2026全国版高考数学一轮基础知识练 6.2等差数列 含答案

/2026全国版高考数学一轮6.2等差数列五年高考考点1等差数列及其前n项和1.(2024全国甲文,5,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7=()A.12.(2024全国甲理,4,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1=()A.72C.-13.(2019课标Ⅰ理,9,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-24.(2023全国甲文,5,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=()A.25B.22C.20D.155.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知A.0.75B.0.8C.0.85D.0.96.(2021北京,6,4分,中)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5(单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5(单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3=()A.64B.96C.128D.1607.(2024新课标Ⅱ,12,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=.

8.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.

9.(2019北京理,10,5分,中)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.

10.(2020新高考Ⅰ,14,5分,中)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.

11.(2019课标Ⅰ文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.12.(2023全国乙文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.13.(2021全国乙理,19,12分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.14.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=n2+nan,记Sn,Tn分别为数列{an},{b(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.考点2等差数列的性质1.(2020浙江,7,4分,中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a22.(2020北京,8,4分,难)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项3.(2021新高考Ⅱ,17,10分,中)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.(1)求{an}的通项公式;(2)求使得Sn>an的n的最小值.4.(2022浙江,20,15分,中)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.三年模拟基础强化练1.(2025届江西多校联考,3)已知等差数列{an}的公差d≠0,若a1=3,且a2,a4,a8成等比数列,则d=()A.2B.3C.52.(2025届内蒙古包头联考,3)“数列{an}是等差数列”是“数列{an+an+1}是等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2025届广东三校摸底考试,5)在等差数列{an}中,S3=3,S6=10,则S9=()A.13B.17C.21D.234.(2025届山东潍坊开学考,6)数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,若ak+ak+1+…+ak+9=270,则k=()A.7B.8C.9D.105.(多选)(2025届海南琼海开学考,9)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-10,an+1=an+3,则下列说法正确的是()A.{an}是递增数列B.10是数列{an}中的项C.数列SnD.数列{Sn}中的最小项为S36.(2025届湖南长沙雅礼中学期中,16)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=an+3an,求数列{bn}的前n7.(2025届河北石家庄重点高中开学考,15)已知数列{an}是等差数列,且a1=1,a3=a2+2a1,Sn是数列{an}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1SnSn+1(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn8.(2025届湖北宜荆荆恩联考,15)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2an2-11,求数列{|bn|}的前n项和T能力拔高练1.(2025届江苏如皋开学考,5)在等差数列{an}中,若a4+2a9=a2=8,则下列说法错误的是()A.a1=9B.S10=45C.Sn的最大值为45D.满足Sn>0的n的最大值为192.(2025届广东广州三校期中联考,7)在等差数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,若S18<0,S19>0,则有限项数列S1a1,S2a2,…,A.S9a9,S18a183.(2025届湖南永州一模,7)已知数列{an}满足an+1−anan=an+2−an+1an+2(n∈N*),且a1=1,a2024=22025A.n4.(2025届广东五校开学联考,7)若f(x)=(x-1)3+2(x-1)-lnx2−x+2,数列{an}的前n项和为Sn,且S1=110,2Sn=nan+1,则i=119[f(ai)+f(aA.76B.38C.19D.05.(多选)(2025届江苏南京六校学情调研,10)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,若S8<S6<S7,则下列说法正确的是()A.当n=7时,Sn最大B.使得Sn<0成立的最小自然数n=13C.|a6+a7|<|a8+a9|D.数列S6.(多选)(2025届浙江名校联盟开学考,9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且公差d≠0,2a15+a18=24.则以下结论正确的是()A.a16=8B.若S9=S10,则d=4C.若d=-2,则Sn的最大值为S21D.若a15,a16,a18成等比数列,则d=47.(2025届江苏泰州多校联考,18)已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,前n项和为Sn,a2为a1和a5的等比中项,S11=121.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在正整数m,n(3<m<n),使得1a3,1am,1a(3)求证:i=28.(2025届江苏盐城重点高中第一次质量检测,18)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=Sn+Sn−1(n∈N(1)求证:数列{Sn}是等差数列,并求{an(2)求证:1≤1a12+1(3)设bn=1(2n−1)(an+2)(n∈N*),Tn=b1+b2+b3+…+bn,是否存在正整数m,使得对任意正整数n均有Tn创新风向练1.(创新知识交汇)(2025届山东聊城期中,8)若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且xf(x+y)-(x+y)f(x)=2x(x+y),f(1)=1,则f(2024)=()A.2023×2024B.2024×2046C.2024×4047D.2024×40482.(创新考法)(2025届湖北宜荆荆恩开学考,14)已知数列{an}有30项,a1=2,且对任意n∈{2,3,…,30},都存在i∈{1,2,…,n-1},使得an=ai+3.(1)a5=;(写出所有可能的取值)

(2)数列{an}中,若ak满足:存在j∈{1,2,…,k-1},使得ak=aj,则称ak具有性质P.若{an}中恰有4项具有性质P,且这4项的和为20,则n=130an=

6.2等差数列五年高考考点1等差数列及其前n项和1.(2024全国甲文,5,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=1,则a3+a7=()A.1答案B2.(2024全国甲理,4,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1=()A.72C.-1答案B3.(2019课标Ⅰ理,9,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2答案A4.(2023全国甲文,5,5分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=()A.25B.22C.20D.15答案C5.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9答案D6.(2021北京,6,4分,中)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长a1,a2,a3,a4,a5(单位:cm)成等差数列,对应的宽为b1,b2,b3,b4,b5(单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3=()A.64B.96C.128D.160答案C7.(2024新课标Ⅱ,12,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=.

答案958.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.

答案259.(2019北京理,10,5分,中)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.

答案0;-1010.(2020新高考Ⅰ,14,5分,中)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.

答案3n2-2n11.(2019课标Ⅰ文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{an}的通项公式;(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.解析(1)设{an}的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{an}的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n−9)d2.由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,12.(2023全国乙文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.解析(1)设等差数列{an}的公差为d,则a1+d=11,10a1(2)由an=15-2n知,当n≤7,n∈N*时,an>0,当n≥8,n∈N*时,an<0,∴当n≤7,n∈N*时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=n(28−2n)2=-n当n≥8,n∈N*时,Tn=(a1+a2+…+a7)-(a8+a9+…+an)=2S7-Sn=98-(-n2+14n)=n2-14n+98.∴Tn=−13.(2021全国乙理,19,12分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知2Sn(1)证明:数列{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.解析(1)证明:由bn=S1·S2·…·Sn可得,Sn=b1当n=1时,2S1+1b1=2,即2b1+当n≥2时,2bnbn−1+1bn=2,即2bn=2bn-1+1,即bn-bn-1=1(2)由(1)知,bn=32+(n-1)×1故当n≥2时,Sn=bnbn−1即Sn=n+2n+1(n∈N*),从而a1=S1当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1−所以an=314.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=n2+nan,记Sn,Tn分别为数列{an},{b(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.解析(1)∵3a2=3a1+a3,∴3(a1+d)=3a1+a1+2d,∴a1=d>1,∴S3=a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=6a1,又∵bn=n2+nan,∴b1=2a1,b2=6a2=6a1+d=3a1,∴S3+T3=6a1+9a1=21,解得a1=3或a1=12(舍),∴a(2)∵{bn}为等差数列,∴2b2=b1+b3,即12a即6a1+d=1a1+6∴a1=2d或a1=d.当a1=2d时,an=(n+1)d,bn=nd∴S99=(2d+100dT99=1d又∵S99-T99=99,∴99×51d-99×50·1d∴51d-50d=1,解得d=1或d=-50又∵d>1,∴a1≠2d.当a1=d时,an=nd,bn=n+1d,∴S99=(1+99)×99dT99=1d又∵S99-T99=99,∴50×99d-51×99d∴50d-51d=1,解得d=5150或d=-1,又∵d>1,∴d=综上,d=5150考点2等差数列的性质1.(2020浙江,7,4分,中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a2答案D2.(2020北京,8,4分,难)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项答案B3.(2021新高考Ⅱ,17,10分,中)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4.(1)求{an}的通项公式;(2)求使得Sn>an的n的最小值.解析(1)解法一:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a3=S5⇒a1+2d=5a1+10d⇒4a1+8d=0⇒a1+2d=0⇒a1=-2d,①a2·a4=S4⇒(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,②将①代入②得-d2=-2d⇒d=0(舍)或d=2,∴a1=-2d=-4,∴an=-4+(n-1)×2=2n-6.解法二:由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,∴a3=0,设等差数列的公差为d,从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.(2)由(1)知an=2n-6,a1=2×1-6=-4.Sn=na1+n(n−1)2d=-4n+n(n-1)=Sn>an⇔n2-5n>2n-6⇔n2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,又n∈N*,∴n的最小值为7.4.(2022浙江,20,15分,中)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.解析(1)易得an=(n-1)d-1,n∈N*,S4=a1+a2+a3+a4=4a1+6d=6d-4.又S4-2a2a3+6=0,∴6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,∴d=3或d=0(舍),则an=3n-4,n∈N*,故Sn=3(1+2+…+n)-4n=3n(n+1)−8n(2)由(1)知an=(n-1)d-1,n∈N*,依题意得[cn+(n-1)d-1][15cn+(n+1)d-1]=(4cn+nd-1)2,即15cn2+[(16n-14)d-16]cn+(n2-1)d2-2nd+1=16cn2+8(nd-1)·cn+n2d2-2nd+1,故cn2+[(14-8n)d+8]故[(14-8n)d+8]2-4d2=[(12-8n)d+8][(16-8n)d+8]≥0,故[(3-2n)d+2][(2-n)d+1]≥0对任意正整数n恒成立,n=1时,显然成立;n=2时,-d+2≥0,则d≤2;n≥3时,[(2n-3)d-2][(n-2)d-1]>(2n-5)(n-3)≥0.综上所述,1<d≤2.三年模拟基础强化练1.(2025届江西多校联考,3)已知等差数列{an}的公差d≠0,若a1=3,且a2,a4,a8成等比数列,则d=()A.2B.3C.5答案B2.(2025届内蒙古包头联考,3)“数列{an}是等差数列”是“数列{an+an+1}是等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.(2025届广东三校摸底考试,5)在等差数列{an}中,S3=3,S6=10,则S9=()A.13B.17C.21D.23答案C4.(2025届山东潍坊开学考,6)数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,若ak+ak+1+…+ak+9=270,则k=()A.7B.8C.9D.10答案C5.(多选)(2025届海南琼海开学考,9)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-10,an+1=an+3,则下列说法正确的是()A.{an}是递增数列B.10是数列{an}中的项C.数列SnD.数列{Sn}中的最小项为S3答案AC6.(2025届湖南长沙雅礼中学期中,16)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=110,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=an+3an,求数列{bn}的前n解析(1)设公差为d,d≠0.由S10=110,得110=10a1+45d①,∵a1,a2,a4成等比数列,∴a22=a1·a4,∴(a1+d)2=a1(a1+3由①②解得a∴数列{an}的通项公式为an=2n.(2)由(1)得bn=an+3an=2n+32n=2n+9则数列{bn}的前n项和为b1+b2+…+bn=2×(1+2+…+n)+(9+92+…+9n)=2×n(n+1)2+9(1−97.(2025届河北石家庄重点高中开学考,15)已知数列{an}是等差数列,且a1=1,a3=a2+2a1,Sn是数列{an}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1SnSn+1(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn解析(1)设公差为d.由a3=a2+2a1,得a1+2d=a1+d+2a1,则d=2a1=2,因此an=a1+(n-1)d=2n-1,故数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)证明:由(1)知,an=2n-1,则Sn=n(a1+则1SnSn+1=则Tn=1−1由于n∈N*,则1n+1>0,故Tn8.(2025届湖北宜荆荆恩联考,15)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2an2-11,求数列{|bn|}的前n项和T解析(1)由an+1=Sn+2,得当n≥2时an=Sn-1+2,两式相减得an+1-an=an,所以an+1=2an(n≥2).将a1=2代入an+1=Sn+2得,a2=4=2a1,所以对任意n∈N*,an+1=2an,故{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n.(2)bn=log2an2-11=2n令数列{bn}的前n项和为Bn.Bn=b1+b2+…+bn=n(−9+2n−11)2=n(n-10)=n因为当n≤5时,bn<0,当n≥6时,bn>0,所以当n≤5时,Tn=-b1-b2-…-bn=-Bn=10n-n2,当n≥6时,Tn=-b1-b2-…-b5+b6+b7+…+bn=Bn-2B5=n2-10n+50.故Tn=10能力拔高练1.(2025届江苏如皋开学考,5)在等差数列{an}中,若a4+2a9=a2=8,则下列说法错误的是()A.a1=9B.S10=45C.Sn的最大值为45D.满足Sn>0的n的最大值为19答案D2.(2025届广东广州三校期中联考,7)在等差数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,若S18<0,S19>0,则有限项数列S1a1,S2a2,…,A.S9a9,S18a18答案B3.(2025届湖南永州一模,7)已知数列{an}满足an+1−anan=an+2−an+1an+2(n∈N*),且a1=1,a2024=22025A.n答案D4.(2025届广东五校开学联考,7)若f(x)=(x-1)3+2(x-1)-lnx2−x+2,数列{an}的前n项和为Sn,且S1=110,2Sn=nan+1,则i=119[f(ai)+f(aA.76B.38C.19D.0答案A5.(多选)(2025届江苏南京六校学情调研,10)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,若S8<S6<S7,则下列说法正确的是()A.当n=7时,Sn最大B.使得Sn<0成立的最小自然数n=13C.|a6+a7|<|a8+a9|D.数列S答案ACD6.(多选)(2025届浙江名校联盟开学考,9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且公差d≠0,2a15+a18=24.则以下结论正确的是()A.a16=8B.若S9=S10,则d=4C.若d=-2,则Sn的最大值为S21D.若a15,a16,a18成等比数列,则d=4答案ABD7.(2025届江苏泰州多校联考,18)已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,前n项和为Sn,a2为a1和a5的等比中项,S11=121.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在正整数m,n(3<m<n),使得1a3,1am,1a(3)求证:i=2解析(1)由题意得a22=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4整理得d2=2a1d,因为d≠0,所以d=2a1,由S11=11a1+55d=121,即11a1+55×2a1=121,解得a1=1,故d=2a1=2,故{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.(2)不存在正整数m,n(3<m<n),使得1a3,1am理由如下:假设存在正整数m,n(3<m<n),使得1a3,1a因为1a3=15所以由题意得22m−1=15+故2m-1与n+2中至少有一个为5的倍