2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练45空间向量及其运算 含答案

/通用版高考数学一轮复习课时突破练45空间向量及其运算基础达标练1.(2024·江苏常州期中)向量a=(2,-1,1),b=(1,1,x),若a⊥b,则x=()A.-2 B.-1C.1 D.02.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为(A.-π3 B.C.π4 D.3.已知空间向量a=(1,2,0),b=(0,-1,1),c=(2,3,m),若a,b,c共面,则实数m=()A.1 B.2C.3 D.44.(2024·浙江宁波期末)已知a=(2,2,1),b=(1,1,0),则a在b上的投影向量的坐标为()A.(1,1,0) B.(1,2,0)C.(2,2,0) D.(1,1,1)5.(多选)已知向量a=(1,5,2),b=(-2,0,1),c=(-1,1,-2),则下列说法正确的有()A.|a|=27B.(a+b)·c=a·(c+b)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.a,b,c共面6.(2024·江苏常州期中)已知正四面体ABCD的棱长为1,点M是BC的中点,则AM·CD的值为7.(2024·福建漳州期中)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π4,则AC1能力提升练8.(2024·江西南昌模拟)半正多面体又称“阿基米德多面体”,它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分,截去顶角所在的小正四面体,得到一个有八个面的半正多面体,如图,点P,A,B,C,D为该半正多面体的顶点,若PA=a,PB=b,PC=c,则PD=()A.-12a+b+1B.12a-b-1C.a-12b+1D.12a+b-19.(2024·江西模拟)中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体,该几何体是上下两个底面平行,且均为矩形的六面体.现有一“刍童”ABCD-A1B1C1D1,如图所示.AB=AA1=4,A1B1=AD=2,A1D1=1,AB∥A1B1,∠BAA1+∠DAA1=2π3,A1C1与B1D1的交点为O,则AO·ACA.82+5 B.18C.83+5 D.2110.(多选)关于空间向量,以下说法正确的是()A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面B.若a·b<0,则<a,b>是钝角C.设{a,b,c}是空间中的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}也是空间的一组基底D.若对空间中任意一点O,有OP=16OA+13OB+11.(多选)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是60°,下列说法中不正确的是()A.AC1=66B.AC1⊥BDC.向量B1D.向量BD112.定义:设{a1,a2,a3}是空间向量的一个基底,若向量p=xa1+ya2+za3,则称实数组(x,y,z)为向量p在基底{a1,a2,a3}下的坐标.已知{a,b,c}是空间向量的单位正交基底,{a+b,a-b,2c}是空间向量的另一个基底.若向量p在基底{a+b,a-b,2c}下的坐标为(1,1,1),则向量p在基底{a,b,c}下的坐标为.

13.(2024·陕西西安模拟)空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的两点,且满足AM=23AB,DN=34DC,若点G在线段MN上,且满足MG=3GN,若向量AG满足AG素养拔高练14.(2024·安徽蚌埠期末)正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构,是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2(如图),M,N分别为棱AD,AC的中点,则FM·BN=答案：1.B若a⊥b,则a·b=2-1+x=0,解得x=-1.2.D由已知得AB=(2,-2,4)-(2,-5,1)=(0,3,3),AC=(1,-4,1)-(2,-5,1)=(-1,1,0),所以cos<AB,AC>=AB·AC|AB||AC3.A因为a=(1,2,0),b=(0,-1,1)不共线,a,b,c共面,所以存在一对有序实数(x,y),使c=xa+yb,所以(2,3,m)=x(1,2,0)+y(0,-1,1)=(x,2x-y,y),所以x=2,24.C向量a在b上的投影向量为a·b|5.BC对于A项,|a|=12+52对于B项,a·b=0,b·c=0,(a+b)·c-a·(c+b)=b·c-a·b=0,B正确;对于C项,a·c=1×(-1)+5×1+2×(-2)=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=a2+b2+c2,C正确;对于D项,由选项BC知,向量a,b,c两两垂直,则a,b,c不共面,D错误.6.-14如图,正四面体ABCD∴AB·AC=AB·AD=AC又点M是BC的中点,∴AM=1∴AM·CD=12(AB+AC)·(AD−AC)7.3+32因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π4,所以AC12=(AB+BC+CC1)2=AB2+BC2+CC128.A如下图所示,PC=PA+AC=PA+2BD=所以PD=-12PA+PB+12PC=-9.C设∠BAA1=α,则∠DAA1=2π3-α,由题意得所以AO·AC=AA1+14AB+14AD·(AB+AD)=AA1·AB+AA1·AD+14AB2+14AD2+12AB·AD=16cosα+10.ACD对于A项,因为有两个向量共线,所以这三个向量一定共面,A正确;对于B项,若a·b<0,则<a,b>是钝角或是180°,B错误;对于C项,因为{a,b,c}是空间中的一组基底,所以a,b,c不共面,假设a+b,b+c,c+a共面,则a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即μ=1,λ=1,λ+μ=0,显然不存在λ和μ,所以a+b,b+c,c+a不共面,所以{a+b,b对于D项,因为OP=16OA+13OB+12OC,且1611.CD∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是60°,∴AA1·AB=AA1对于A项,(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1·AB+2AB·AD+2AA1·对于B项,AC1·DB=(AA1+AB+∴AC1⊥BD,即对于C项,连接A1D,由题意可知△AA1D是等边三角形,则∠AA1D=60°,∵B1C∴向量B1对于D项,∵BD1=AD+AA1−AB,AC=AB+AD,∴BD1·AC=(AD+AA1−AB)·(12.(2,0,2)因为向量p在基底{a+b,a-b,2c}下的坐标为(1,1,1),所以p=a+b+a-b+2c=2a+0b+2c,所以向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,0,2).13.1112因为AG=AM+MG=23AB+34MN