第十八单元圆锥曲线-2026届高考数学一轮单元素养练 含答案

/第十八单元圆锥曲线(120分钟150分)考情分析高考对接点圆锥曲线是高考必考知识点，主观题和客观题都有可能考查单元疑难点圆锥曲线的综合应用滚动知识点直线与圆典型情境题13、19一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线x2-y2=λ(λ≠0)的离心率为A.5 B.52 C.2 D.2.若抛物线C：y2=2px(p>1)上一点A(a，3)到抛物线C的焦点的距离为5，则实数a的值为A.14 B.12 C.2 D3.已知椭圆C：x220−m+y2m-5=1，则“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若动直线l：(2m+1)x-(m+2)y-3=0与圆M：(x-2)2+(y-2)2=36交于A，B两点，则|AB|的最小值为A.6 B.211 C.8 D.2155.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.若圆心在l上的圆C与y轴的正半轴相切于点A，且cos∠FAC=-13，则圆CA.(x+1)2+(y-2)2=1 B.(x+1)2+(y-32)2=1C.(x+1)2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+(y-22)2=16.已知直线y=x+4与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)交于A，B两点，且弦AB的中垂线方程为A.302 B.303 C.304 D.7.已知曲线C与抛物线y=14x2+x+3关于直线l：y=x+2对称，M为曲线C上的任一点，则点M到直线l的距离与到直线x=-A.22 B.2 C.322 8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、右顶点分别为D，E，∠F1F2D=π3，|F1F2|=2.若椭圆上一点M满足OM=mOD+nOE，A.[-1，1] B.[-2，2] C.[-3，3] D.[-2，2]二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆O：x2+y2=1，直线l：x-y-22=0，A是圆O上一动点，B是直线l上一动点，P(22，2)，则A.|PA|的最大值为10+1B.|AB|的最小值为1C.|PB|+|AB|的最小值为23-1D.存在过点B作圆O的切线，使得∠OBC=45°(C为切点)10.已知点F1(-2，0)，F2(2，0)，直线l：x=32，动点P到点F2的距离是点P到直线l的距离的233，动点P的轨迹记为曲线C.若某直线上存在这样的点P，A.曲线C的方程是x23-y2B.直线y=x-2是“最远距离直线”C.若直线y=kx与曲线C交于A，B两点，则与点A，B的横坐标均不相等的任意一点P满足kPA·kPB=1D.若∠F1PF2=π3，则△PF1F2的面积为11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为23，离心率为12，P是椭圆C上异于长轴端点A，B的一动点，A.△PF1F2的面积的最大值为2B.1|PFC.若以PR为直径的圆过A，B两点，则R点的轨迹方程为4x2+3y2=16(x≠±2)D.椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2=π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆C1：x2+(y-1)2=4和圆C2：(x-2)2+(y+2)2=1，则圆C1和圆C2的公切线的条数是.

13.费马原理是几何光学的基本定理，由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若A是双曲线C上的一点，则双曲线C在点A处的切线平分∠F1AF2(F1，F2为双曲线C的两个焦点).已知双曲线C：x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，在其右支上一点A处的切线方程为2x-y-1=0，则△AF1F2的周长为，△AF1F2的内切圆的圆心坐标为14.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C上在第一象限的点，点A在y轴的负半轴上，AF2=3F2P.若△APF1是直角三角形，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知圆C的圆心在直线l1：2x-y-4=0上，且与y轴相切于点M(0，2).(1)求圆C的方程；(2)P为圆C上的动点，A，B为直线l2：3x+4y+13=0上的两动点，且|AB|=2，求PA·PB的最小值.16.(15分)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F(2，0)作垂直于实轴的直线交双曲线C于D，E(1)求双曲线C的方程.(2)已知M是双曲线C上异于左、右顶点的任意一点，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2.若点N满足NA⊥MA，NB⊥MB，记△MAB，△NAB的面积分别为S1，S2，试判断S1S2是否为定值.若是，求出该定值；若不是17.(15分)已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，A，B，C为抛物线E上不重合的三点，F为△ABC的重心，|FA|+|FB|+|FC|=6.(1)求抛物线E的方程；(2)若过点D(-4，0)的直线l与抛物线E相交于M，N两点，P为抛物线E上任意一点，且直线PM，PN与直线x=4分别交于G，H两点(异于M，N)，求证：直线OG，OH(O是坐标原点)的斜率之积是定值.18.(17分)已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，M是椭圆E上异于左、右顶点的动点，N是椭圆E的左顶点，△MF1F2的周长为6，(1)求椭圆E的方程；(2)过直线x=3上一点P作两条斜率互为相反数的直线分别交椭圆E于点A，B和点C，D，求证：|PA||PB|=|PC||PD|.19.(17分)加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他发现：过圆锥曲线外一点作圆锥曲线的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆.这个圆被称为蒙日圆，也叫作外准圆.椭圆的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为Q(0，1)，左、右顶点分别为D，E，它的蒙日圆与x轴交于M，N两点，且(1)求椭圆C的方程.(2)过椭圆的右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，求△ABE的面积的最大值.(3)设P为直线x=4上的动点，且直线PD，PE与椭圆C的另一个交点分别为G，H，试探究直线GH是否过定点.若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

答案1.C【解题分析】由题意可知a=b，所以离心率e=1+b2a2.B【解题分析】抛物线的准线方程为x=-p2，由抛物线的定义得a--p2=5，又9=2pa，且p>1，解得a=123.A【解题分析】若m=10，则椭圆C：x210+y25=1，椭圆C的离心率为ca=10−510=22，充分性成立；当m=15时，椭圆C：x25+y210=1，综上可知，“m=10”是“椭圆C的离心率为22”的充分不必要条件4.B【解题分析】由l：(2m+1)x-(m+2)y-3=0，得l：m(2x-y)+x-2y-3=0.由2x-y=0,x-2y-3=0,解得x=−1,y=−2,易得点N在圆M：(x-2)2+(y-2)2=36内，当圆心M(2，2)与定点N的连线垂直于直线l时，|AB|取得最小值，此时|AB|=2r2-|MN|2=236−255.D【解题分析】易知F(1，0)，由题意可设圆心C的坐标为(-1，m)(m>0)，则A(0，m).(方法一)AC=(-1，0)，AF=(1，-m)，由cos∠FAC=AC·AF|AC||AF|=-11+m2=-13，解得m=22(负根舍去)，所以C(-1，22)，故圆C的方程为(x+1)(方法二)设∠OAF=θ0<θ<π2，则cos∠FAC=cosπ2+θ=-sinθ，所以sinθ=13，所以|AF|=3，m=|OA|=22，故圆C的方程为(x+1)2+(y-22)2=1.6.D【解题分析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12a2-y12b2=1所以x12-x22a2-y由y=x+4,y=−x-6,得x=−5,y=−1,即弦AB的中点坐标为(-5，-1)，所以x1+x2=-10，y1+y2=-2，所以y1-y7.C【解题分析】设曲线C的任一点M(x，y)关于直线l的对称点为N(a，b)，则b-ya-x=−1,x+a2-y+b2+2=0,解得a=y-2,b=x+2,即N(y-2，x+2)，代入y=14x2+x+3，整理得曲线C：y2=4x，所以曲线C的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-8.B【解题分析】依题意可得tan∠F1F2D=bc=3,2所以椭圆的方程为x24+y23=1，所以椭圆的上、右顶点分别为D(0，3)，E设M(2cosθ，3sinθ)，因为OM=mOD+nOE，所以(2cosθ，3sinθ)=(2n，3m)，所以n=cosθ，m=sinθ，所以m+n=sinθ+cosθ=2sinθ+π4.因为-1≤sinθ+π4≤1，所以-2≤m+n≤2，故m+n的取值范围为[-2，2].9.AB【解题分析】易知|PA|的最大值为|PO|+1=10+1，故A项正确；圆心O到直线l的距离d=222=2，则|AB|min=d-1=1，故B项正确；点P关于直线l的对称点P'(32，0)，则(|PB|+|AB|)min=(|P'B|+|AB|)min=|P'O|-1=32-1，故C项错误；当OB⊥l时，∠OBC最大，且∠OBC的最大值为30°，10.ABD【解题分析】设P(x，y)，则(x-2)2+y2=233x-32故点P的轨迹方程是x23-y2=1，由y=x-2,x23-y2=1,消去y得2x2-12x+15=0，则Δ=122-4×2×15=24>0，所以直线y=x-根据双曲线的性质得kPA·kPB=b2a2=1根据双曲线的性质得S△PF1F2=11.BCD【解题分析】由题意可知a=2，b=3，c=1，椭圆C的方程为x24+y2对于A，S△PF1F2=12|F1F2|·|yP|=|yP|≤3对于B，由P，Q两点关于原点对称，知|QF1|=|PF2|，所以|PF1|+|QF1|=|PF1|+|PF2|=2a=4，所以1|PF1|+1|QF1|=141|PF1|+1|QF1|(|PF1|+|QF1|)=142+|QF1||对于C，由题意知R点不会与A，B两点重合，且由椭圆的性质可知kAP·kBP=-b2a2因为以PR为直径的圆过点A，B，所以kAR·kAP=-1，kBR·kBP=-1，即kAR·kAP·kBR·kBP=1，所以kAR·kBR=-43.设R(x，y)(x≠±2)，由A(-2，0)，B(2，0)，得kAR=yx+2，kBR=yx-2，可得yx+2·yx-2=-43，整理得R点的轨迹方程为4x2+3y对于D，当P为短轴端点时，∠F1PF2最大，此时|PF1|=|PF2|=|F1F2|=2，则∠F1PF2=π3，故椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2=π3，12.4【解题分析】圆C1的圆心C1(0，1)，半径r1=2，圆C2的圆心C2(2，-2)，半径r2=1，因为|C1C2|=13>r1+r2=3，所以两圆外离，所以圆C1和圆C2的公切线条数是4.13.12(1，1)【解题分析】易知a=1，c=2，直线2x-y-1=0与x轴的交点为M12，0，由题意得|MF1||MF2|=|AF1||AF2|=53，所以|AF1|-|AF2|=23|AF2|=2a=2，所以|AF1|=5，|AF2|=3.又|F1F2|=4，所以△AF1F2的周长为12.设△AF1F2的内切圆的圆心坐标为(x，y)，由题意知点A在第一象限，且|AF1|-|AF2|=x-(-2)-(2-x)=2a=2，14.74或【解题分析】设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，A(0，t)(t<0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，因为AF2=3F2P，所以(c，-t)=3(x0-c，所以c=3x0-3c,-t=3y0,所以x0=4c3,y0依题意知PF1与PF2不可能垂直，所以AF1⊥PF1或AF1⊥AP.若AF1⊥AP，则AF1·AP=0，即(-c，-t)·4c3，-t3-t所以-4c23+4t23=0，所以-4c23+12y02=0，解得y0=又因为点P在双曲线C上，所以16c29a2-c29b2=整理得16b4+6a2b2-a4=0，解得b2a2=18(负值舍去)，即tan若AF1⊥PF1，则AF1·PF1=0，即(-c，3y0)·-c-4c3，所以7c23+ty0=0，所以7c23-3y02=0，解得y0=7c3又因为点P在双曲线C上，所以16c29a2-7c29b2=1，所以16(a2+b2综上所述，tan2θ=74或tan2θ=115.【解题分析】(1)设圆心坐标为C(a，b)，依题意可得2解得a=3,b=2,即圆心C(3，2).因为圆C与y轴相切于点M(0，2)，所以圆C的半径所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=9.6分(2)设线段AB的中点为E，则PA·PB=(PE+EA)·(PE+EB)=(PE+EA)·(PE-EA)=|PE|2-|EA|2=|PE|2-1，所以当点P到直线l2：3x+4y+13=0的距离最小时，PA·PB的值最小.圆心C(3，2)到直线l2：3x+4y+13=0的距离d=|9+8+13|32+则|PE|min=d-r=3，此时|PE|2-1=8，故PA·PB的最小值为8.13分16.【解题分析】(1)依题意得∠FAD=45°，c=2，由|AF|=|DF|，得a+c=b2a，整理得a2+2a=22-a2，解得a=1(负值舍去)，所以b2=c2-a2=故双曲线C的方程为x2-y23=1.(2)由(1)知A(-1，0)，B(1，0)，设点M(x0，y0)(y0≠0)，则x02-y023=1，即x02-1=y023，且则直线NA，NB的方程分别为y=-x0+1y0(x+1)，y=-x由y=−x0+1y0所以S1S2=12|AB||y0|1即S1S2为定值，定值为317.【解题分析】(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，因为焦点Fp2，0为△ABC的重心，所以xA+xB+xC=32p.由抛物线的定义得|FA|+|FB|+|FC|=xA+p2+xB+p2+xC+p2=3p=6，所以故抛物线E的方程是y2=4x.5分(2)设直线l的方程为x=my-4，由x=my-4,y2=4x,消去x得y2-4my+16=0，由Δ=16m2-64>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y1+y2=4m，y1y2=16，由y12=4x1则直线PM的方程为y-y0=y1-y0x1-x0(x-x令x=4，得yG=4y1+y0(4-x0)+y0=16+y1所以yGyH=256+16y0(y1所以kOG·kOH=yG4·yH4=1，故直线OG，OH18.【解题分析】(1)△MF1F2的周长为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=2a+2c=6，即a+c=3.由椭圆的性质知S△MNF2≤12(a+c)b=332，所以b=3，所以a2=3+(3-a)2，解得a=2，故椭圆E的方程为x(2)设P(3，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，设直线AB的方程为y-y0=k(x-3)，即y=kx-3k+y0，代入x24+y2消去y得(4k2+3)x2+(8ky0-24k2)x+4(y0-3k)2-12=0，x1+x2=24k2-8ky04k2同理可得x3+x4=24k2+8ky04k2因为P，A，B三点共线，且PA与PB同向，所以|PA||PB|=PA·PB=(x1-3，y1-y0)·(x2-3，y2-y0)=(x1-3)(x2-3)+(y1-y0)(y2-y0)=(x1-3)(x2-3)+k2(x1-3)(x2-3)=(k2+1)[x1x2-3(x