习题01 运动的合成与分解 抛体运动（解析版）

清单01运动的合成与分解抛体运动

目录

一、曲线运动的条件及特点.........................................................................I

二、小船过河问题.................................................................................1

三、绳和杆的关联速度的合成与分解问题.............................................................2

四、平抛运动的特点与基本规律.....................................................................2

五、平抛运动与平面曲面相结合的问题...............................................................4

六、平抛运动的临界问题...........................................................................5

七、平抛运动中的相遇问题.........................................................................6

八、类平抛问题...................................................................................7

九、斜抛运动的特点与基本规律....................................................................8

知识梳理

一、曲线运动的条件及特点

1.运动轨迹的判断

(D若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不

在同一直线上，则物体做曲线运动。

(2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无

力不弯，力速两边”。

2.速率变化的判断

J锐角卜T物体的速率增大

［度翌方向烈的夹震角J1--色而H物体的速率减小

U垂直H物体的速率不变

二、小船过河问题

1.船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

2.三种相关速度：船在静水中的速度u船、水的流速I，水、船的实际速度V。

3.两种渡河方式

方式图示说明

d

渡河时间最短嘀：：当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间Anin=k；

/Z，，，，：，，，，，，，，，，

1当丫水＜好船时,如果满足n水一n船cos，=0,渡河位移最短,

Xmin=d

渡河位移最短

当v水＞丫舲时，如果船头方向（即u船方向）与合速度方向垂

»eflA水

X掩»*、..，j直，渡河位移最短，最短渡河位移为用面=二

三、绳和杆的关联速度的合成与分解问题

1.模型特点：沿绳（杆）方向的速度分量大小相等。

2.分解思路:

3.解题原则:

把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量,根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等

求解。常见的模型如图所示。

甲乙

T

四、平抛运动的特点与基本规律

1.基本规律（如图所示）

(1)速度关系

(2)位移关系

(3)轨迹方程：)，=器f。

2.四个基本结论

由，=、/?知，时间取决于下落高度/?，与初速度如无关

飞行时间

隹，即水平射程由初速度V0和下落高度/，共同决定，与其他因素无关

水平射程

落地速度丫=4产+岭,2=q%2+2g/z,落地速度也只与初速度V0和下落高度h有关

”，陵X

速度改变量

"%

任意相等时间间隔加内的速度改变量最=&加相同，方向恒为竖直向下，如图所示

3.两个重要推论

(1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为处位移方向与

水平方向的夹角为仇则lana=2lan。。

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中4

点、为OB的中点。

五、平抛运动与平面曲面相结合的问题

1.与斜面相关的几种的平抛运动

图示方法基本规律运动时间

;垂直落'---U

［到斜面

分解速度，构建水平Vx=V10VOVO

由tan0=E=7得

速度的矢量三角竖直Vy=gt

>[

△如

形合速度v=-\/vx24-Vv2，=glan0

-1j1

:从斜面顶点：„水平x=vof

冰平抛出且：分解位移，构建v巫,

由tanO=x=2vo得

:落工在斜面上二/、1

位移的矢量三角竖直y=2gt2

2man8

形t=g

!合位移X合

由0=由一mf,O—02=-2aid得

!从斜面顶点水平；在运动起点同时

例Hh质料电通㈣

ivitan0Msin伙an()

分解w、g

1=g，d=2g

'P。a一vl办'IT>

分解平行于斜面

uotan8

由Vy=g/得t=g

的速度U

2.与斜面相关平抛运动的处理方法

(1)分解速度：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,设平抛运动的初速

度为此在空中运动时间为。则平抛运动在水平方向的速度为a=也在竖直方向的速度为“招。合速度为

以2+%2,合速度与水平方向的夹角满足tan。=蔡。

⑵分解位移：平抛运动在水平方向的位移为尸voA在竖直方向的位移为产改户，对抛出点的位移(合位移)为

s=、/%2+y2,合位移与水平方向夹珀满足tan(p=^o

(3)分解加速度：平抛运动也不是一定要分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在有些

问题中，过抛出点建立适当的直角坐标系,把重力加速度g正交分解为心、心,把初速度出正交分解为以、为

然后分别在X、），方向列方程求解，可以简化解题过程，化难为易。

3.平抛运动与圆面相结合三种常见情景：

（1）如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置。由半径和几何关系制约时间〃=

1,_____

2gt2,R±\jR2-h2=vo/,联立两方程可求上

（2）如图乙所示，小球恰好沿3点的切线方向进入圆轨道，此时半径08垂直于速度方向，圆心角。与速

度的偏向角相等。

（3）如图丙所示，小球恰好从圆柱体。点沿切线飞过，此时半径0Q垂直于速度方向，圆心角。与速度的偏

向角相等。

六、平抛运动的临界问题

七、平抛运动中的相遇问题

解得：杵<匕<疯

(1)卬+u2cos夕,，二L；

<2)gr+v2sin^g广=/?=>，=；

22v2sin^

<3)若在$2球上升时两球相遇，临界条件：

%sin6,h%sin0

-----,即or：<4,

g-------------%sin。-----g

S,0—

解得：彩〉巫

平抛与斜上

h\〜sin。；

抛相遇

」.....加土(4)若在S2球下降时两球相遇，

*Lf1临界条件：里旦沙吗

gg

即彩sin。＜h2V2sin0

gv2sin6g

解得：辱,理

八、类平抛问题

1•类平抛运动的受力特点:物体所受的合外力为恒力，旦与初速度的方向垂直。

2.类平抛运动的运动特点:在初速度vo方向上做匀速直线运动，在今外力方向上做初速度为零的匀加速直线运

动,加速度4=坠。

m

3.类平抛运动的求解方法：

(I)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方

向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。

(2)特殊分解法:对于有吟问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度。分解为处•、如初速度vo分

解为"、人然后分别在小y方向列方程求解。

九、斜抛运动的特点与基本规律

y---济

V一二=1^ocosO

Z%^xxX

、71

水平竖直正交分解最高点一分为二变工抛运动将初速度和重力加速度

处理方法

化曲为直逆向处理沿斜面和垂直斜面分解

垂直斜面：g]=gcosa

水平速度：叱=%cos0匕=%sin6-g|t

x=%cos9•ty=v^\x\et--g,t2

最高点:速度△平

竖直速度』=%sin"gf沿着斜面：g2=gsina

基本规律

%”%cos8

2

y=vosin^--^/匕=%COS0+g2-f

最高点：_(%sin歹八12

x=v^cosOt+—gj

「2g2

最高点：(%sin0)2

“2&

巩固综合提高练

1.2023年4月14日，中国在境内进行了一次陆基中段反导拦截技术试验，试验达到了预期目的。如图所

示，实线为导弹运动的轨迹，标出某些点的速度v和所受合外力尸的关系，其中可能正确的是（）

W中段变轨点

、末端机动点

目标

A.目标点B.末端机动点C.导弹最高点D.中段变轨点

【答案】D

【详解】物体做曲线运动时，某点的速度方向沿着该点的切线方向，所受的合力方向方向位于轨迹的凹侧,

则图中标出点的速度v和所受合外力尸的关系，可能正确的中段变轨点。

故选Do

2.“移动靶射击”是模仿猎取走兽的射击竞赛项目，射手用步枪向移动的野兽靶进行射击。移动靶做快速的

横方向移动，射手站在移动靶前方不移动。图乙为简化的比赛现场图，设移动靶移动的速度为匕，射手射出

的子弹的速度为匕，移动靶离射手的最近距离为d,要想在最短的时间内射中目标，则（）

d

射手

甲乙

A.子弹射中目标的最短时间为彳

d

B.子弹射中目标的最短时间为4gg

C.射击时，枪口离口标的距离为）匕

岭

D.射击时，枪口塔日标的距离为

【答案】c

【详解】AB.子弹射中H标的最短时间为

=d_

,min-

彩

选项AB错误；

CD.射击时，枪口离目标的距离为

X=Jd?+（l*min）2=d收+匕

V2

选项C正确，D错误。

故选C。

3.如图所示，一条小河的水流速度恒为％,两岸之间的距离为乩一条小船从河岸的A点开妗运动，船头

的指向与水流速度之间的夹角为120"船在静水中的速度大小也恒为%,经过一段时间小船正好到达河对

岸的B点，下列说法正确的是（）

B.A.B两点间的距离为24

C.小船渡河的时间为攀

D.小船被冲向下游的距离为〃

【答案】C

【详解】A.由题意分析可得，船在静水中的速度%与水流速度%之间的夹角为120。，根据矢量合成的平行

四边形法则，小船渡河的实际速度也为％,与水流速度的夹角为60。，故A错误:

B.小船渡河的实际速度沿入8两点的连线，则人8两点的连线与水流速度的夹角为60。，由几何关系可得

AB=」=空d

sin60°3

故B错误;

C.小船渡河的时间为

AB2Gd

(=-----=---------

%3%

故C正确;

D.由几何关系可得小船被冲向下游的距离为

tan6003

故D错误。

故选C。

4."筋膜枪”利用其内部特制的高速电机带动枪头，产生的高频振动可以作用到肌肉深层，以达到缓解疼痛、

促进血液循环等作用。如图所示为某款筋膜枪的内部结构简化图，连杆08以角速度。绕垂直于纸面的。

轴匀速转动，带动连杆A&使套在横杆上的滑块左右滑动，从而带动枪头振动。已知AB杆长为L。8杆

长为R,当A8JLOB时，滑块的速度大小为（）

G)ZE+K

~L~

coRL

RCOLJL?+R-

RJ"।R]

【答案】B

【详解】当A8_LO8时,杆的速度等于3点的速度为

vR=（oR

滑块沿杆方向的速度等于杆的速度，则有

vR=vcos0=./L

VFTR7

联立得此时滑块的速度大小为

COR\IL?+R2

v=---------------

L

故选Bo

5.如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质不可伸长的缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为〃?。，

货物的质晟为小，货车向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，货箱速度为明连接货车的缆

绳与水平方向夹角为。，不计一切摩擦，下列说法正确的是（）

B.货物处于失重状态

C.缆绳中的拉力耳大于（，％+，〃）&D.货车对地面的压力大于货车的重力

【答案】C

【详解】A.关联速度可知，沿着绳上的速度相等，可知

y货cos0=v

解得

A错误：

B.。减小，COS。增大，货车向左做匀速在线运动，y增大，加速度向上，则货物处于超重状态，B错误;

C.由加速度向上，则

1-（〃?+/%）g=（〃2+〃q：）4

缆绳中的拉力耳大于（根）+m）g,C正确;

D.对货车受力分析可得

F^+Frsin0=m1；ig

即

《<,〃赁g

货车的对地面的压力小于货车的重力，D错误；

故选C。

6.如图，小球从加速滑道的不同位置由静止滑下，到达A点后会以不同的速度水平K出，分别落在滑道的

M、8和N点。已知滑道A8和8c倾斜角均为45。，并且M为48的中点，M、N两点在同一水平面,不计

空气阻力，重力加速度为lOm/sz,则下列说法正确的是（）

A.三次在空中飞行时间之比为1:2:3

B.三次的水平初速度大小之比为】：血：3

C.落在M点的速度偏转角比落在B点的速度偏转角大

D.落在N点的时候速度方向恰好垂直斜坡8C

【答案】B

【详解】A.轨迹1、3的高度相等，在空中飞行的时间相等;轨迹1、2的高度之比为1团2,白

h=gg『

所以时间之比为1：/，综合可得

/1：/2：/3=1：>/2：1

故A错误；

B.由几何关系，轨迹1、2、3的水平位移之比为

%:x2:=1:2:3

由

水平初速度之比为

v（:v2:v3=1:>/2:3

故B正确。

C.因为落在斜坡A8上的位移偏转角相同，速度偏转角也相同，故C错误；

D.轨迹1的速度偏转角

tancr=­=2tan45°

马

轨迹3的速度偏转角

u

tan/?=—v

%

已知

为3

所以

2

tan/7=—

不与斜坡8c垂直，故D错误。

故选Bo

7.跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一。如图所示，跳台与水平面间高度差为〃=80m,倾斜赛道与水平方向

的夹角6=37。。某次训练中，运动员以速度%=20m/s从跳台顶端水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛

道上，取。137。=0.6,重力加速度为g=10m/s2,空气阻力忽略不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。

则运动员在空中运动的过程中，下列说法正确的是（）

A.运动员在空中运动的时间是2s

B.运动员落在斜坡赛道上的速度大小为50m/s

C.运动员离倾斜赛道的最远距离为12.8m

D.若运动员从跳台飞出的速度可达到30m/s,则他的水平位移为120m

【答案】D

【详解】A.运动员水平飞出后，由平抛运动的规律得

），=gg/，X=v.t

经过一段时间后落在倾斜赛道上，则

tan370=上

X

解得

r=3s

故A错误；

B.运动员落在斜坡赛道上的竖直方向速度大小为

vv=g/=30m/s

则运动员落在斜坡赛道上的速度大小为

v=J%?+匕2_m/s

故B错误；

C.运动员在垂直于斜坡赛道方向的初速度大小为

v=%sin37°

运动员在垂直于斜坡赛道方向的加速度大小为

g'=gcos夕

运动员离倾斜赛道的距离最远时，在垂直于斜坡赛道方向的速度为零，则运动员离倾斜赛道的最远距离为

2

L==9m

故C错误;

D.由力二^g肝，解得运动员落到地面的时间为

水平位移的大小

,80

=vt=30x4m=120m>---------m

()tan37°

所以若运动员从跳台飞出的速度可达到30m/s,则他不会落到倾斜赛道上，水平位移为120m,故D正确。

故选D<,

8.如图所示，水平固定的半球形碗的球心为。点，最低点为6点。在碗的边缘向着球心分别以初速度匕，

%，匕平抛出三个小球，分别经过乙，芍，4的时间落在A、B、C三点，抛出点及落点A、B、C三点在同

一个竖直面内，且4、C点等高，则下列说法正确的是()

A.三个小球平抛运动时间的大小关系为乙<4

B.三个小球平抛初速度的大小关系为匕<%<匕

C.落在。点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直

D.落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60。

【答案】B

【详解】A.竖直方向上，根据

,12

力=脾

可得

ro

可知小球竖直位移越大，运动时间越长，故三个小球平抛运动时间的大小关系为

故A错误；

B.三个小球下落相同高度的情况下，C小球抛得最远，A小球抛得最近，由后可知平抛初速度满足

V)<v2<匕

故B正确;

C.做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点

的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心0点，并不是水平位移中点，故落在C点的小球，在

C点的瞬时速度不可能与C点的切线垂直，故C错误；

D.落在8点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45。，设速度与水平方向夹角为。，根据平抛运动速度

偏转角与位移偏转角的关系

tana=2tan45°=2>tan60°

速度与水平方向夹角大于60。，故D错误。

故选Bo

9.如图所示，从水平面上4点正上方5m处的。点水平向右抛出一个小球的同时，位于A点右方3m远处的

物块B正以4m/s2的加速度从静止开始做匀加速运动，恰好在。点被小球击中.重力加速度g取10m/s2,不

计空气阻力，则（）

必

）力力〃〃/〃力，汾〃，〃力力力

BP

A.物块B从开始运动到被击中的运动时间为1s

B.小球的初速度越大，它在空中飞行的时间越长

C.小球的水平射程为2m

D.小球击中物块B时的速度为10m/s

【答案】A

【详解】AB.小球在空中做平抛运动，竖直方向有

h=Q虻

解得

可知小球在空中飞行的时间与小球的初速度无关，物块B从开始运动到被击中的运动时间为1S,故A正确,

B错误；

C.物块B的位移为

=—x4x12m=2m

B22

则小球的水平射程为

x=3m+xB=5m

故C错误；

D.小球的初速度为

x5._

v0=—=jm/s=5m/s

小球击中物块B时的竖直分速度为

vy=gt=\Om/s

则小球击中物块B时的速度为

v=7vo+vy=5>/5m/s

故D错误。

故选Ao

10.如图所示，将小球从倾角为。=37。的光滑斜面上4点以速度%=7m/s水平抛出（即%〃C。），最后

从B处阳开斜面，已知48间的高度0=6m,g取不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A.小球的加速度为8m/s2

B