平面解析几何高频考点归纳练2025年高考数学复习备考模拟预测 含答案

/平面解析几何高频考点归纳练2025年高考数学复习备考模拟预测一、单选题1．抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．2．设双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．23．已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（

）A． B．C． D．5．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点、（在的上方），且，过点任作一条直线与圆相交于、两点，的值为（

）A．2 B．3 C． D．6．已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题7．已知椭圆的左顶点为，右焦点为.点在线段（为坐标原点）上，且与圆有且只有一个公共点，点，Q分别为和圆上的动点，则（

）A．的最大值为2 B．为定值C．圆半径的最大值为1 D．的最小值为38．法国天文学家乔凡尼•多美尼科•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（CassiniOval）．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为．下列结论中，正确的是（

）A．曲线关于轴对称B．原点始终在曲线的内部C．当时，面积的最大值为D．在第一象限的点的纵坐标的最大值为9．如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（

）A．以为直径的圆与相切 B．C． D．的最小值为410．已知抛物线的顶点为，焦点为，准线为是抛物线上异于的一点，过点作于点，下列结论正确的是（

）A．线段的垂直平分线经过点B．过点且与抛物线相切的直线垂直平分线段C．直线与直线可能垂直D．若是直角三角形，则直线的斜率为11．已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线与直线，及轴分别交于点，则（

）A．的周长为B．直线，，，的斜率之积为定值C．当时，线段的中点到直线的距离为D．若，则的取值范围是三、填空题12．已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为．13．已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．当垂直于轴，且四边形的面积为时，直线的方程为．14．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点在圆上，点在椭圆上，则的最小值是．四、解答题15．已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2.(1)求双曲线的方程；(2)为坐标原点，过点且斜率不为0的直线交双曲线于两点（点在第一象限，点在第二象限），直线交双曲线于点，证明.16．已知椭圆的离心率为，直线过的上顶点与右顶点且与圆相切．(1)求的方程．(2)过上一点作圆的两条切线，（均不与坐标轴垂直），，与的另一个交点分别为，．证明：①直线，的斜率之积为定值；②．17．如图所示，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面积为．（注：题目中把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点）(1)求的值；(2)过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点，试将的周长表示为的函数；(3)在（2）的条件下，当的周长取得最大值时，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．18．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，为坐标原点．(1)求的方程；(2)已知点，若上存在一点，使得，求的取值范围；(3)过的直线交于两点，过的直线交于，两点，，位于轴的同侧，证明：为定值．19．已知双曲线的离心率为，经过点、．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线相交于、两点，已知点、分别位于第二、四象限，求四边形面积的最小值．

答案1．C根据抛物线的标准方程，可得答案.抛物线的准线方程为.故选：C.2．C由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式得到，再由双曲线的定义和向量的数量积为零得到，最后结合三角形的面积公式求出离心率即可.设，则，即，双曲线C的渐近线方程为，所以，又，平方后得，又在中，由可得，所以，两式相减，整理得，所以，因为，所以，解得．故选：C.3．C由题意求出的值，可得出抛物线的方程，设的中点为，则，可得出，再结合点差法可得出，求出直线的方程，根据点在抛物线的内部可得出，由此可得出的取值范围.因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，即抛物线的方程为，设的中点为，则，因为点在直线上，则，得①，又②，且③，④，将③④代入②可得：，代入①可得，

所以的中点坐标为，则直线的方程为：，令得：，而位于抛物线内部，即，可得，则．故选：C.4．C根据中点坐标公式求出、、三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可.由，，，可得中点为，中点为，中点为，设的九点圆方程为，代入、、三点坐标，可得，解得，，，即，化简可得圆的标准方程为．故选：C.5．C本题首先可以取的中点并连接、，根据点以及求出圆的标准方程为，然后求出、两点坐标，再然后设点，通过两点间距离公式求出，最后通过相同的方式得出，即可求出的值.因为圆与轴相切于点，所以圆心的横坐标为，如图，取的中点，连接、，因为，点是弦的中点，所以，，则，，圆的半径，故，圆的标准方程为，联立，解得，，，设点，则，，同理可得，故，6．B解：因为点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，所以，，从而有，所以,，，由题意，三角形的面积为1，设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形分割为面积相等的两部分，可得，所以，故点M在射线上．设直线y＝ax+b和的交点为N，则由可得点N的坐标为．①若点M和点重合，如图：

则点N为线段的中点，故N，把、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．②若点M在点O和点之间，如图：

此时，点N在点和点之间，由题意可得三角形的面积等于，即，即，可得a，求得，故有．③若点M在点的左侧，

则，由点M的横坐标，求得b＞a．设直线y＝ax+b和的交点为P，则由求得点P的坐标为，此时，由题意可得，三角形APN的面积等于，即，即，化简可得．由于此时b＞a＞0，所以．两边开方可得，所以，化简可得，故有．综上，b的取值范围应是.7．ABD根据P点位置判断A；利用椭圆第二定义判断B；利用联立方程的方法可判断C；结合椭圆第二定义以及距离的几何意义判断D.对于A，当点P位于椭圆的长轴上的一个顶点时，取最大值，最大值为2，A正确；对于B，椭圆的右准线为，根据椭圆第二定义可知，B正确；对于C，设，则圆M的方程为，联立得，令，此时方程有两相等实数根，符合题意，则，圆的半径为，C错误；对于D，由于，则，当且仅当P位于时取等号，即的最小值为3，D正确，故选：ABD8．ACD设，由题意求得轨迹方程，将代入方程可判断A；当时，将代入方程计算可判断B；令，则，求得，可求得最大面积判断C；令，可得，利用二次函数的性质可求得最大值.设，由，得．将代入上式，等式仍成立，知曲线关于轴对称，所以选项A正确；当时，将代入等式成立，知原点在曲线上，所以选项B错误；当时，方程整理得．令，则，若方程有两个负根，则，推出无解，故方程至少有一个正根，由得，面积的最大值为，所以选项C正确．由，得．令，得，所以．所以．所以．所以选项D正确．故选：ACD．9．ABD由抛物线的定义可得，结合即可判断A；设的方程且联立抛物线方程，利用韦达定理可得，由中点坐标公式和两点表示直线斜率可得，即可判断B；由选项B知、，结合抛物线的定义化简计算即可判断C；由选项C得，由射影定理得，则，结合基本不等式计算即可判断D.A：由题意得，又以为直径的圆与切于点，故A正确；B：设的方程为，联立整理得，，又，则，，即，故B正确；C：由选项B知，，故C错误；D：由选项C，得，则，在中，，，由射影定理得，，当且仅当时，等号成立，且，故D正确.故选：ABD．10．ABD利用线段垂直平分线的性质求解选项A，结合导数，求出过点且与抛物线相切的直线方程结合选项A求解选项B，利用向量垂直的求解出直线与直线垂直时，对应的或，求解选项C，若是直角三角形，结合C选项的结论得到，所以，直线的斜率为，求解选项D.因为线段的垂直平分线上的点到点的距离相等，且点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点，A正确.不妨设点在第一象限，设，线段的中点坐标为.结合A选项的结论可得，线段的垂直平分线的斜率为.由，可得，所以过点的切线的斜率为，所以过点的切线与线段的垂直平分线重合，即过点且与抛物线相切的直线垂直平分线段，B正确.，若直线与直线垂直，则，解得或，都不符合题意，所以直线与直线不可能垂直，C错误.若是直角三角形，结合C选项的结论，只能是，所以，直线的斜率为，D正确.故选；ABD.11．BCD对于A，将的周长转化为椭圆上两点到两焦点的距离即可；对于B，设，且，，结合斜率两点公式判断；对于C，直线与椭圆联立，应用韦达定理，再通过计算线段中点到直线的距离即可；对于D，由C选项的结论，设，，通过共线得，同理由共线得，结合韦达定理则，且，即可计算.椭圆，长轴长，短轴长，对于A，直线过椭圆的左焦点，为右焦点，的周长为，故A错误；对于B，设，则，，所以，同理，所以直线，，，的斜率之积为，故B正确；对于C，直线与联立得，设，则，，线段的中点到直线的距离为，当时，故C正确；设，，由共线得，，同理由共线得，所以，而，则，所以，又，则，故D正确.故选：BCD．12．设，，先由重心坐标公式求出弦的中点坐标，再由，在双曲线上结合点差法和中点坐标公式以及两点斜率公式即可求解.设，，因为，，由重心坐标公式得，，所以弦的中点坐标为，，即．又，在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则，故，作差得，将中点坐标代入得．故13．或由垂直于轴得，由四边形的面积为得，联立直线与抛物线方程，由韦达定理求得直线斜率，进而得到直线的方程.当垂直于轴时，，设直线，，所以，联立得，，所以，所以，所以，即直线的方程为或.故或.14．求得椭圆的，可得焦点坐标和顶点坐标，可，由两点的距离公式可得，即点与的距离，再由椭圆的定义，可得，再由四点共线取得最值，可得所求.解：椭圆的，右焦点为，右焦点为，上顶点为，点在圆上，可设，，表示点与的距离，由椭圆的定义可得，，当且仅当三点共线上式取得等号，故的最小值是，故答案为.15．(1)(2)证明见解析（1）由题意可得解得，所以双曲线的方程为.（2）证明：设直线，点，则.联立，得，.，则，，，所以.16．(1)(2)①证明见解析；②证明见解析（1）设椭圆的半焦距为．依题意，离心率，则，①．直线，即，由题可知②．联立①②，解得，，故的方程为．（2）（i）设过点且与圆相切的直线的方程为，则，整理得，记直线，的斜率分别为，，则，为定值．（ii）由（i）的过程可知直线，联立方程得则有，故．直线，同理可得．故，则．17．(1)(2)(3)的面积不是定值，取值范围是（1）扇形的面积为，解得，半椭圆与轴的交点，右焦点，所以在中，，又因为，所以.（2）显然直线的斜率不为，所以，由（1）知半椭圆方程为，圆弧方程为，恰为椭圆的左焦点，①当时，分别在圆弧和半椭圆上，因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以，因为在半椭圆上，所以，所以的周长；②当时，在半椭圆上，因为在半椭圆上，所以，所以的周长；③当时，分别在半椭圆和圆弧上，因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以，因为在半椭圆上，所以，所以的周长；综上，.（3）由（2）知，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，此时在半椭圆上，设直线的方程为，联立得，，，点到直线的距离，所以，令，因为，所以，，，因为在上单调递增，所以即，所以，即的面积不是定值，取值范围是.18．(1)(2)(3)证明见解析（1