平面向量的范围、最值问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/平面向量的范围、最值问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．2．已知平面向量、的夹角为，且满足，则以下四个向量中模长最大的是（

）A． B． C． D．3．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（

）A．1 B． C．3 D．44．已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．已知平面向量、满足，，并且当时，取得最小值，则（

）A． B． C． D．6．已知单位向量的夹角为，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．7．已知向量满足，则的最小值是（

）A．0 B．2 C． D．58．已知向量，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．9．已知向量，则的最大值为（

）A．6 B．4 C． D．10．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（

）．A． B．0 C． D．二、多选题11．已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．的最小值是三、填空题12．在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，为中点，则的最小值为．13．设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为．14．已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为．15．已知平面向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围是：．16．在梯形中，，，，，，点满足，则；若与相交于点，为线段延长线上的动点，则的最小值为.17．在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．18．已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是；最大值是.19．在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是．①为定值3

②面积的最大值为③的取值范围是

④若为中点，则不可能等于

答案题号12345678910答案ADCDABDACC题号11答案ACD1．A【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.【详解】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.2．D【分析】考查函数，其中，利用平面向量数量积的运算性质可得出的表达式，结合二次函数的单调性可得出合适的选项.【详解】考查函数，其中，由平面向量数量积的定义可得，所以，由二次函数的基本性质可知，函数在上单调递减，又因为，故四个选项中，D选项中向量的模长最大.故选：D.3．C【分析】在平面直角坐标系中，设，，，根据平面向量数量积的坐标运算可得出，的值，以及的值，再利用平面向量的模长公式以及基本不等式可求得的最小值.【详解】在平面直角坐标系中，设，，，因为，，，所以,所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.4．D【分析】根据向量的线性运算确定，且，再将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意知向量且点D在线段BC上（不包括端点），则设，则,则，结合，可得，且，故，当且仅当，结合，即时取得等号，即的最小值为，故选：D5．A【分析】结合数量积的定义，利用数量积的运算律求得，然后利用二次函数性质求出取最小值时，即可求解.【详解】平面向量、满足，，则，所以，所以时，取得最小值，即取得最小值，故，解得.故选：A.6．B【分析】直接利用数量积与模的关系结合二次函数的性质计算即可.【详解】易知，所以，即当时，．故选：B．7．D【分析】根据已知条件设出向量,再求出向量,再根据模长公式结合三角函数的值域得出最小值即可.【详解】不妨设，则，则，且，则，当时，.故选：D.8．A【分析】首先利用坐标公式求出向量的数量积，然后求出向量夹角的余弦值，根据夹角为钝角条件求出的取值范围.【详解】因为向量，所以.所以向量夹角的余弦值为：因为向量的夹角为钝角，所以解得且（当时），所以实数的取值范围为.故选：A.9．C【分析】先利用平面向量数量积的坐标表示与三角恒等变换化简，再根据整体角范围利用正弦函数图象求解最值即可.【详解】由，得，，由，得，因为，所以当时，取得最大值，且最大值为.故选：C.10．C【分析】设正方形的内切圆圆心为，由题可得为圆的一条直径时，弦的长度最大，，据此可得最大值.【详解】如下图所示：设正方形的内切圆圆心为，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，则.当与正方形的顶点重合时，，因此，．故选：C11．ACD【分析】设，利用向量线性运算表示出，即可得到，判断选项AB，然后利用基本不等式求最值，即可判断选项CD.【详解】由题知，设，则，因为，所以，则，且，A正确，B不正确；，当且仅当时，等号成立，C正确；又，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：ACD12．【分析】依题建系，，分别求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式化简计算得到，结合，即可求得其最小值.【详解】如图，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.依题意，，设，则，，由，因，则当时，取得最小值为.故答案为.13．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】，，，.故答案为.本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.14．/【分析】由两边平方可得，向量在向量方向上的投影化简为，再由基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，所以，又，所以，因为向量在向量方向上的投影为，当且仅当时等号成立，故向量在向量方向上的投影的最小值为.故．15．【分析】由且不共线可得答案.【详解】由题可得且不共线，则且.故．16．/【分析】利用可得到大小，根据梯形上下底平行可得线段比例关系，取中点，利用向量数量积可得，通过求的最小值即可得到结果.【详解】由得，，解得，故.设交于点，由题意得，.在中，由余弦定理得，，故.由得，，，所以.取中点，连接，则，，所以，故.因为，所以当最小时，有最小值，的最小值为点到直线的距离.由得，，又因为，所以为等边三角形，故点到直线的距离为，由得点到直线的距离为，即，此时.故；.关键点点睛：本题考查平面向量综合问题，解决问题的关键是利用平面向量的极化恒等式公式得到，问题转化为求线段长的最小值，分析几何图形即可得到结果.17．【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为为的中点，则，可得，两式相加，可得到，即，则；空2：因为，则，可得，得到，即，即.于是.记，则，在中，根据余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，当且仅当取得等号，则时，有最大值.故；.

18．0【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，要使的最小，只需要，此时只需要取此时等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．比如则.点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题．对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.19．①②④【分析】对于①:利用和数量积的计算公式可求；对于②：利用面积公式和基本不等式即可判断；对于③：先判断出