【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟（四十五）与球有关的切、接问题 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（四十五）与球有关的切、接问题1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的表面积为()A.9π2 B.33πC.9π D.27π2.已知在三棱锥P-ABC中，AC=2，BC=1，AC⊥BC且PA=2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球的体积为()A.4π3 B.4πC.32π3 D.433.(2025·潍坊模拟)已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥内切球的表面积为()A.4π B.8πC.16π D.32π4.(2025·临沂模拟)[多选]已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是()A.球O的表面积为6πB.球O的内接正方体的棱长为1C.球O的外切正方体的棱长为4D.球O的内接正四面体的棱长为25.已知圆锥SO1的高为4，体积为32π3，若圆锥的顶点S与底面圆周上的所有点均在球O上，则球O的体积为()A.18π B.24πC.36π D.48π6.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为()A.26 B.3C.23 D.7.(2025·烟台模拟)某正四棱台形状的模型，其上、下底面的面积分别为2cm2，8cm2，若该模型的体积为14cm3，则该模型的外接球的表面积为()A.20πcm2 B.10πcm2C.5πcm2 D.5π2cm8.(2025·内江模拟)如图，四边形ABCD是一个角为60°且边长为2的菱形，把△ABD沿BD折起，得到三棱锥A'-BCD.若A'C=6，则三棱锥A'-BCD的外接球的表面积为()A.5π B.163C.6π D.2039.(2025·南平模拟)某雕刻师在切割玉料时，切割出一块如图所示的三棱锥形边料，测得在此三棱锥A-BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，且AB=AC=DB=DC=AD=2cm，该雕刻师计划将其打磨成一颗球形玉珠，则磨成的球形玉珠的直径的最大值为()A.26cm B.23cmC.22(2-3)cm D.2(2-3)cm10.[多选]刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π-3×π3=π.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，则下列结论正确的是A.在四面体ABCD1中，点A的曲率为11πB.在四面体ABCD1中，点D1的曲率大于7πC.四面体ABCD1外接球的表面积为12πD.四面体ABCD1内切球半径的倒数为611.在三棱锥A-BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD=BD=2，CD=4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为.

12.已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为20π，则该三棱柱的体积为.

13.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

14.(2024·衡阳二模)已知三棱锥A-BCD中，AB=6，AC=3，BC=33，三棱锥A-BCD的体积为2132，其外接球的体积为5003π，则线段CD设C在平面α上的射影为E，则E的轨迹为圆，如图所示，

（解析）精练（四十五）与球有关的切、接问题1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的表面积为()A.9π2 B.33πC.9π D.27π解析：选C设正方体的棱长为a，a>0，则6a2=18，a=3，正方体的体对角线长为3+3+3=3，所以球的直径2R=3，半径R=32，所以球的表面积为4π×322.已知在三棱锥P-ABC中，AC=2，BC=1，AC⊥BC且PA=2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球的体积为()A.4π3 B.4πC.32π3 D.43解析：选AAB=AC2+BC2=3，设PB=h，则由PA=2PB，可得3+h2=2h，解得h=1，可将三棱锥P-ABC还原成如图所示的长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R=12+(3.(2025·潍坊模拟)已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥内切球的表面积为()A.4π B.8πC.16π D.32π解析：选B圆锥与内切球的轴截面图如图所示，设点O为球心，内切球的半径为r，D，E为切点，OD=OE=r，由条件可知，BE=BD=2，所以AB=(42)2+22=6，在Rt△ADO中，AO2=AD2+DO2，即(42-r)2=(6-2)2+r2，解得r=2，所以圆锥内切球的表面积S=4π4.(2025·临沂模拟)[多选]已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是()A.球O的表面积为6πB.球O的内接正方体的棱长为1C.球O的外切正方体的棱长为4D.球O的内接正四面体的棱长为2解析：选AD设球O的半径为r，△ABC的外接圆圆心为O'，半径为R，易得R=233.因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的13，所以r2-19r2=43，得r2=32.所以球O的表面积S=4πr2=4π×32=6π，A正确；球O的内接正方体的棱长a满足3a=2r，即a=2，B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b=2r=6，C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c=25.已知圆锥SO1的高为4，体积为32π3，若圆锥的顶点S与底面圆周上的所有点均在球O上，则球O的体积为()A.18π B.24πC.36π D.48π解析：选C设圆锥SO1的底面圆半径为r，球O的半径为R，则32π3=13πr2×4，解得r=22.当球心位于圆锥SO1内部时，过圆锥顶点S，底面圆圆心O1和球心O作出轴截面如图1所示，∴r2+OO12=R2，即8+(4-R)2=R2，解得R=3，∴球O的体积V=43πR3=43π×27=36π.当球心位于圆锥SO1外部时，过圆锥顶点S，底面圆圆心O1和球心O作出轴截面如图2所示，∴r2+OO12=R2，即8+(R-4)2=R26.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为()A.26 B.3C.23 D.解析：选A根据题意作出图形，设球心为O，过A，B，C三点的小圆的圆心为O1，连接OO1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，连接SD，则SD⊥平面ABC.∵CO1=23×32=33，∴OO1=1−13=63，∴高SD=2OO1=263，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=34，∴V三棱锥S-ABC7.(2025·烟台模拟)某正四棱台形状的模型，其上、下底面的面积分别为2cm2，8cm2，若该模型的体积为14cm3，则该模型的外接球的表面积为()A.20πcm2 B.10πcm2C.5πcm2 D.5π2cm解析：选A设正四棱台形状的模型高为hcm，故13(2+8+2×8)h解得h=3cm，如图，取正方形EFGH的中心为M，正方形ABCD的中心为N，连接MN，则MN=h=3cm，故该模型的外接球的球心在MN上，设为点O，连接ME，NA，OE，OA，设上、下底面正方形的边长分别为acm，bcm，则a2=2，b2=8，解得a=2cm，b=22cm，故EM=1cm，NA=2cm，设ON=ycm，则MO=(3-y)cm，由勾股定理得EO2=OM2+EM2=(3-y)2+1，AO2=ON2+AN2=y2+4，故(3-y)2+1=y2+4，解得y=1，故外接球的半径为y2+4=5cm，该模型的外接球的表面积为4π·(5)2=20πcm2.8.(2025·内江模拟)如图，四边形ABCD是一个角为60°且边长为2的菱形，把△ABD沿BD折起，得到三棱锥A'-BCD.若A'C=6，则三棱锥A'-BCD的外接球的表面积为()A.5π B.163C.6π D.203解析：选D取BD中点E，连接A'E，CE，因为四边形ABCD是一个角为60°且边长为2的菱形，所以A'D=A'B=BD=CB=CD=2，所以△A'BD，△CBD为等边三角形，故A'E=CE=3，A'E⊥BD，又因为A'C=6，即A'E2+CE2=A'C2，所以A'E⊥CE，因为BD∩CE=E，BD⊂平面BCD，CE⊂平面BCD，所以A'E⊥平面BCD.设G为△BCD的重心，过G作OG⊥平面BCD，且O点为三棱锥A'-BCD的外接球球心，外接球半径为R，过O作OF⊥A'E，交A'E于F，连接OC，OA'，因为OG⊥平面BCD，A'E⊥平面BCD，所以OG∥A'E，因为OF⊥A'E，A'E⊥CE，所以四边形OFEG为矩形.所以OF=GE=33，CG=233，A'E=3，设OG=FE=x，则A'F=3-x，在Rt△OGC中，OC2=OG2+CG2⇒R2=x2+2332，在Rt△OFA'中，OA'2=OF2+A'F2⇒R2=332+(3-x)2，解得x=33，R2=53，所以三棱锥A'-9.(2025·南平模拟)某雕刻师在切割玉料时，切割出一块如图所示的三棱锥形边料，测得在此三棱锥A-BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，且AB=AC=DB=DC=AD=2cm，该雕刻师计划将其打磨成一颗球形玉珠，则磨成的球形玉珠的直径的最大值为()A.26cm B.23cmC.22(2-3)cm D.2(2-3)cm解析：选C如图，设BC的中点为O，连接AO，DO，因为AB=AC=DB=DC，BC=BC，所以△ABC≌△DBC，所以AO=DO，且AO⊥BC，DO⊥BC，又侧面ABC⊥底面BCD且交线为BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCD，由于DO⊂平面BCD，所以AO⊥DO，由于AO∩DO=O，AO，DO⊂平面AOD，所以BC⊥平面AOD，又AD=2cm，所以AO=DO=2cm，BC=22cm，因为AB=AC=DB=DC=2cm，所以AB⊥AC，DB⊥DC.当球形玉珠为三棱锥A-BCD的内切球时，球形玉珠的直径最大.设三棱锥A-BCD的表面积为S，内切球的半径为r，则VA-BCD=13Sr，又VA-BCD=13S△DBC·AO=13×12×2×2×2=223cm3，S=S△ABC+S△DBC+S△ABD+S△ADC=12×2×2+12×2×2+12×2×2sin60°+12×2×2sin60°=4+23cm2，故223=13(4+23)r，所以10.[多选]刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π-3×π3=π.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，则下列结论正确的是A.在四面体ABCD1中，点A的曲率为11πB.在四面体ABCD1中，点D1的曲率大于7πC.四面体ABCD1外接球的表面积为12πD.四面体ABCD1内切球半径的倒数为6解析：选ABD在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易证△ACD1为正三角形，AB⊥AD1，∠BAC=π4，在四面体ABCD1中，点A的曲率为2π-π3+π2+π4=11π12，A正确；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠AD1B=∠BD1C，∵tan∠AD1B=tan∠BD1C=12<1，∴0<∠AD1B=∠BD1C<π4，在四面体ABCD1中，点D1的曲率为2π-∠AD1B+∠BD1C+π3>2π-π4×2+π3=7π6，B正确；∵四面体ABCD1外接球的半径即为正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径，为32×6=322，∴四面体ABCD1外接球的表面积为4π×3222=18π，C错误；四面体ABCD1的体积V=13×12×(6)2×6=6，四面体ABCD1的表面积S=12×(11.在三棱锥A-BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD=BD=2，CD=4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为.

解析：根据题意得，BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A-BCD放置于长方体内，如图所示，该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点，即外接球的半径为长方体体对角线长的一半，此时AC为长方体的体对角线，即为外接球的直径，所以该球的表面积S=4πR2=π·AC2=π·(22+42)=20π.答案：20π12.已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为20π，则该三棱柱的体积为.

解析：设底面三角形的内切圆的半径为a，则其外接圆半径为2a，底面边长为23a，若正三棱柱有内切球，则正三棱柱的高h=2a，则正三