上

：,A(4心0)

••・四边形/比'是平行四边形

/.BC//OA,BC=()A=4弧

XB=X&BC=6+4V3，yp=yn=y(=6^3

・"(6+4«,673)

设直线力6解析式为尸aQb

.14后黄。解得：Ja=V3

(6+4V3)a+b=6V3b=-12

••直线仍y=V3.v-12

••点〃为线段/应与反比例函数图象的交点

xx=6^3x?=-2x/3

解得：或I(舍去)

Vi=6

y2=-is

9

：.D（6^3，6）

：J）H=6如-6

:.S△解=LBODH=工义4g乂（673-6）=36-\2弧

22

（3）存在点〃使顶点E落在。。伊。的边所在的直线上.

如图3,过点尸作轴于点M,过点/作£，月_直线出于点"

:./对伊=NA，怯=90°

vr（6,6V3）

・•・直线宏解析式为尸畲X

•・•点户在线段比、上

・•・设点P坐标为（勿，八巧加（0W辰6）

：.Q\f=m,P'f=gm

：,AM=OA-〃仁4«・m

•・•四边形加犷是正方形

:.AP=PE,ZJ/^=90c

:.4EP24AP4N力/掰/刚,"=90°

：・/EPN=/PAM

在△月访与△/1"中

fZPNE=ZAMP

ZEPN=ZPAM

|PE=AP

•••△⑶四△川火（AAS'）

:,PN=AM=限后-m,NE=PM=心）

:.x产X、NNE=研%=/=.啾'=P\bPN=V34V3-/〃

E（/〃i/^加，V3^4A/3~加）

①若点/：'落在直线3上，则盯肘可分-Z/7=V3（疗«/〃）

解得：m=M

.”（5,3）,^^（V3）2+32=2>/3

②若点后落在直线比上，则勺与加4班■加=6五

解得：m=3+J京

10

••/（3+近,3后3）,（3+V3）2+（3V3+3）2=6+2V3

③若点夕落在直线相上时，直线力见尸肥x-\2

/.V3（亦4^>m）-12=升4-/〃

解得：m=3+J§,即点落在直线"C与直线4〃交点处

综上所述，0p=2a或（6+2近）时，点少落在口曲配的边所在的直线上.

以\

5.（杭州期末）如图，四边形4砥9的四个顶点分别在反比例函数尸且与尸二（x>0,0

xx

<m<n）的图象上，对角线8〃〃y轴，且BD工AC于点P.己知点8的横坐标为4.

（1）当m=4,〃=20时.

①若点尸的纵坐标为2,求点A和点〃的坐标.

②若点P是做的中点，试判断四边形力成’〃的形状，并说明理由.

（2）四边形/必⑦能否成为正方形？若能，求此时m,〃之间的数量关系；若不能，试说

明理由.

II

【分析】（1）①利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点小8的坐标；

②由①可得出点片D,由点尸为线段初的中点可得出点夕的坐标，利用反比例函数图象

上点的坐标特征可得出点儿c的坐标，进而可得出弘=/r,结合力=即可得出四边形

力及力为平行四边形，再结合做可得出四边形力比〃为菱形；

（2）当四边形力笈刀为正方形时，设PA=PB=pc=PAt（I手0）,利用反比例函数图象

上点的坐标特征可得出点片的坐标，由PA=PB=t可得出点A的坐标，利用反比例函数

图象上点的坐标特征可得出6=4-且，由点方的坐标结合劭=2£可得出点〃的坐标，再

4

利用反比例函数图象上点的坐标特征川得出加〃=32.

【解答】解：⑴①些x=4时，y=l=l,

x

，点8的坐标为（4,1）：

当y=2时，2=',解得：x=2,

x

・•・点力的坐标为（2,2）.

②四边形4%9为菱形，理由如卜.：

由①得：点8的坐标为（4,1）,点〃的坐标为（4,5）,

•・•点夕为线段初的中点，

・••点P的坐标为（4,3）.

当y=3时，3=A,解得:x=—,

X3

・•・点力的坐标为（3，3）：

3

当尸3时，3=22,解得：

x3

・••点。的坐标为（2&,3）.

3

...以=4・3=旦，Q殁-4=3,

3333

：.PA=PC.

'：PB=PD,

12

・•・四边形/!比'〃为平行四边形.

又•：BD1AC,

・•・四边形力腼为菱形.

（2）四边形力谶能成为正方形.

当四边形力以》为正方形时，设PA=PB=PC=PD=t（廿。）.

当x=4时，"=皿=皿，

x4

.•.点8的坐标为（4,卫），

4

，点力的坐标为（4-3-+t）.

4

•・•点力在反比例函数尸汉的图象上，

x

/.（4-t）（―+^）=扭,化简得：t=4--,

44

，点〃的纵坐标为典+2£=典+2（4-典）=8-皿，

4444

・••点〃的坐标为（4,8-典），

4

A4X（8-且）=〃，整理，得：研〃=32.

4

即四边形1成为能成为正方形，此时/淤〃=32.

6.（宁波期末）【基础巩固】

（1）如图1,AC//DF,RSABgRSDEF,连结力〃BE,求证：四边形/!«/力是平行四

边形.

【尝试应用】

（2）如图2,在平面直角坐标系Xa中，己知点48的坐标分别是力（1,3）,8（4,1）,

点。在x轴上，点〃在P轴上.若以4?为边，其余两个顶点为口〃的四边形是平行四

13

边形，求点C,〃的坐标.

【拓展提高】

（3）如图3,抛物线y=V・4户3与直线9=户3交于C,〃两点，点E是抛物线上任意

一点，在对称轴上是否存在点总使得以⑦为边，其余两个顶点为E,尸的四边形是平行

【分析】（1）连接CE先证四边形/切，%’是平行四边形，再推导出/创次N/1〃〃=180°,

则有即可证明：

（2）求出A//=^13,再求直线/力的解析式为y=-2/11,由于CD〃AB,C：D=AB,

33

设⑦的直线解析式为y=-2户勿，可求〃（0,勿），C&,0）,则gY亘㈤

322

求出加=±2,即可求点的坐标；

（3）先求出。（5,8）,D（0,3）,设尸（2,〃），E（t,t2-4t+3）,由已知可分两种情

2

况①当〃只磔、为对角线时，力;的中点为（1,包），"'的中点为（昱1,t-4t+ll）,

222

则1=立上，求出r=-3,即可求£（-3,24）；②当〃尔为对角线时，麻的中点为

2

（工，L4t+6）,"的中点为（工，国也），则工=工，求出t=7,即可求万（7,24）.

222222

【解