导数的应用 函数最值问题高频考点专题练2026年高考数学第一轮专题复习：备考 含答案

/导数的应用--函数最值问题高频考点专题练2026年高考数学一轮复习备考一、单选题1．给定函数，用表示中的最大者，记作，若，则实数的最大值为（

）A． B．1 C． D．2．在半径为R的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取得最大值时，圆柱的高为（

）A．R B． C． D．3．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．已知函数，若，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．5．函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．6．已知函数，若对任意的，，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有（

）A．B．在区间上的最大值和最小值之和为C．为的极小值点D．方程有两个不同的根（e为自然对数的底）8．Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（）A． B．Sigmoid函数是单调减函数C．函数的最大值是 D．9．对于函数，下列说法正确的是（

）A．在区间上单调递增B．是函数的极大值点C．的单调递减区间是D．函数的最小值为三、填空题10．已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之差为11．函数，记在上的最大值为，则的解集是．12．已知的周长为4，为的中点，且，则面积的最大值为13．已知函数，则的最小值是．四、解答题14．已知函数．(1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值；(2)求的单调区间与最大值．15．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的最大值.16．已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.(1)比较和的大小；(2)讨论的单调性；(3)若有最小值，且最小值为，求的最大值.17．已知函数在时取得极值，且满足．(1)求函数的解析式；(2)若存在实数，使得成立，求整数的最小值．18．已知函数．(1)求的最值；(2)若，求的取值范围．19．已知函数，其中(1)若，求函数的增区间；(2)若在上的最大值为0．求a的取值范围．

答案题号123456789答案BBDDDCBCACDACD1．B【分析】根据题干条件，得出恒成立，作差构造函数，结合导数的知识求构造函数的最小值即可得解.【详解】由题意可得，，等价于恒成立，设恒成立，设，令，则，解得，单调递减，时，单调递增，.，则时，单调递减，时，单调递增，，解得，所以实数的最大值为1.故选：B.2．B【分析】设出球的内接圆柱的高，再表示出圆柱底面圆半径，列出圆柱体积的函数关系，借助导数求解作答.【详解】设内接圆柱的高为h，底面半径为r，则，所以，则圆柱体积，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，V取得最大值．故选：B．3．D【分析】求出函数的导数，再求出在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的值范围.【详解】函数，求导得，由在区间上有最小值，得在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：D4．D【分析】令，构造函数并求出最小值即可得解.【详解】令，则，，令，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，.故选：D5．D【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D6．C【分析】求出函数的导函数，当时推出矛盾，当时求出，即可得到，从而得到，再利用导数求出的最大值，即可得解.【详解】因为，，所以，当时，恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意；当时，则当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则，所以，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，则，即的最大值为.故选：C关键点点睛：本题关键是分、两种情况讨论，从而求出，即可得到，从而将双变量化为单变量问题.7．BC【分析】对于A：根据导数的几何意义列式求解即可；对于BC：求导，利用导数求极值点和最值，进而分析判断；对于D：整理可得，构建函数，结合函数单调性分析函数零点，即可判断.【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，且，则，解得，所以，故A错误；对于选项C：因为，，令，解得；令，解得；可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，则为的极小值点，故C正确；对于选项B：若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，可知的最小值，且，即的最大值，所以在区间上的最大值和最小值之和为，故B正确；对于选项D：令，整理可得，令，因为函数与在区间内单调递增，则在区间内单调递增，且，所以有且仅有一个零点，即方程有一个解，故D错误.故选：BC．8．ACD【分析】根据题意，求出导函数，代入验证可以判断A；利用导数研究函数的单调性，进而可以判断B；利用基本不等式，可以判断C；易知函数关于点对称,进而可以求D.【详解】由函数得.对于A，，故A正确；对于B，，，则Sigmoid函数是增函数，故B错误；对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D，因为＋＋1，所以，D正确．故选：ACD.思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解.9．ACD【分析】求导，确定函数的单调性、极值与最值，逐项判断即可得结论．【详解】，，，令，则，令，解得，令，解得，在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A、C正确，B错误；又，故D正确．故选：ACD.10．4【分析】利用导数讨论函数的单调性，即可求出函数在上的最大值与最小值，进而得解.【详解】因为，所以，令或，所以在上单调递减，在、上单调递增，且，所以在上的最大值为3，最小值为，则在上的最大值与最小值之差为4.故411．【分析】通过换元，，用导数探究得，进而可得不等式的解集.【详解】因为，令，则，，因为，令得，或，列表1极大值极小值因为函数的图象关于点对称，且，所以，结合表格和简图可知，，所以，故的解集是.故答案为.12．/【分析】依题建系，，根据条件推得点的轨迹为一个圆与一个椭圆的交点，联立方程求出点的纵坐标，求出面积的表示式，通过求导得到其最大值.【详解】如图以所在直线为轴，线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，，因，则点在圆上，由的周长为4，可得，故点又在椭圆上，由解得，联立消去解得，，设，则，因，则，即在区间上单调递减，当时，.故答案为.13．【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值.【详解】［方法一］：【通性通法】导数法．令，得，即在区间内单调递增；令，得，即在区间内单调递减．则．故答案为.［方法二］：三元基本不等式的应用因为，所以．当且仅当，即时，取等号．根据可知，是奇函数，于是，此时．故答案为.［方法三］：升幂公式＋多元基本不等式，，当且仅当，即时，．根据可知，是奇函数，于是．故答案为.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放缩，当且仅当时等号成立．故答案为.［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值设，则可化为，当时，；当时，，对分母求导后易知，当时，有最小值．故答案为.［方法六］：配方法，当且仅当即时，取最小值．故答案为.［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法因为，所以，即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．当时，，当时，因为，令，解得或，由，，，所以的最小值为．故答案为.【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．14．(1)，(2)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，求出，并根据得到；（2）求出定义域，求导，解不等式，得到函数单调性，求出最大值.【详解】（1），所以，切线方程为，又，所以，则．（2）的定义域为．，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以的最大值为．15．(1)(2)【分析】（1）利用导数的几何意义，求函数在切点处的切线方程；（2）利用导数研究函数单调性，求最大值.【详解】（1）因为，故，即切点坐标为，，故曲线在点处的切线斜率为2，切线方程为.（2）易得当时，单调递增，当时，单调递减，所以时，，又时恒成立，所以的最大值为.16．(1)；(2)答案见详解；(3).【分析】（1）根据导数意义列方程即可求解；（2）求导，分和讨论导数符号即可得解；（3）利用（2）中结论表示出最小值，然后利用导数求最值即可.【详解】（1），由题知，整理得.（2）由（1）知，，当时，恒成立，此时在上单调递增；当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（3）由（2）知，当时，无最小值，当时，在处取得最小值，所以，记，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，即的最大值为.17．(1)(2)5【分析】（1）求出函数的导数，结合题意列出方程，即可求得答案；（2）将原问题转化为恒成立，令，，利用导数求解函数最值，即可求得答案.【详解】（1）由题意知的定义域为，，由于函数在时取得极值，且满足，故，且，解得，则，经验证函数在时取得极小值，适合题意故；（2）由题意存在实数，使得成立，即恒成立；令，，则，令，则在上恒成立，故在单调递增，又，故存在唯一的使得，即，则当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，故，故，结合，得，故整数的最小值为5.18．(1)最小值为，无最大值(2)【分析】（1）求出导函数并求出单调区间，即可求解其最值.（2）将问题转化为在上恒成立，令，利用导数法求得的最大值，令，利用导数研究其单调性，求出，最后利用单调性求得的取值范围.【详解】（1）的定义域为，求导得．则当单调递减；当单调递增，所以，无最大值．（2）因为在上恒成立，即在上恒成立．令，则．因为方程中，故该方程有两个不相等的根，且，故有且仅有一个正根，记为，所以，即．故当时，单调递增；当时，单调递减，所以．令，则．故当时，单调递减；当时，单调递增．令，解得或，所以．易知在