第十五单元立体几何初步-2026届高考数学一轮单元素养练 含答案

/第十五单元立体几何初步(120分钟150分)考情分析高考对接点立体几何初步是高考必考点，一般以客观题的形式考查单元疑难点立体几何初步的应用滚动知识点数列典型情境题4、6、18一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用斜二测画法画出一个水平放置的图形的直观图，得到斜边长为22的等腰直角三角形，那么原平面图形的面积为A.22 B.2 C.22 D.42.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法错误的是A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若m∥n，m⊥α，则n⊥αC.若m∥n，n∥β，α∥β，m⊄α，则m∥αD.若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β3.已知正项等比数列{an}满足a4为4a1和a5的等比中项，则a6A.18 B.14 C.8 D4.在《数书九章》中，“天池测雨”是测量雨水的一种方式.在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水高度恰为盆深的一半，则盆中积水的体积为()立方寸.(注：一尺等于十寸)A.296π B.444π C.592π D.666π5.某圆锥的轴截面是一个直角边长为2的等腰直角三角形，现将两个这样的圆锥如图放置形成一个沙漏，若两同样大小的圆柱分别内接于两个圆锥(圆柱底面与圆锥底面位于同一个平面)，则当圆柱的侧面积最大时，上圆柱的下底面与下圆柱的上底面之间的距离为A.1 B.2 C.12 D.6.若数列{an}满足an+1=an+n+1,n为奇数,an+n,n为偶数,且a1=0，如果把这个数列{an}排成如图所示的形状，并记A(m，n)表示第m行中从左向右第n个数，A.1800 B.2450 C.5328 D.26647.如图，在矩形ABCD中，AB的长为23，AD的长为2，对角线交点为O.现将△ABC沿AC翻折至△AB'C，直线OB'与平面ACD所成角为α，直线AB'与平面ACD所成角为β，则下列关系正确的是A.0<α<β B.β<α≤2β C.2β≤α≤3β D.α≥3β8.如图，已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点P在侧面BCC1B1内运动(包含边界)，且AP=7，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为A.2π3 B.5π3 C.7π3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.现将一堆桃子按顺序分给7只猴子，每只猴子都分到当前桃子的一半再多3个，最后正好分完，下列说法正确的是A.最后一只猴子分得6个桃子B.第一只猴子分得192个桃子C.每只猴子分得的桃子数量依次成等比数列D.每只猴子分剩的桃子数量依次成等差数列10.用一个平面去截正方体，截面形状可能是A.正五边形 B.钝角三角形C.等腰梯形 D.非矩形的平行四边形11.将两个棱长为1的正四面体的底面重合，得到如图所示的六面体，则A.该几何体的体积为3B.点A和点E之间的距离为2C.直线AB与平面BCD所成角的余弦值为3D.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥同时满足条件：①侧面展开图是圆心角为23π的扇形；②底面半径为正整数.请写出一个这样的圆锥的体积：V=13.如图，一块面积为定值的正方形铁片上的阴影部分为四个全等的等腰三角形，将这些阴影部分裁下来，然后将△P1AB，△P2BC，△P3CD，△P4DA分别沿AB，BC，CD，DA翻折，使得点P1，P2，P3，P4重合并记为点P，制成正四棱锥P-ABCD形状的容器，当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为.

14.如图，这是三角形数阵，该数阵满足每一行的首项为1，且第n行成公差为n-1的等差数列.将数阵中的数字按从上到下，从左到右依次排列，得到数列{an}：1，1，2，1，3，5，….若am+am+1+am+2=156，则m的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图，在四面体ABCD中，△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，AD=DC，AC=BC.(1)若AD⊥BC，证明：平面ACD⊥平面ABC.(2)设E为BD的中点，记点E到平面ACD的距离为h1，点E到平面ABC的距离为h2，求h1h16.(15分)已知等差数列{an}的首项a1=1，公差为d(d≠0)，Sn为数列{an}的前n项和，Snan为等差数列(1)求数列{an}的通项公式；(2)若将数列{an}中符合an+9an≤3k，k∈N*的项数记为bk，求数列{bk17.(15分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，M是线段AD上的一动点，将△ABM沿着BM折起，使点A到达点A'的位置且满足平面A'BC⊥平面BCDM.(1)当点M与端点D重合时，证明：A'B⊥平面A'CD.(2)若二面角A'-BM-C的平面角为α，且cosα=13，求△A'BC的面积S的值18.(17分)设数列{an}的前n项积为Tn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Tn=am，则称数列{an}是“π数列”.(1)若an=3·2n，bn=2n，判断并证明{an}和{bn}是否是“π数列”；(2)设{an}是无穷等比数列，其首项a1=3，公比q>1，试求q的值，使得数列{an}是“π数列”；(3)对任意的无穷等比数列{an}，是否总存在两个“π数列”{bn}和{cn}，使得an=bn·cn(n∈N*)成立?19.(17分)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1⊥底面ABC，AA1=AB=2，AC=BC=2，cos∠A1AB=63，点G为△ABC的重心，点E在BC1上，且BE=13BC(1)求证：GE∥平面A1ABB1.(2)若在三棱柱ABC-A1B1C1内放一个小球O1，使这个球与三棱柱的三个侧面及下底面都相切.(ⅰ)求球O1的半径；(ⅱ)如果继续放入一个与球O1完全相同的小球O2，使得球O2与球O1相切，那么球O2是否完全在三棱柱ABC-A1B1C1的内部?请说明理由.

答案1.D【解题分析】斜边长为22的等腰直角三角形，直角边长为2，则该三角形的面积S=12×2×2=2，则原平面图形的面积S'=22S=422.A【解题分析】对于A，若α⊥β且m⊂α，n⊂β，则m与n平行、相交或异面，A项错误；对于B，若m∥n，m⊥α，则根据线面垂直的性质可得n⊥α，B项正确；对于C，若m∥n，n∥β，α∥β，m⊄α，则m∥α，C项正确；对于D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又因为n⊥β，所以α∥β，D项正确.3.C【解题分析】设等比数列{an}的公比为q，由题意得a42=4a1a5，即a12q6=4因为a1>0，q>0，所以q=2，于是a6-a4a3-4.B【解题分析】由题意可知，天池盆上底面直径为20寸，下底面直径为12寸，高为18寸.如图所示，因为雨水的高度是天池盆高度的12所以EF是梯形ABDC的中位线，所以EF=AB+CD2所以盆中积水的体积为13×9×π×1622+π×1222+π×(162)

2×π×(5.A【解题分析】圆锥的底面半径为HC，母线长AC=2，△BAC为等腰直角三角形，所以HC=1，因此圆锥的高AH=AC2-内接圆柱的高为HK，内接圆柱的底面半径为HE，因为△AKG∽△AHC，所以AKKG=AHHC，即AH-HKHE=AHHC，所以1−HK内接圆柱的侧面积为2πHE·HK≤2πHE+HK22=π2，当且仅当HE=HK=12时所以AK=AH-HK=12，故题中所求的距离为2AK=16.D【解题分析】令k∈N*，当n=2k时，a2k+1=a2k+2k①；当n=2k-1时，a2k=a2k-1+2k-1+1=a2k-1+2k②.由①②联立得a2k+1-a2k-1=4k，所以a3-a1=4，a5-a3=8，…，a2k+1-a2k-1=4k，累加可得a2k+1-a1=a2k+1=4+8+…+4k=4×(1+k)k2=2k2令2k+1=n，得an=n2由题意，数列前8行共有1+3+5+…+15=64个数，A(9，9)表示数列的第73项，所以a73=732-17.B【解题分析】设点B'到平面ACD的距离为d，则sinα=d|OB'|，sinβ=d|AB'|，由题意可得|OB'|=2，|AB'|=23，则sinα=3sinβ，且α，β∈0，当α=2β时，sinα=sin2β=2sinβcosβ=3sinβ，得cosβ=32，则β=π6，α=π3若α>2β，类似可得β>π6，由最小角定理得β≤∠OAB'=π6，矛盾，因此假设不成立，则α≤2β，所以β<α8.A【解题分析】将正三棱台ABC-A1B1C1补形成正棱锥D-ABC，如图.由B1C1∥BC，得DB1DB=B1C1BC=13，而BB1=2，则DB=3，令正△BCD的中心为O，连接AO，BO，则AO⊥平面BCC1B1，BO=23BCsinπ3=从而AO=AB2-BO2=32因此这个球面截平面BCC1B1所得截面小圆是以O为圆心，(7)2在正△BCD中，取BB1，CC1的中点H，E，取BC的三等分点G，F，连接HG，EF，显然BHBD=13=BGBC，即GH∥CD，GH=13CD=1，同理EF=1，即B1C1=C1E=EF=FG=GH=HB1=1.△BGH是正三角形，得∠GHB1=同理∠GFE=∠FEC1=2π3，而∠C1B1H=∠EC1B1=2π于是六边形B1C1EFGH是正六边形，其外接圆的半径为1.点B1，C1，E，F，G，H在此球面截平面BCC1B1所得截面小圆上，连接OE，OF，OG，OH，则∠EOF=∠GOH=π3此球面与侧面BCC1B1的交线为图中的两段圆弧(实线)，所以交线长度为2×π3×1=2π9.AC【解题分析】设第n只猴子分到的桃子数为an，易知a72+3=a7，即a7=6，故A正确；由题意知，第n只猴子分完后，剩下的桃子数为an-6，根据题意，an+1=12(an-6)+3=12an，则an+1an=12，即数列{an}为等比数列，且a1=6×2610.CD【解题分析】经过正方体的一个顶点去切正方体可得五边形，一定不是正五边形，故A不正确；如图①，截面△ABC，设AD=a，BD=b，CD=c，∴AC2=a2+c2，BC2=b2+c2，AB2=a2+b2，cos∠BAC=AB2+AC2-B同理，cos∠ABC>0，cos∠ACB>0，即∠BAC，∠BCA，∠ABC为锐角，∴△ABC为锐角三角形，故B不正确；如图②，C，D分别是所在棱的中点，四边形ABCD为等腰梯形，故C正确；如图③，作截面EFGH，E，G分别是所在棱的中点，由平面与平面平行的性质可得EF∥GH，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形，但不是矩形，故D正确.11.BCD【解题分析】如图所示，设点A在平面BCD内的投影为O，M为CD的中点，则由对称性可知O为三角形BCD的重心，所以BO=23BM=33，又因为AB=所以正四面体的高为AO=AB2-所以题图所示几何体的体积V=2VA-BCD=2×13×63×34=2由对称性可知，点A和点E之间的距离为2AO=263，根据正四面体的特点可知顶点A在底面上的投影落在BM上，所以∠ABM为直线AB与平面BCD所成的角，所以cos∠ABM=BOAB=33，由A选项可知AO⊥平面BCD，由对称性可知A，O，E三点共线，所以AE⊥平面BCD，而AE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCD，故D正确.12.22【解题分析】设底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是圆心角为23π的扇形，则满足2πr=23πl，即l=3r，则圆锥的高为(3r)2-r2=22r，则体积V=13πr2·22r=223π13.2【解题分析】不妨假设正方形P1P2P3P4的对角线长为20，设AB=2x，则0<2x<202=10，0<x<5，SABCD=(2x)2=4x2设正方形的中心为O，E是BC的中点(图略)，则四棱锥的高h=PE2-OE2=(10-x)2-x2=100−20x，则对于函数f(x)=-20x5+100x4(0<x<5)，f'(x)=-100x3(x-4)，所以在区间(0，4)上，f'(x)>0，f(x)单调递增，在区间(4，5)上，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以当x=4时，f(x)取得极大值也是最大值，此时PE=6.由二面角定义，得∠OEP为侧面与底面所成的二面角的平面角，其余弦值为46=214.54【解题分析】三角形数阵的每一行均为等差数列，首项为1，第n行的公差为n-1，对am，am+1，am+2的位置分以下三种情况讨论：①若am，am+1，am+2在同一行，设在第n行，由am+am+1+am+2=156得am+1=52，设am+1=52为此行中第k项，则am+1=1+(k-1)(n-1)=52，即(k-1)(n-1)=51=1×51=3×17，其中k，n∈N*，k≤n，所以k=2,n第52行的数字依次为1，52，103，…，所以am=1，am+1=52，am+2=103满足条件，此时第51行最后一项为第51(51+1)2=1326项，故m=1327第18行的数字依次为1，18，35，52，69，…，所以am=35，am+1=52，am+2=69满足条件，此时第17行最后一项为第17(17+1)2=153项，故m=156②若am，am+1，am+2中am在第n行的最后一位，am+1，am+2在第n+1行的前两位，则am=an(n+1)2=n2-2n+2，am+1=1，a由am+am+1+am+2=156得n2-2n+2+1+(n+1)=n2-n+4=156，即n2-n-152=0，对于n∈N*无解.③若am，am+1，am+2中am，am+1在第n行的最后两位，am+2在第n+1行的第一位，则am+1=an(n+1)2=n2-2n+2，am=am+1-(n-1)=n2-3n+3，a由am+am+1+am+2=156得2n2-5n-150=0，解得n=10，第10行的最后两位am=73，am+1=82，第11行第一位数为am+2=1，满足条件，此时第10行最后一项为第10(10+1)2=55项，故m=54综上，m的最小值为54.15.【解题分析】(1)∵BC⊥AD，BC⊥AC，AD⊂平面ACD，AC⊂平面ACD，且AD∩AC=A，∴BC⊥平面ACD.∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.6分(2)设AD=a，则AC=2a，由题意知VE-ACD=13h1S△ACD，VE-ABC=13h2S△∵E为BD的中点，∴VE-ACD=VA-ECD=VA-EBC=VE-ABC，∴13h1S△ACD=13h2S△ABC，即h1h2=S△ABCS△16.【解题分析】(1)因为Snan为等差数列，所以2S2a2即2(a1+a2)a2=1+a化简得(a1-d)d=0，因为d≠0，所以a1-d=0，得d=1.所以an=1+n-1=n.6分(2)因为an+9an≤3k，所以由(1)可得n+9n≤3k，即k≥13n+13n+9n≥13×2n·9n=2，当且仅当n=9n，即可知b1=0，b2=1，b3=6.当k≥4时，因为133k-1+93k-1=k-13·3k-103k-1<k，且13所以bk=3k-1.综上所述，bk=0,所以数列{bk}的前20项和为0+1+6+11+…+59=1+6+17(11+59)2=602.15分17.【解题分析】(1)∵平面A'BC⊥平面BCDM，平面A'BC∩平面BCDM=BC，CD⊂平面BCDM，CD⊥BC，∴CD⊥平面A'BC，又A'B⊂平面A'BC，∴A'B⊥CD.当点M与端点D重合时，由∠BAD=90°可知A'B⊥A'D，又∵A'D∩CD=D，CD⊂平面A'CD，A'D⊂平面A'CD，∴A'B⊥平面A'CD.6分(2)过点A'作A'E⊥BC，垂足为E.由线面垂直的性质可得A'E⊥平面BCD，过点E作EO⊥BM，垂足为点O，连接A'O，由三垂线定理得A'O⊥BM，∴∠A'OE是二面角A'-BM-C的平面角，且易得BM⊥平面A'OE.设AM=t∈(1，2]，∴BM=t2+1，由△A'BO∽△MBA'，知A'O=tt2又由△BEO∽△MBA'，知OE=1tt2+1，BE=1t，则则cosα=OEA'O=1t2，故t=3，则S=12·BC·A'E=18.【解题分析】(1)由数列{an}，可得a1=6，a2=12，则T2=a1a2=72，令am=3·2m=72，该方程无正整数根，因此{an}不是“π数列”；对于数列{bn}，Tn=21×22×…×2n=2n(n+1)2，总存在正整数m，使得Tn=am成立，即2n(n+1)2=2m，得m=n(2){an}是等比数列，其首项a1=3，公比为q，所以an=a1qn-1=3qn-1，得Tn=a1a2…an=3nq1+2+…+n-1=3nqn由题意，知对任意正整数n，总存在正整数m，使得Tn=am成立，即对任意正整数n，总存在正整数m，使得3nqn(n-1)2=3即对任意正整数n，总存在正整数m，使得qn(n-1)2-(当n=1时，q1-m=30，此时只需m=1，当n=2时，q2-m=3-1，解得m=2+logq3，又q>1，m为正整数，只能q=3.当q=3时，3n(n-1)2-(m-1)=31-n，故q=3.11分(3)对任意的无穷等比数列{an}，设an=a1qn-1=a1n·qa1n-令bn=a1n，cn=qa1n-1，则an=bn·cn(n∈N*下面证明{bn}是“π数列”：因为bn=a1n，所以Tn=a1取正整数m=n(n+1)2得T所以{bn}是“π数列”.同理证明{cn}也是“π数列”.所以对任意的无穷等比数列{an}，总存在两个无穷数列{bn}和{cn}，使得an=bn·cn(n∈N*)，其中{bn}和{cn}是“π数列”.17分