【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 基本不等式 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（四）基本不等式1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A.a+b≥2ab B.ab+bC.ab+ba≥2 D.a2+2.已知正数a，b满足a2+b2=13，则ab2+3的最大值为A.6 B.8 C.4 D.113.已知命题p：∀x∈R，ex+e-x≥2，命题q：∃x∈(0，10)，x(10−x)A.命题p与q均为真命题B.命题p与q均为真命题C.命题p与q均为真命题D.命题p与q均为真命题4.若对x>0，y>0，有(x+2y)·2x+1y≥m恒成立，则A.(-∞，4] B.(4，+∞)C.(-∞，0) D.(-∞，8]5.(2024·北京通州三模)已知a>0，b>0，则“a2+b2>2”是“a+b>2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.设x>0，则函数y=2x2+x+2A.0 B.12C.-1 D.37.[多选]已知a>0，b>0，且a+b=ab，则()A.(a-1)(b-1)=1 B.ab的最大值为4C.a+4b的最小值为9 D.1a2+28.已知x，y为正实数，则yx+16x2A.4 B.5 C.6 D.89.设函数f(x)=4x-2x，若∃x∈(-∞，3]，使得f(x)<m·2x-3成立，则实数m的取值范围为()A.(23-1，3) B.(23-1，4)C.(3，+∞) D.(23-1，+∞)10.(新课标Ⅱ卷)[多选]若x，y满足x2+y2-xy=1，则()A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥111.若a>0，b>0，lga+lgb=lga+b，则2ab的最小值为12.若a，b∈(0，+∞)，ab+b=ab，则b的最小值为.

13.已知x，y均为正数，x+2y=a，若xy的最大值为b，且1≤b≤2，则满足条件的一个实数a的值为.

14.已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求：(1)xy的最大值；(2)2x+y的最小值.(2)由x+2y+xy=30可知，y=30−x2+x>0，0<x<30，2x+y=2x+30−x2+x=2(x+2)+322+x-5≥22(x+2)×322+x-5=11，当且仅当2(x15.某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=8-km+1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件.已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(1)计算k的值为多少，并将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?最大利润是多少?

（解析）精练（四）基本不等式1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A.a+b≥2ab B.ab+bC.ab+ba≥2 D.a2+解析：选C因为ab和ba同号，所以ab+ba=2.已知正数a，b满足a2+b2=13，则ab2+3的最大值为A.6 B.8 C.4 D.11解析：选B∵a2+b2=13，∴ab2+3≤a2+b3.已知命题p：∀x∈R，ex+e-x≥2，命题q：∃x∈(0，10)，x(10−x)A.命题p与q均为真命题B.命题p与q均为真命题C.命题p与q均为真命题D.命题p与q均为真命题解析：选B因为ex>0，所以ex+e-x≥2exe−x=2，当且仅当x=0时取等号，所以命题p为真命题，则p为假命题.因为x(10−x)≤x+(10−4.若对x>0，y>0，有(x+2y)·2x+1y≥m恒成立，则A.(-∞，4] B.(4，+∞)C.(-∞，0) D.(-∞，8]解析：选D因为x>0，y>0，所以(x+2y)·2x+1y=2+xy+4yx+2≥4+2x5.(2024·北京通州三模)已知a>0，b>0，则“a2+b2>2”是“a+b>2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B不妨设a=1.5，b=0.4，此时满足a2+b2=2.25+0.16>2，但不满足a+b>2，充分性不成立.a+b>2两边平方得a2+2ab+b2>4，由基本不等式得2ab≤a2+b2，当且仅当a=b时，等号成立，故a2+b2>4-2ab≥4-(a2+b2)，解得a2+b2>2，必要性成立，故“a2+b2>2”是“a+b>2”的必要不充分条件.故选B.6.设x>0，则函数y=2x2+x+2A.0 B.12C.-1 D.3解析：选C设2x+1=t，t>1，则x=t−12，y=2x2+x+22x+1-52=2t−122+t−127.[多选]已知a>0，b>0，且a+b=ab，则()A.(a-1)(b-1)=1 B.ab的最大值为4C.a+4b的最小值为9 D.1a2+2解析：选ACD由a+b=ab，得a(b-1)-b+1=1，即(a-1)(b-1)=1，故A正确；ab=a+b≥2ab，当且仅当a=b=2时取等号，解得ab≥4，故B错误；由a+b=ab变形可得1a+1b=1，所以a+4b=(a+4b)1a+1b=5+4ba+ab≥5+24ba·ab=9，当且仅当a=2b且a+b=ab，即a=3，b=32时取等号，故C正确；由a+b=ab，得a=bb−1，b>1，所以1a2+2b2=(b−1)2b2+2b8.已知x，y为正实数，则yx+16x2A.4 B.5 C.6 D.8解析：选C由题得yx+16x2x+y=yx+162+yx，设yx=t(t>0)，则f(t)=t+162+t=t+2+169.设函数f(x)=4x-2x，若∃x∈(-∞，3]，使得f(x)<m·2x-3成立，则实数m的取值范围为()A.(23-1，3) B.(23-1，4)C.(3，+∞) D.(23-1，+∞)解析：选D因为f(x)<m·2x-3可化为m>2x+3·2−x-1，所以原问题等价于∃x∈(-∞，3]，使得m>2x+3·2-x-1成立，则当x∈(-∞，3]时，m>(2x+3·2-x-1)min.设h(x)=2x+3·2-x-1，x∈(-∞，3]，令t=2x，则t∈(0，8]，设p(t)=t+3t-1，t∈(0，8]，则p(t)≥23-1，当且仅当t=3时取等号，所以当2x=3时，h(x)取得最小值23-1.故m10.(新课标Ⅱ卷)[多选]若x，y满足x2+y2-xy=1，则()A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1解析：选BC对于A、B，由x2+y2-xy=1，得(x+y)2-1=3xy≤3x+y22，解得-2≤x+y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D，由x2+y2-xy=1，得x2+y2-1=xy≤x2+y22，当且仅当x11.若a>0，b>0，lga+lgb=lga+b，则2ab的最小值为解析：∵lga+lgb=lgab=lg(a+b)，∴ab=a+b≥2ab，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab≥4，从而2ab≥8，即2ab的最小值是8.答案：812.若a，b∈(0，+∞)，ab+b=ab，则b的最小值为.

解析：因为a，b∈(0，+∞)，所以ab+b≥2ab·b=2a(b)32，当且仅当ab=b，即a=b时等号成立.因为ab+b=ab，所以ab≥2a(b)答案：1613.已知x，y均为正数，x+2y=a，若xy的最大值为b，且1≤b≤2，则满足条件的一个实数a的值为.

解析：因为x+2y=a≥22xy当且仅当x=2y=a2时取等号，所以xy≤a28，所以1≤b=a2答案：4(答案不唯一)14.已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求：(1)xy的最大值；(2)2x+y的最小值.解：(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30=x+2y+xy≥22xy+xy(当且仅当x=2y=6时取等号)，令xy=t(t>0)，则t2+22t-30≤0，解得-52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy(2)由x+2y+xy=30可知，y=30−x2+x>0，0<x<30，2x+y=2x+30−x2+x=2(x+2)+322+x-5≥22(x+2)×322+x-5=11，当且仅当2(x15.某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=8-km+1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件.已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(1)计算k的值为多少，并将2025年