江苏地区一轮复习模拟题汇编：平面解析几何2025年高考数学核心考点突破 含答案

/江苏地区一轮复习模拟题汇编：平面解析几何-2025年高考数学核心考点突破一、单选题1．（23-24·江苏南京·模拟）方程所表示的直线（

）A．恒过点 B．恒过点C．恒过点和点 D．恒过点和点2．（23-24·江苏南京·二模）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（

）A． B．C． D．3．（23-24·江苏南京·三模）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2024·江苏苏州·三模）已知过抛物线的焦点的直线与相交于两点，轴上一点满足，则（

）A．1 B．2 C． D．5．（23-24·江苏南京·一模）已知为椭圆的左焦点，都在此椭圆上，是菱形，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6．（23-24·江苏南京·模拟）已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为（

）A． B．C． D．7．（23-24·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．8．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（

）

A． B． C． D．二、多选题9．（23-24·江苏南京·二模）已知是坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点点在第一象限，且直线与的准线交于点，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．若，则D．为钝角10．（23-24·江苏扬州·模拟）已知圆，则（

）A．圆与直线必有两个交点B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1C．圆与圆恰有三条公切线，则D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为211．（23-24·江苏南京·模拟）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．若，则的最小值为2D．三、填空题12．（23-24·江苏南京·模拟）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为．13．（23-24高二下·上海·模拟）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为．14．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，满足若过点的直线交于，则有．在上有三点构成等边三角形，其中心的轨迹记为，则的轨迹方程为，试给出一圆，使得对上任意一点，过点作的两条切线分别交于不同于的点，则必为的切线：．四、解答题15．（23-24·江苏无锡·模拟）已知圆C过三点．(1)求圆C的方程；(2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程．16．（23-24·江苏南京·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，且过点．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积．17．（2024·江苏·三模）已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于.(1)求的方程；(2)设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左､右顶点，直线分别与轴交于点.过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明.18．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线与双曲线有公共的焦点F，且．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条渐近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧).(1)求E的渐近线方程；(2)若实数满足，求的取值范围．19．（23-24·江苏南京·模拟）如图在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左右顶点，动点在双曲线的右支上且位于第一象限，直线和分别与轴交于点，当点坐标为时，直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直.(1)求双曲线的标准方程；(2)是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在求出定点坐标，若不存在请说明理由；(3)求四边形的面积的取值范围.

答案：1．A【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案.【详解】，，令，解得，即方程所表示的直线恒过定点．故选：．2．C【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程，即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；对于B，，的坐标都不满足圆的方程，即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；对于C，，，的坐标都满足圆的方程，的坐标不满足圆的方程，即圆过四个点中的三个点，故C符合题意；对于D，，的坐标都不满足圆的方程，即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意.故选：C.3．C【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解.【详解】因为圆：的标准方程为；圆：的标准方程为：所以和的圆心坐标分别为、，半径，，所以直线的斜率，而直线的斜率为1所以直线与直线垂直，如图，所以当与和共线时最小，此时，又此时，，所以最小值为.故选：C4．D【分析】利用给定条件找到变量之间的关系，结合平面向量的坐标表示求解即可.【详解】设，，，联立方程组得到，消可得，解得，因为，所以，而，而，解得，此时，，，故D正确.故选.关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理利用给定条件消去变量，然后利用得平面向量的坐标表示结合韦达定理到所要求的定值即可．5．B【分析】设右焦点为，因为四边形是菱形，可得，，根据，，又，推得，计算得答案；【详解】设右焦点为，连接，因为四边形是菱形，则关于轴对称，所以，因为和是等边三角形，所以，在中，，所以，又，所以，所以故选：B.6．A【分析】根据题意分析可知：点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，且直线与圆有交点，结合直线与圆的位置关系列式求解即可.【详解】由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径，设中点为，则，且，可得，又因为，可知为边长为2的等边三角形，则，可得，可知点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，因为直线上存在点使得，即直线与圆有交点，可知圆心到直线的距离，解得.故选：A.方法点睛：求圆的方程有两类方法：（1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；（2）代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．7．D【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解.【详解】依题意，设Px,y，而，

则，要使最大，则在右半椭圆上，故，，此时点位于右顶点.故选：D8．C【分析】使用题设条件得到的比值，然后引入参数并得到等量关系，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解.【详解】连接，根据题意，三点共线，三点共线.而，且由知，故.所以，故可设，，.由于，故.从而，，故，.而，结合余弦定理得.故，解得，所以.故选：C.关键点点睛：本题的关键在于在求得线段间比例后引入参数，方便后续的研究.9．AD【分析】根据直线y=kx−1过抛物线的焦点求出可判断A；设直线，与抛物线方程联立，利用可判断B；过作，由抛物线的定义可知，根据得直线的倾斜角可判断C；直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入的坐标表示，再利用向量的夹角公式可判断D.【详解】对于A，由抛物线可得准线方程为，又直线y=kx则F1,0，所以，解得，故A正确；对于B，由A选项可得，且焦点F1,0，当时，设直线，设，，则，整理得，所以x1+x2=6所以，故B错误；对于C，过作，垂足为，由抛物线的定义可知，若，则，则，则直线的倾斜角为，则，故C错误；对于D，由A选项可得，且焦点F1,0，因为直线，则，整理得，所以，因为，所以，所以，所以为钝角，故D正确.故选：AD.10．AC【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D.【详解】对于A，将直线整理得，由，知，所以直线过定点，因为，所以该定点在圆内，故A正确；对于B，圆的圆心到直线的距离为，所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1，与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1，所以只有三个点满足题意，故B错误；对于C，将圆化成标准形式为，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，解得，故C正确；对于D，连接，因为为切点，所以，所以，且当最小时，最小，所以当与直线垂直时，，又因为半径为2，所以，所以，故D错误.故选：AC.11．ABD【分析】选项A：利用双曲线和椭圆的定义求解即可.选项B：利用余弦定理结合离心率求解即可，选项C：利用余弦定理结合基本不等式求解即可，选项D：利用半角公式结合弦化切求解即可.【详解】对于A，椭圆，双曲线，由椭圆､双曲线的定义可知，，解得，故A正确；对于B，令，由余弦定理得，当时，，即，因此，故B正确；当时，，即，有，而，则有，解得，故C错误；，，解得，而，因此，故D正确.故选：ABD.12．【分析】由题意得当PQ最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案．【详解】，圆心，半径．设切点为，由题意可知，点到圆的切线长PQ最小时，，圆心到直线的距离，切线长的最小值为：．故．13．9【分析】解法一：由椭圆方程求出，设，然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出，从而可求出的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解【详解】解法一：由，得，则，设，则由题意得，由，得，所以，得，所以的面积为解法二：由，得，因为所以由焦点三角形的面积公式得．故914．（答出一种特殊情况即可）【分析】（1）先确定的方程，然后利用等边三角形的性质计算轨迹方程；（2）先给出圆的方程，再计算验证即可.【详解】（1）设直线交的准线于点，据已知有，故.而点都在线段外，故重合，从而在的准线上，所以的准线是.这就得到，所以的方程是.设上的三个不同点，，构成等边三角形，设该三角形的重心为，则.所以的坐标分别是.故，.得，.两式分别相加，相减，得，.故可得方程组.展开即得.将第一式减去第二式的倍，得，从而.再由第二式得，两式作差即有.所以，即.所以或.若，则由知，所以重合，这不可能.故一定有，即.另一方面，若，则取方程的一根后，根据上面类似的计算知.取的坐标为，则等边三角形的顶点在上，且中心为.综上，上的等边三角形的中心的轨迹方程为.（2）我们设圆的方程为.则对上的点，设过该点的与圆相切，则根据距离公式有.从而，即.设满足条件的分别为，则，.同时，该直线与的另一个交点满足，从而由韦达定理知.设，，则，.而直线的方程为，即，从而圆心到直线的距离.而，故，所以，得.且.故，得.从而，这就得到.所以直线到圆的距离恰等于其半径，故是其切线.故，.关键点点睛：本题的关键点在于对抛物线方程的使用和计算.15．(1)(2)或【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解；（2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解.【详解】（1）解：因为圆过点，故圆心在上，设圆心坐标，则，解得．故其半径．故圆的方程为：；（2）设直线l的方程为：，因为为等腰直角三角形，∴圆心到直线的距离，即，解得或－8，所以l：或．16．(1)(2)【分析】（1）由离心率的值及椭圆过的点的坐标，可得，的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，可得参数的值，求出点到直线的距离及弦长的值，进而求出的面积．【详解】（1）由题意可得，解得，，所以椭圆的方程为：；（2）由（1）可得右焦点，当直线的斜率为0时，则直线的方程为，因为，可得，，所以，，，显然与，与已知条件矛盾，所以直线的斜率不为0，由于，故设直线的方程为，且，设，，联立，整理可得：，可得①,②因为，即,,，可得，即，③将③代入①，可得，，再代入②可得：，可得，点到直线的距离，弦长，所以由于，且，所以．，

17．(1)(2)证明见详解【分析】（1）设，根据等轴双曲线概念得，利用点到直线的距离公式即可求解.（2）设P(x0,y0)，再由坐标得到直线的方程，继而可得坐标，设过且与双曲线相切的直线为，联立双曲线与直线方程，由及韦达定理可得坐标，继而可得，即，即，即可求证.【详解】（1）设，为等轴双曲线上一点，，双曲线渐近线为，，，的方程为.（2）设，直线方程为，直线的方程为，，设过且与双曲线相切的直线为，联立，得，，即，设直线的斜率分别为，则，方程，，同理方程，，，，，，，.关键点点睛：本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的相切关系，解题关键是直线与双曲线的相切关系.本题中设过且与双曲线相切的直线为，联立双曲线与直线方程，由及韦达定理可得，则，又，得，即，即，即可求证.18．(1)(2)【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F，且，得，，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出和，由求的取值范围．【详解】（1）抛物线与双曲线有公共的焦点F，设双曲线E的焦距为，则有，又，则.由，得，所以E的渐近线的方程为（2）设，，1与E的两条近线交于P，Q两点均位于y轴右侧，有，由，解得，，.设，由，消去得，则有，，由，，有，即，