几何意义法求解模的最值问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/几何意义法求解模的最值问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．已知复数，（为虚数单位）则的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知复数z满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．若复数z满足，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．4．已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（

）A． B．C． D．5．如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．6．设复数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．28．已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．9．已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题10．已知向量满足，则（

）A．当时，与的夹角为 B．当时，在上的投影向量为C．的最大值为 D．的最小值为411．设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（

）A．B．C．若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限D．若，则的最小值是三、填空题12．已知向量，满足，且，则的最大值是.13．已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为.14．已知非零向量，满足，且与的夹角为120°，则的取值范围为．15．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是；最大值是.16．已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是．四、解答题17．在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动(1)当为中点时，设，求的值；(2)若，求的取值范围.18．如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；

(1)若为圆弧的中点，求和的值；(2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围.19．在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，，且，其中为坐标原点.(1)若，设为线段上的动点，求的最小值；(2)若，向量，向量，求的最小值.

答案题号12345678910答案CDDDCDBABBCD题号11答案AD1．C【分析】设复数在复平面内对应的点分别为，根据复数的几何意义可知点在标准单位圆上，，结合圆的性质分析求解.【详解】设复数在复平面内对应的点分别为，因为，则点在标准单位圆上，，则，其中为坐标原点，所以的最大值是3.故选：C．2．D【分析】根据复数加减的几何意义可确定最大值.【详解】，复数z在复平面中对应的点到的距离为1，该点轨迹为以为圆心，半径为1的圆，表示复数z在复平面中对应的点到的距离，所以最大值为，故选：D.3．D【分析】根据已知有，确定对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到的范围.【详解】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上，由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知.故选：D4．D【分析】在平面直角坐标系内，利用向量的坐标表示及运算，结合向量模的坐标表示求出的终点的轨迹，进而求出最大值.【详解】，且，的夹角为，在平面直角坐标系中，令，设，则，由，得，因此点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以的最大值为.故选：D5．C【分析】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值.【详解】设，则，所以，解得，，则，，当且仅当时，等号成立，的最小值为．故选：C6．D【分析】设复数，可得，表示出模长结合导函数得出函数的最值即可求值.【详解】由条件不妨设．于是，．则．故．设，，当单调递增；当单调递减；当时，取最大值27．从而最大值为．故选：D.7．B【分析】由题意得，进而计算可得，利用基本不等式可求最大值.【详解】设，因此，，当且仅当时取“”，所以的最大值为.故选：B．8．A【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可．【详解】设在复平面内对应的点分别为，因，且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示.故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值，故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1.故选：A.9．B【分析】由与为单位向量及分析可知的夹角为.令，则，点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点，且.结合图形即可求解.【详解】因为与为单位向量，，∴.又，，即的夹角为.∴点是以原点为圆心的单位圆上的动点，且.令，则，易知点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点，∴.如图1，设直线，过点作直线于点，作直线于点.则.又，可知如图2，当点在点处，点在线段上时，取得最小值此时，最小值为.∴.故选：B.10．BCD【分析】由题意可求得，可求夹角判断A；由题意可得，可求得投影向量着判断B；设的夹角为，可求得，进而可求得最大值，最小值可判断CD.【详解】当时，可得，又，所以，故A错误；由，可得，又，所以，所以，所以在上的投影向量为，故B正确；设的夹角为，所以，，所以，设，所以，因为，所以，所以，当时，，所以，故C正确；当时，，所以，故D正确.故选：BCD.11．AD【分析】利用复数的乘方运算判断A；举例说明B错误；由复平面中点的表示方法判断C；由复数模的几何意义求出复数对应的点的轨迹判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，取，，，等式不成立，故B错误；对于C，设，若对应的点在第二象限，则，，即对应的点位于第四象限，故C错误；对于D，若，则在复平面内复数对应的点到、距离和为常数，且，则在复平面内复数对应的点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中的最小值就是椭圆上的点到原点的距离最小值，故，故D正确.故选：AD.12．【分析】根据向量加法的几何意义可得结果.【详解】因为，所以.故答案为.13．【分析】在平面直角坐标系中画出表示的有向线段，再利用向量的线性运算将向量的模转化为线段的长，根据几何关系求出最小值即可.【详解】在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、，不妨设，，，由题意可得，将绕点逆时针旋转得到，则，，其中点，故，当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立，故的最小值为.故答案为.14．【分析】先根据与的夹角，求出，再结合正弦定理得出，最后结合角的范围得出的取值范围.【详解】在中，设则,因为与的夹角为120°，所以，由正弦定理得，所以.而，所以，从而.

故15．0【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，要使的最小，只需要，此时只需要取此时等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．比如则.点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题．对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.16．【分析】根据已知分析出中对应的轨迹圆，结合交集结果知两圆有交点，利用圆与圆的相交关系列不等式求参数范围.【详解】由，，所以的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部，则的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部，如下图所示，

对于集合中，则，结合集合的描述知，即的轨迹是以的轨迹上的每一点为圆心，半径为1的圆的并集，对于集合中，即的轨迹是以原点为圆心，半径为a的圆，由，即中对应的轨迹有交点，则能成立，由上图知，，即，所以，可得，即.故17．(1)(2)【分析】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案；（2）表达出，设，，表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围.【详解】（1）当为中点时，，又分别为的中点，所以，所以，

故，；（2）为的中点，故，点在线段上运动，设，，故，即，因为，，所以，则，因为，所以.18．(1)(2)【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；（2）由平面向量的坐标运算表示出，然后结合三角函数的值域，即可得到结果.【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

由可得，又，由三角函数的定义可得，即，因为为圆弧的中点，所以,又，则，所以，，，由可得，即，解得.（2）设，则，所以，由可得，可得，解得，所以，因为，所以，当时，即时，取得最大值，此时的最大值为，当或时，即或时，取得最小值，此时的最小值为，所以的取