安徽省2025届高三数学模拟试题(A2)(含详解) 含答案

/安徽省2025届高三数学模拟试题(A2)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx+3x−1≥0，A.[−2,1] B.[−2,1) C.[1,2] D.(1,2]2.设复数z满足(1+i)z=4iA.22 B.2 C.23.陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一，传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽．中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为12cm，圆柱部分高度为9cm，底面圆半径为π.已知该陀螺由密度为1.6克/cm3的合成材料做成，则此陀螺质量最接近(    )(注：物体质量=A.432克 B.477克 C.495克 D.524克4.随着暑假将近，某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验，收集并整理去年暑假60天期间日接待游客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均数为(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)(

)

A.43.6万人 B.44.5万人 C.45万人 D.49.1万人5.已知平行于x轴的直线l与双曲线C:y2a2−x2b2=1A.2 B.3 C.336.“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示：古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为{an}，其中1≤n≤15且n∈N∗，将满月分成240部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示(部分数据)，a1=5是指每月的第1天可见部分占满月的5240，a8=128是指每月的第8天可见部分占满月的128240，a15=240是指每月的第15天(即农历十五A.124 B.112 C.167.黄鹤楼地处蛇山之㠌､濒临万里长江，是武汉市地标建筑.已知黄鹤楼的高度CD约为303米，在其一侧有一座建筑物AB，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处，测得楼顶A､楼顶C的仰角分别为15∘和

A.203+1米 B.303+1米 C.8.已知函数y=f(x)的高阶导数为y=f(n)(x)，即对函数f(x)连续求n阶导数.例如f(x)=sinxA.210 B.255 C.280 D.360二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知抛物线C1:y2=px(p>0)和C2:y2=2px的焦点分别为F1，F2，动直线l与C1交于M(x1,y1)A.C1的方程为y2=4x

B.已知点A(2,32)，则|MA|+|MF110.已知函数f(x)=cosx−1A.函数f(x)在x∈(−1,0)上递增 B.当x∈(−1,0)时，f(x)<0

C.函数f'11.阅读材料：在空间直角坐标系O−xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为u=(a,b,c)(A.直线AB与平面ACD所成角的正弦值为1

B.三棱锥C−ABD的体积为64

C.平面ABD的方程为x+2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数fx=log12x13.某学校社会实践小组共有7名成员，该小组计划前往该地区的三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有两名成员前往，且甲、乙、丙三名成员作为负责人分别带队前往三个基地，则不同的服务方案共有

种．14.已知α为第一象限角，sin(α−π4)=1717四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

杭州市某中学一研究性学习小组为了了解杭州市民每年旅游消费支出费用(单位：千元)，寒假期间对游览某签约景区的100名杭州市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布：

组别

(支出费用)0,22,44,66,88,1010,1212,1414,16频数34811412085

(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于10000元的概率;

(2)若杭州市民的旅游支出费用X近似服从正态分布N(μ,σ2)，μ近似为样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)，σ近似为样本标准差s，并已求得s≈3，利用所得正态分布模型解决以下问题：

(i)假定杭州市常住人口为500万人，试估计杭州市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上;

(ii)若在杭州市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．

16.(本小题15分)

如图，已知圆A:(x+3)2+y2=16，点B(3,0)是圆A内一个定点，点P是圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线l(1)求曲线C的方程;(2)一组平行直线的斜率为32，当它们与曲线C有两个公共点时，证明这些直线被曲线C截得的线段的中点在同一条直线上(3)设曲线C与y轴正半轴的交点为M，与y轴负半轴的交点为N，过点T(t,2)(t≠0)的直线TM、TN分别与曲线C交于E、F两点.若△TMN的面积是△17.(本小题15分)如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD(1)求证：CM/​/平面PAB(2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；(3)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为2217？若存在，求出18.(本小题17分)

已知函数f(x)=(ax2+x+2)ln(x+1)−2x．

(1)若a=0，证明：当−1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x19.(本小题17分)设数列{cn}满足c1=1，且对于任意的n≥2，都有cn=cn−1(1)求数列{c(2)若从数列{c(3)证明：对于任意的正整数N，在数列{cn}中总存在两个数cj和ci答案和解析1.【正确答案】D

x+3x−1⩾0等价于x+3x−1⩾0x−1≠0，解得x>1或x⩽−3，

2.【正确答案】A

因为(1+i)z=4i，

所以z=4i1+3.【正确答案】C

由题意可得，该陀螺的体积为π×π2×9+13π×π4.【正确答案】A

由于(0.010+0.024+m+0.036)×10=1，解得m=0.030，

所以该市今年日接待游客量的平均数约为

(25×0.010+35×0.024+45×0.036+55×0.030)×10=43.6，

5.【正确答案】D

因为平行于x轴的直线l与双曲线C:y2a2−x2b所以ab=3，则ba故选：D．6.【正确答案】B

设等差数列的公差为d，

则7d=a15−a8=240−128=112，

解得d=16，

所以 a5=a8−3d=128−48=80，

∵

a7.【正确答案】B

由题意得，cos1在△ACM中，∠CAM=1所以∠ACM=180−30由正弦定理，得CMsin30所以MB=AM故选：B．8.【正确答案】A

根据题意，

f10x=g(10)(x)h(x)+C9.【正确答案】BCD

由题意可知F1p4,0，F2p2,0，

当l过点F2时，设l因为△=4p2m2+4p2>0，故y3y4过点M,A向C1的准线引垂线，垂足分别为B则点A到C1的准线的距离d由抛物线定义可知|MA当且仅当点M为AC与抛物线C1的交点时，等号成立，故B设l:x=my+则，y1+y2由x=my+则，y3+y4故1y1+1y2=y1+y2由1y1+1y2=1y注意到y3−y所以|y1|=|y4|，从而故选：BCD．10.【正确答案】ABC

对于A，先求导可证得f'(x)=−sinx+1x+12>0，x∈(−1,0)上恒成立，则函数f(x)在x∈(−1,0)上递增，所以A正确；

对于B，由选项A可得函数f(x)在x∈(−1,0)上递增，又f(0)=cos 0−1=0，所以f(x)<0在x∈(−1,0)上恒成立，故B正确；

对于C，由A可知，当x∈(−1,0)时，f'x=−sinx+1x+12>0，

当x∈0,π2时，令函数g(x)=−sinx+1(x+1)2，

11.【正确答案】CD

选项A：AB=(−2,2,0),AC=(−1,2,0),AD=(−52,22,32)，

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z)，则n.AC=0n.AD=0,−x+2y=0−52x+22y+32z=0，令y=3,得x12.【正确答案】12因为fx=log12xff故1213.【正确答案】216

根据题意，分3步进行分析：

①将甲、乙、丙分步安排到三个基地，有A33=6种安排方法，

②将甲、乙、丙之外的4人分为3组，一组2人，其余2组各1人，有C42=6种分组方法，

③将分好的三组安排到三个基地，有A33=614.【正确答案】25∵α是第一象限角，∴2kπ又∵sin所以cosα则tanα所以tan (α=3故2515.(1)样本中总共100人，其中旅游支出均不低于10000元的有20+8+5=33人，

所以从中随机抽取两位市民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于10000元的概率为

P(2)(i)x=1×3100+3×4100+5×8P(500×0.02275=11.375(万)，

所以估计杭州市有11.375万市民每年旅游费用支出在15000元以上;(ii)由(i)知，ξ所有可能的取值为0，1，2，3．P(P(P(P所以随机变量ξ的分布列为：ξ0123P1331均值为E(ξ16.(1)依题意可知|QA|+|QB|=|AP|=4>|AB|=23，

所以Q点的轨迹是椭圆，

设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其中a=2，c=3，b=1，

所以曲线C的方程为x24+y2=1;

(2)设这组平行直线的方程为y=32x+m，

联立y=32x+mx24+y2=1得5x2+6mx+2m2−2=0，由△>0得−10<m<10．

设两交点分别为P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ的中点为R(x,y)17.(1)证明：取PA的中点E，连接ME，EB，

因为M是PD的中点，所以ME//1又因为BC= //1所以四边形BCME是平行四边形，所以CM//又因为CM⊄平面PAB,BE所以CM/​/平面PAB(2)由题意：PA⊥平面ABCD，且AB⊥AD，

则AP,AB,AD两两垂直，

以A为坐标原点，AB，AD，AP又因为PA=1，AB=3,BC=1,AD=2,M是PD的中点，所以平面PAB的一个法向量为n1=(0,1,0)，

设平面PCD的法向量为PC=3,1,−1,可得3x+y−z=02y−z=0所以cos 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为3(3)设BQBD=λ，且AB=3,0,0设平面PAQ的法向量为n3则n3⋅令y0=1，得x0=−2λ因为点D到平面PAQ的距离为2所以d=|n所以存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为2217

18.(1)证明：当a=0时，f(x)=(2+x)ln(1+x)−2x，(x>−1)．

f'(x)=ln(x+1)−xx+1,

令φ(x)=f'(x)，则φ'(x)=x(x+1)2，x>−1

可得x∈(−1,0)时，φ'(x)<0，x∈(0,+∞)时，φ'(x)>0

∴φ(x)在(−1,0)递减，在(0,+∞)递增，

得f'(x)=(1+2ax)ln(1+x)+2+x+ax2x+1−2=ax2−x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1)x+1

令h(x)=ax2−x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1)，

h'(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1)．

当a≥0，x>0时，h'(x)>0，h(x)单调递增，

∴h(x)>h(0)=0，即f'(x)>0，

∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，故x=0不是f(x)的极大值点，不符合题意．

当a<0时，令gx=h'(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1)

g'(x)=8a+4aln(x+1)+1−2ax+1，

显然g'x单调递减，

①令g'0=0，解得a=−16，

∴当−1<x<0时，g'x>0，当x>0时，g'x<019.(1)由题意，任意的n≥2，都有c所以c2−c则当n≥2cn=c当n=1时，c所