2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练19利用导数研究函数的极值、最值 含答案

/通用版高考数学一轮复习课时突破练19利用导数研究函数的极值、最值基础达标练1.(2024·北京海淀二模)函数f(x)=3x,xA.偶函数,且没有极值点B.偶函数,且有一个极值点C.奇函数,且没有极值点D.奇函数,且有一个极值点2.(2024·福建泉州一模)已知x1,x2是函数f(x)=(x-1)3-x的两个极值点,则()A.x1+x2=-2B.x1+x2=1C.f(x1)+f(x2)=-2D.f(x1)+f(x2)=23.某冷饮店的日销售额y(单位:元)与当天的最高气温x(单位:℃,20≤x≤40)的关系式为y=1910x2-130x3,则该冷饮店的日销售额的最大值约为(A.907元 B.910元C.915元 D.920元4.(2024·河北承德二模)设a为实数,若函数f(x)=13x3-ax2+3在x=1处取得极小值,则a=(A.1 B.12 C.0 D.-5.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则x12+A.23 B.43 C.836.(多选)已知函数f(x)=x3-3x2+4,则()A.f(x)的极小值为2B.f(x)有两个零点C.点(1,2)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=-3x+5是曲线y=f(x)的切线7.(2024·山东潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)=.

8.从长和宽分别为16cm,10cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,制作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为cm3.

9.(13分)(2024·湖北名校联考)已知函数f(x)=ex(2x2+ax-1),其中a∈R.若f(x)的图象在点(0,f(0）处的切线方程为2x+by+1=0.求:(1)函数f(x)的解析式;(2)函数f(x)在区间[-3,1]上的最值.能力提升练10.(2024·安徽合肥模拟)已知函数f(x)=(k-x)ex在区间[0,1]上的最大值为k,则函数f(x)在(0,+∞)上()A.有极大值,无最小值B.无极大值,有最小值C.有极大值,有最大值D.无极大值,无最大值11.(2024·广东广州模拟预测)已知直线y=kx+b恒在曲线y=ln(x+2)的上方,则bk的取值范围是(A.(1,+∞) B.3C.(0,+∞) D.412.(多选)(2024·陕西安康期末)对于函数f(x)=x3exA.f(x)有最小值但没有最大值B.对于任意的x∈(-∞,0),恒有f(x)<0C.f(x)仅有一个零点D.f(x)有两个极值点13.某产品包装公司要生产一种容积为V的圆柱形饮料罐(上下都有底),一个单位面积的罐底造价是一个单位面积罐身造价的3倍,若不考虑饮料罐的厚度,欲使这种饮料罐的造价最低,则这种饮料罐的底面半径是.

14.(15分)(2025·八省联考,17)已知函数f(x)=alnx+bx(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.素养拔高练15.(15分)(2024·河北保定模拟)已知函数f(x)=lnx(1)求函数f(x)的极值点;(2)设g(x)=xf(x)-ax2+ln22(a>0),若g(x)的最大值大于a2-1,求a答案：1.B当x≤0时,-x>0,则f(-x)=13-x=3x=f(x),当x>0时,-x<0,则f(-x)=3-x=13所以函数f(x)是偶函数,画出f(x)的图象,由图可知函数f(x)有一个极大值点.故选B.2.Cf'(x)=3(x-1)2-1,令f'(x)=0,解得x1,2=1±33,所以x1+x2=2,故A,B错误;f(x1)+f(x2)=333-1-33+-3333.Cy=f(x)=1910x2-130x3(20≤x≤40),f'(x)=195x-x210=x195-x10,令f'(x)=0,解得x=38.当20≤x<38时,f'当38<x≤40时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减.所以当x=38时,函数f(x)取得极大值即最大值,f(38)=382×1910-384.B由题可得f'(x)=x2-2ax=x(x-2a),令f'(x)=0,解得x=0或x=2a.因为函数f(x)=13x3-ax2+3在x=1处取得极小值,所以2a=1,即a=12,当a=12时,f'(x)=x(x-1),令f'(x)>0,得x<0或x>1,令f'(x)<0,得0<x<1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,满足题意5.C由图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是f(x)的极值点,∴1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,∴f(x)=x3-3x2+2x,∴f'(x)=3x2-6x+2,x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,∴x1+x2=2,x1x2=23∴x12+x22=(x1+x2)2-2x16.BCD∵f(x)=x3-3x2+4,∴f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,则f(x)的极大值为f(0)=4,极小值为f(2)=0,又当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,∴f(x)有两个零点,故A错误,B正确.f(x)=x3-3x2+4=(x+1)(x-2)2,∵f(1+x)+f(1-x)=(2+x)(x-1)2+(2-x)(x+1)2=4,∴点(1,2)是曲线y=f(x)的对称中心,故C正确.由f'(x)=3x2-6x=-3,得x=1,把x=1代入f(x)=x3-3x2+4,得f(1)=2,点(1,2)在直线y=-3x+5上,则直线y=-3x+5是曲线y=f(x)的切线,故D正确.故选BCD.7.sinx(答案不唯一)正弦函数f(x)=sinx为奇函数,且存在极值.8.144设小正方形的边长为xcm,0<x<5,盒子的容积为Vcm3,则V=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x(0<x<5),V'=12x2-104x+160=4(3x-20)(x-2),当0<x<2时,V'>0,当2<x<5时,V'<0,故当x=2时,V取得极大值,也是最大值,故盒子容积的最大值为(10-4)×(16-4)×2=144(cm3).9.解(1)依题意,f(0)=-1,切点(0,-1)在切线2x+by+1=0上,则b=1,f'(x)=ex(2x2+ax-1)+ex(4x+a)=ex[2x2+(a+4)x+a-1],而f(x)的图象在点(0,f(0）处的切线斜率为-2,则f'(0)=a-1=-2,解得a=-1,所以f(x)=ex(2x2-x-1).(2)由(1)知,f'(x)=ex(2x2+3x-2)=ex(x+2)(2x-1),由f'(x)=0得x=-2或x=12当-3<x<-2或12<x<1时,f'(x)>0;当-2<x<12时,f'(x)<0,所以f(x)在[-3,-2],12又因为f(-3)=20e3,f(-2)=9e2,f12=-e12,f(1)=0,所以f(x10.D由f'(x)=(k-x-1)ex,则x<k-1时f'(x)>0,x>k-1时f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,k-1)上单调递增,在(k-1,+∞)上单调递减,而f(0)=k,f(x)在[0,1]上的最大值为k,所以k-1≤0,即k≤1,此时f(x)在(0,+∞)上单调递减,且无极大值和最大值,故选D.11.A设直线y=kx+t与曲线切于点(x0,ln(x0+2）,则y'=1x+2,所以切线方程为y=1x0+2x+ln(x0+2)-x0x0+2,所以k=1x0+2>0,t=ln(x0+2)-x0x0+2,所以bk>tk=(x0+2)ln(x0+2)-(x0+2)+2,设g(x)=xlnx-x+2,g'(x)=lnx,当0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,即12.BC对于A,D选项,f'(x)=3x2-x3ex=x2(3-x)ex,当x∈(-∞,3)时,f'(x)≥0,当x∈(3,+∞)时,f'(x)<0,故f(x)在x∈(-∞,3)上单调递增,在x∈(3,+∞)上单调递减,故f(x)有最大值但没有最小值且f(x)只有一个极值点,故A,D错误;对于B,C选项,由于ex>0恒成立,故当x∈(-∞,0)时,f(x)<0,令13.3V6π由V=πr2h,得h=Vπr2.设f(r)=3×2×πr2+2πrh=6πr2+2Vr,所以可得f'(r)=12πr-2Vr2=12π14.解(1)当a=1,b=-2时,f(x)=lnx-2x-x,其中x>0,则f'(x)=1x+2x2-1=-x2+x+2x2,令f'(x)=2,即-x2+x+2x2=2,化简得3显然x=1是方程f'(x)=2的解.又f(1)=-3,则切线过点(1,-3),结合切线的斜率为2,则切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.(2)由题意可得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax−bx2-1=-x2+ax-bx2.因为x=1是f(x)的极小值点,则f'(1)=-1+a-b=0,即a=b+1,则f'(x)=-x2+(b+1)x-bx2=-(x-1)(x-b)x2.若0<b<1,令f'(x)>0,则x∈(b,1),令f'(x)<0,则x∈(0,b)∪(1,+∞),则f(x)在(b,1)内单调递增,在(0,b)和(1,+∞)内单调递减,得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;若b=1,则f'(x)=-(x-1)2x2<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减,无极值,不满足题意;若b>1,令f'(x)>0,则x∈(1,b),令f'(x)<0,则则f(x)在(1,b)内单调递增,在(0,1)和(b,+∞)内单调递减,得x=1是f(x)的极小值点,满足题意.综上,当x=1是f(x)的极小值点时,b的取值范围是(1,+∞).15.解(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为f'(x)=1-lnxx2,令f'(x)=0得x=e,所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f所以f(x)的极大值点为x=e,无极小值点.(2)g(x