2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练38平面向量基本定理及向量坐标运算 含答案

/通用版高考数学一轮复习课时突破练38平面向量基本定理及向量坐标运算基础达标练1.已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是()A.a=2e1+e2,b=12e1+14B.a=4e1-2e2,b=e2-2e1C.a=3e1+3e2,b=e1+e2D.a=e1-2e2,b=2e1+4e22.(2024·江苏苏州高三期中)已知D是△ABC的边BC上的点,且BC=3BD,则AD=()A.AB−AC C.23AB+3.已知向量a,b,c在正方形网格中如图所示,则“c=λa+μb(λ,μ∈R)”是“λ+μ=3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2024·河北邯郸期中)已知向量AB=(-1,2),AC=(2,3),AD=(m,-3),若B,C,D三点共线,则m=()A.-16 B.16 C.23 D.-5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(cosA,cosB),n=(a,2c-b),若m∥n,则角A的大小为()A.π6 B.π4 C.π36.(多选)(2024·山东青岛高三期中)如图,BD=DC,AE=2EB,线段AD,CE相交于点A.ADB.CEC.BFD.CF7.已知向量a=(log2x,1),b=(log23,-1),若a∥b,则x=.

8.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且|OC|=310,则向量OC的坐标为.

能力提升练9.(2024·河南信阳高三期中)定义向量一种运算“”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊗b=mq-np,下面错误的是()A.若a与b共线,则a⊗b=0B.(a⊗b)2+(a·b)2=|a|2|b|2C.对任意的λ∈R,有(λa)⊗b=λ(a⊗b)D.a⊗b=b⊗a10.(2024·浙江绍兴高三期末)已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=CD=1,AD=3,若BD=xBC+yBA,则x-y=()A.34 B.1C.54 D.11.(2024·江西赣州高三期末)勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若AB=a,AD=b,E为BF的中点,则AE=()A.45a+25b B.56aC.34a+13b D.23a12.如图,已知▱ABCD的边BC,CD的中点分别是K,L,且AK=e1,AL=e2,则BC=,CD=.(用e1,e2表示)

13.(2024·四川自贡期末)如图,在平面四边形ABCD中,∠CBA=∠CAD=90°,∠ACD=30°,AB=BC,点E在线段BC上满足BE=12EC,若AC=λAD+μAE(λ,μ∈R素养拔高练14.(多选)(2024·河北保定高三期末)设Ox,Oy是平面内相交的两条数轴,其中∠xOy=θ0<θ<π且θ≠π2,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若平面向量a满足a=xe1+ye2,则有序数对(x,y)称为向量a在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标,记作a=(x,y)θ,下列命题中是真命题的是()A.已知a=(2,3)π3,则|a|=B.已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,则a+b=(x1+x2,y1+y2)θC.已知a=(-1,2)θ,b=(2,1)θ,则a·b=0D.已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,若a∥b,则x2·y1=x1·y215.(多选)如图1,“六芒星”由两个全等的正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图2)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界),若OP=xOA+yOB,则x+y的取值可能是()A.-6 B.1 C.5 D.9答案：1.DA选项,因为a=4b,所以a,b共线,a,b不能作为基底,A错误;B选项,因为a=-2b,所以a,b共线,a,b不能作为基底,B错误;C选项,因为a=3b,所以a,b共线,a,b不能作为基底,C错误;D选项,设a=mb,则e1-2e2=2me1+4me2,则2m=1,4m=-2,无解,故a,b不共线,则a=e1-2e2,b=2e1+42.C因为BC=3BD,所以AC−AB=3(AD3.A正方形网格长度为1,以a的起点为原点,水平向右的方向为x轴的正方向,竖直向上的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则a=(1,1),b=(0,-1),c=(2,1).由c=λa+μb(λ,μ∈R),得(2,1)=λ(1,1)+μ(0,-1),解得λ=2,μ=1,则λ+μ=3,所以由“c=λa+μb(λ,μ∈R)”可以推出“λ+μ=3”.但当λ=1,μ=2时,λa+μb=(1,-1)≠c,所以由“λ+μ=3”推不出“c=λa+μb(λ,μ∈R)”,故“c=λa+μb(λ,μ∈R)”是“4.A根据题意知AB=(-1,2),AC=(2,3),AD=(m,-3),则BC=AC−AB=(3,1),CD=AD−AC=(m-2,-6).若B,C,D三点共线,则BC5.C因为向量m=(cosA,cosB),n=(a,2c-b),且m∥n,所以acosB=(2c-b)cosA,由正弦定理可得sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA,即sin(A+B)=2sinCcosA,即sinC=2sinCcosA,又因为C∈(0,π),sinC≠0,故cosA=12,由A∈(0,π),解得A=π36.AC对于A,AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12(AC−AB)=12AB+12AC,故A正确;对于B,CE=CA+AE=CA+23AB=CA+23(CB−CA)=13CA+23CB,故B错误;对于C,设BF=xBA+yBC,则BF=xBA+yBC=37.13因为a∥b,所以-log2x=log23,所以log2x+log23=0,所以log2(3x)=0,所以3x=1,所以8.(-3,9)因为点C在∠AOB的平分线上,所以存在λ∈(0,+∞),使得OC=λOA|OA|+OB|OB|=λ(0,1)+λ-35,45=-35λ,95λ,又因为|OC|=310,所以-35λ2+95λ2=(310)2,解得9.D对于A,因为若a与b共线,则mq=np,所以a⊗b=mq-np=0,故A正确;对于B,a⊗b=mq-np,a·b=mp+nq,(a⊗b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(mq)2+(np)2-2mnqp+(mp)2+(nq)2+2mnqp=m2(q2+p2)+n2(q2+p2)=(m2+n2)(q2+p2)=|a|2|b|2,故B正确;对于C,因为(λa)⊗b=λmq-λnp=λ(a⊗b),故C正确;对于D,因为a⊗b=mq-np,b⊗a=pn-qm,不相等,故D错误.故选D.10.B以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,A(0,0),B(1,0),C(1,1),则BC=(0,1),BA=(-1,0),因为BD=xBC+yBA=x(0,1)+y(-1,0)=(-y,x),AD=AB+BD=(1,0)+(-y,x)=(1-y,x),因为AD=3,化简(1-y)2+x2=3,即y2+x2=2+2y,CD=CB+BD=(0,-1)+(-y,x)=(-y,x-1),因为CD=1,所以(-y)2+(x-1)2=1,所以(1-y)2+x2=3,化简得y2+11.A以点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设|BE|=1,则|AE|=2,|AB|=5,cos∠BAE=255,sin∠BAE=55,所以点E的纵坐标为|AE|·sin∠BAE=255,横坐标为|AE|·cos∠BAE=455,即E455,255,AE=455,255,又因为AB=12.-23e1+43e2-43e1+23e2设BC=x,CD=y,则BK=12x,DL=-①+②×(-2),得12x-2x=e1-2e2,即x=-23(e1-2e2)=-23e1+43e2,所以BC=-23e1同理可得y=-43e1+23e2,即CD=-43e1+213.334以不妨设AB=BC=2,则有A(0,0),B(2,0),C(2,2),E2,23,AC=22,AD=ACtan30°=263,过点D作DF⊥x轴于点F,∠DAF=45°,DF=263sin45°所以D-233,233,AC=(2,2),AD=-233,233因为AC=λAD+μ所以(2,2)=λ-233,233+μ2,所以-解得λ则λμ的值为314.BD对于A,a=(2,3)π3,则a=2e1+3e2,所以|a|=(2e1+3e2)2=4e12+9e22+12e1·e2=4+9+12×1×1×cosπ3=19,故A错误;对于B,已知a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,则a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,a+b=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,则a+b=(x1+x2,y1+y2)θ,故B正确;对于C,a=(-1,2)θ,b=(2,1)θ,则a=-e1+2e2,a=2e1+e2,所以a·b=(-e1+2e2)·(2e1+e2)=-2|e1|2+2|e2|2+3|e1||e2|cosπ3=-2+2+3×1×1×cosπ3=32,故C错误;对于D,a=(x1,y1)θ,b=(x2,y2)θ,则a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,若a∥b,则当a=0或b=0时,x1=y1=0或x2=y2=0,x2·y1=x1·y2满足;当a≠0,b≠0时,存在唯一λ,使得a=λb,则x1e1+y1e215.BC