备战湖北省2025年高考数学模拟试卷05 含答案

I卷）05一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．设，其中为虚数单位.则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知向量满足：，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．已知数列是等比数列，记数列an的前项和为，且，则（

）A． B． C．1 D．35．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．6．已知，且，则（

）A． B． C．1 D．7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（

）A．正三棱台的高为B．正三棱台的体积为C．与平面所成角的正切值为1D．正三棱台外接球的表面积为10．已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（

）A．的面积为B．的离心率为C．点到轴的距离为D．11．定义在R上的函数满足，，.若，记函数的最大值与最小值分别为、，则下列说法正确的是（

）A．为的一个周期 B．C．若，则 D．在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．的展开式中的系数为．13．已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为．14．如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程．16．（15分）在六面体中，平面，，且底面为菱形.(1)证明：平面.(2)若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值.17．（15分）已知数列an满足，.(1)求数列an(2)设，数列的前项和为，求证.18．（17分）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发.(1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率；(2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立.①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差；②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值.19．（17分）设是定义域为的函数，当时，.(1)已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数；(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；(3)已知，且对任意，当时，有，证明：答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678AAAADDAC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BCDACDABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．014．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）【详解】（1）抛物线的焦点坐标为1,0，所以椭圆中，因为椭圆的离心率为，即，…………2分所以，，所以椭圆方程为………6分（2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意；…7分所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为y=联立得，…9分设，则，…………………10分根据焦点弦公式可得，…………………11分解得，，所以直线方程为或…………13分16．（15分）【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以.…2分又平面ABCD，平面ABCD，所以.…4分因为，平面，所以平面.………6分（2）由题意得，.…………………7分以菱形的中心为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，.所以，.……………8分设平面的法向量为，则，令，得.……………10分易知平面的一个法向量为，………11分则，……………13分所以平面与平面所成二面角的正弦值为.…15分17．（15分）【详解】（1）已知，当时，；……………2分当时，，……………4分则，……………6分显然时，，满足上式，综上，；………7分（2）由上知:，……………9分故，……………11分易知单调递增，……………12分时，，……………13分又，即，证毕.……………15分18．（17分）【详解】（1）设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，，“两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”，则，，……………2分……………3分则.……………4分（2）①返回室的粒子个数的可能性为，，，，……………5分服从二项分布：……………6分，，，，，……………8分所以期望，……………9分方差；……………10分②的可能取值为，此时，……………11分个粒子返回室的概率为，……………13分则……………14分故，所以，……………16分当时，取最大值.……………17分19．（17分）【详解】（1）不妨设，在区间上严格减，对任意，有，……………1分又，……………3分函数在区间上是严格减函数；……………4分（2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，当在区间上严格减时，在区间上是严格减，……………5分又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值，因为.是函数的极值点，……………7分所以是的根，所以，……………8分当时，.……………10分令h'x>0，解得或所以h(x)在上单调递增，在上单调递减，在1,+∞上单调递增，满足