2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练49直线的倾斜角与斜率、直线的方程 含答案

/通用版高考数学一轮复习课时突破练49直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础达标练1.(2024·江苏南通模拟)直线x·tanπ5+y-2=0的倾斜角为(A.π5 B.3πC.7π10 D.2.(2024·四川绵阳高三期末)直线2x-3y+1=0的一个方向向量是()A.(3,2) B.(2,3) C.(3,-2) D.(2,-3)3.如果AC<0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.直线l:3x-y+2=0与x轴交于点A,把l绕点A顺时针旋转45°得直线m,m的倾斜角为α,则cosα等于()A.-6+24C.6+245.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是()A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=06.已知△ABC的三个顶点分别为A(1,1),B(3,1),C(4,5),M为AB的中点,则中线CM所在直线的方程为()A.2x+y-3=0 B.2x-y+3=0C.2x+y+3=0 D.2x-y-3=07.(多选)已知直线l过点M(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A,B两点,则()A.若直线l的斜率为1,则直线l的方程为y=x+5B.若直线l在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为x+y=1C.若M为AB的中点,则l的方程为3x-2y+12=0D.直线l的方程可能为y=38.直线l的一个方向向量为v=(1,-3),则该直线的倾斜角为.

9.已知点A(2,4),B(4,2),直线l:y=kx-2,则直线l经过定点,若直线l与线段AB有公共点,则k的取值范围是.

能力提升练10.(2024·河南开封模拟)若直线l:xa+yb=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时,aA.2 B.12 C.2 D.11.(2024·上海黄浦高三期中)直线(a2+1)x-2ay+1=0的倾斜角的取值范围是()A.0,π4 B.π4,πC.π4,3π4 D.0,π4∪3π4,π12.(多选)下列说法正确的有()A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则(k,b)在第二象限B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)C.过点(2,-1),斜率为-3的直线的点斜式方程为y+1=-3(x-2)D.斜率为-2,在y轴上截距为3的直线方程为y=-2x±313.(多选)下列说法正确的是()A.不经过原点的直线都可以表示为xa+B.若直线l与x轴、y轴的交点分别为A,B且AB的中点为(4,1),则直线l的方程为x8+C.过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y=x或x+y=2D.直线3x-2y=4的截距式方程为x43素养拔高练14.(2024·河北沧州三模)光从介质1射入介质2发生折射时,入射角与折射角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射率.如图,一个折射率为2的圆柱形材料,其横截面圆心在坐标原点,一束光以45°的入射角从空气中射入点A(-2,0),该光线再次返回空气中时,其所在直线的方程为.

15.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=12x上时,则直线AB的方程是答案：1.D由题意可将原直线方程变形为y=-tanπ5·x+2=tan4π5·x+2.A直线2x-3y+1=0的斜率为k=23,则直线2x-3y+1=0的一个方向向量a=1,23,对于A项,因为3×23-1×2=0,所以向量(3,2)与1,23共线,A是;对于B项,因为2×23-1×3≠0,所以向量(2,3)与1,23不共线,B不是;对于C项,因为3×23-1×(-2)≠0,所以向量(3,-2)与1,23不共线,C不是;对于D项,因为2×23-1×(-3)≠0,所以向量(2,-3)与1,3.C∵AC<0,BC<0,∴A,B同号.又直线Ax+By+C=0可化为y=-ABx-CB,-AB<0,-CB>4.C设l的倾斜角为θ,则tanθ=3,∴θ=60°,由题意知α=θ-45°=60°-45°,∴cosα=cos(60°-45°)=cos60°·cos45°+sin60°sin45°=15.A易知A(-1,0).∵|PA|=|PB|,∴点P在AB的垂直平分线,即x=2上,∴B(5,0).∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.6.D点M的坐标为(2,1),由直线的两点式方程得y-15-1=x-24-27.AC对于A项,直线l的斜率为1,则直线l的方程为y-3=x+2,即y=x+5,故A正确;对于B项,当直线l在两坐标轴上的截距都为0时,l的方程为y=-32x,故B错误;对于C项,因为中点M(-2,3),且A,B在x轴、y轴上,所以A(-4,0),B(0,6),故AB的方程为x-4+y6=1,即3x-2y+12=0,故C正确;对于D项,直线8.120°设直线l的倾斜角为α,则0°≤α<180°,因为直线l的一个方向向量为v=(1,-3),则tanα=-31=-3,故α=9.(0,-2)[1,3]由题意得直线l:y=kx-2过定点C(0,-2),又点A(2,4),B(4,2),kCA=4-(-2)2-0=3,kCB=2-(-2)4-0=1,要使直线l与线段AB有公共点,由图可知k10.D因为直线l:xa+yb=1(a>0,b>0)经过点(1,2),所以1a+2b=1,可得a+b=(a+b)1a+2b=3+ba+2ab≥3+22,当且仅当ba=2a11.C由题意知,若a=0,则倾斜角为θ=π2;若a≠0,则k=a2+12a=a2+12a,①当a>0时,a2+12a≥2a2·12a=1(当且仅当a=1时,等号成立),②当a<0时,--a2+1-2综上,θ∈π4,3π12.ABCA项中,直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则k<0,b>0,所以(k,b)在第二象限,故A正确;B项中,直线可写为y-2=a(x-3),所以直线过定点(3,2),故B正确;C项中,根据直线的点斜式方程知正确;D项中,由直线的斜截式方程得y=-2x+3,故D错误.13.BCDA项中,与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示,故A错误;B项中,AB的中点为(4,1),那么A(8,0),B(0,2),则直线l的方程为x8+y2=1,故B正确;C项中,直线过原点时方程为y=x,不过原点时方程为x+y=2,故C正确;D项中,方程3x-2y=4可化为14.(3-2)x-y+2-23=0如图,入射角α=45°,设折射角为α',∴sinαsinα'=∴∠OAB=30°=∠OBA,∴∠xOB=60°,则xB=2cos(-60°)=1,yB=2sin(-60°)=-3,∴B(1,-3),且β=45°.∴该光线再次返回空气中时,其所在直线的倾斜角为180°-(45°-30°)=165°,则其所在直线的斜率为tan165°=-tan15°=-tan(45°-30°)=-tan45°-tan30°1+tan45°tan30°=-1-331+1×33=3-2,∴直线的方程为y+3=(3-2)(x-1),整理得(3-2)15.(3+3)x-2y-3-3=0由题意可得kOA=tan45°=1,kOB=ta