第九单元解三角形-2026届高考数学一轮单元素养练 含答案

/第九单元解三角形(120分钟150分)考情分析高考对接点解三角形是高考必考点，主要在主观题中考查单元疑难点解三角形的应用滚动知识点三角恒等变换典型情境题6、16一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=2，b=3，B=π3，则A.3π4 B.π4 C.π2 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=3，b=1，B=π6，则A.2 B.3 C.3或2 D.1或23.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，ccosB+bcosC=3，则a=A.1 B.2 C.3 D.44.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，a=41，b=5，c=6，若A的角平分线AD与边BC交于点D，则AD的长为A.20611 B.28611 C.326115.在△ABC中，若sinA=2sinBcosC，则△ABC为A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形6.如图，某同学想测量校园里一颗古树EF的高度，他在自己的教室M处测得树顶F处的仰角为π4，MN∥EF，在操场P处(E，P，N在同一水平线上)测得树顶F处、教室M处的仰角分别为π3和π12，假设树垂直地面，EF，点P，MN在同一平面内，若MN=(8-43)m，A.43m B.12m C.83m D.16m7.已知3cos(2α-β)=4cosβ，则tanαtan(α-β)=A.-112 B.-14 C.-13 8.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b(3sinA-cosC)=(c+a)cosB，则acbA.13，1 B.23，2 C.23，1 D.13，2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，c=163，B=π3，若满足条件的三角形有两个，则整数bA.24 B.25 C.26 D.2710.若sinθ+2cosθ=-2，θ∈(π，2π)，则A.sin3θ=-44125 B.tanθ2=-2 C.cos2θ=-725 D.11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若tanAtanBtanC-tanC=3caA.若△ABC为锐角三角形，则cb的取值范围为13，3B.若△ABC的面积为12，则三条高的乘积的最大值为C.若AD平分∠BAC，且交BC于点D，AD=3，则b+4c的最小值为9D.若b-c=33a，则△ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若b2+c2=103a2，则cosA的最小值为13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若43S3=b2+c2-a2，a=3，则c+3b的最大值为，此时14.剪纸，是一种镂空艺术，是我国最古老的民间艺术之一.如图，一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点C，C1重合，D，E为直径AB上的两点，且∠ECD=π4，对折后沿直线DC，EC剪开(减掉的细小纸屑忽略不计)，展开后得到四边形CEC1D.若AC=12AB=2，则四边形CEC1D的面积的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sinB+3sinAcosC=0.(1)证明：5b2=3c2-3a2.(2)若C=2π3，c=19，求△ABC的周长16.(15分)给出两个条件：①2bcsinA=3(a2+b2-c2)；②2cos2C+4cos(A+B)+3=0.任选一个补充到问题中，并给出解答.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且.

(1)求C的大小；(2)若D为AB的中点，且CD=3，求△ABC的面积S的最大值.17.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，42bcosA2=3asin(A+C)(1)求sinA；(2)若点M为△ABC的内心，AM的延长线交BC于点D，且AD=1，a=42，求b，c.18.(17分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，33csinB-a2+(1)求B的大小；(2)若D为△ABC外一点，且点B，D在直线AC的两侧，CD=3a，∠CAD=π6，∠BCD=2π3，△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2，求19.(17分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.(1)若a2+b2=4abcosC，求a2+(2)已知1-cosC=2sinAsinB.①若A，C，B成等差数列，求cos(A-B)的值；②求a+b

答案1.B【解题分析】因为a=2，b=3，B=π3，所以sinA=absinB=23×32=22，因为a<b2.D【解题分析】因为b2=a2+c2-2accosB，且a=3，b=1，B=π6，所以1=3+c2-2×3c×32，解得c=1或c=3.C【解题分析】(方法一)过点A作BC的垂线，垂足为D，所以ccosB+bcosC=BD+CD=a=3.(方法二)因为ccosB+bcosC=3，所以ccosB+bcosC=3a·a，所以sinCcosB+sinBcosC=3a·sinA，所以sin(C+B)=3a·sinA，所以(方法三)因为ccosB+bcosC=3，所以c·a2+c2-b解得a=3.4.A【解题分析】因为a=41，b=5，c=6，所以cosA=b2+c2-a22bc=25+36−412×5×6=13，所以sinA=1−cos2A=223，sinA2=1−cosA2=33，由S△ABC=S△ABD+S△ACD得12·即12×5×6×223=12×6AD×33+12×5AD×5.A【解题分析】(方法一)因为sinA=2sinBcosC，所以sin(B+C)=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，所以cosBsinC=sinBcosC，所以sin(B-C)=0(或tanB=tanC)，所以B=C，故△ABC为等腰三角形.(方法二)因为sinA=2sinBcosC，所以a=2b·a2+b2-c22ab，所以a2=a2+b2-c6.B【解题分析】由题知∠QMF=π4，∠EPF=π3，∠MPN=π12，所以∠FMP=π4+π12=π3，∠FPM=π-π3-π12=7π12，所以∠在△FPM中，MPsin∠MFP=PFsin∠PMF，所以PF=sin∠PMFsin∠MFP·MP=sinπ3在Rt△PEF中，EF=PF·sinπ3=3MN1−cosπ6·sinπ3=7.D【解题分析】因为3cos(2α-β)=4cosβ，所以3cos(α+α-β)=4cos(α-β-α)，所以3cosαcos(α-β)-3sinαsin(α-β)=4cos(α-β)cosα+4sin(α-β)sinα，所以cosαcos(α-β)=-7sin(α-β)sinα，即tanαtan(α-β)=-178.C【解题分析】因为b(3sinA-cosC)=(c+a)cosB，所以sinB(3sinA-cosC)=(sinC+sinA)cosB，所以3sinBsinA-sinBcosC=sinCcosB+sinAcosB，所以3sinBsinA-sinAcosB=sinA，所以2sinB-π6=1，所以B=π3，故acb2=aca2+c2-ac=1ac+ca-1.因为△ABC为锐角三角形，所以π6因为tanA∈33，+∞，所以12<ca<2，所以1≤ac+ca-1<32，所以29.BCD【解题分析】因为满足条件的三角形有两个，所以csinB<b<c，所以24<b<163，因为27<163<28，所以整数b的值可能为25，26，27.10.ABC【解题分析】因为sinθ+2cosθ=-2，所以sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ=4，所以4sinθcosθ-3sin2θ=0，因为θ∈(π，2π)，所以4cosθ-3sinθ=0，所以tanθ=43，因为tanθ=2tanθ21−tan2θ2=43，解得tanθ2=-2或tanθ2=12(舍去).易知sinθ=-45，cosθ=-35，所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=-725，sin2θ=2sinθcosθ=2425，=-45×-725+-35×2425=-4412511.CD【解题分析】因为tan(A+B)=tanA+tanB1−tan所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，所以tanAtanBtanC-tanC=tanA+tanB=sin=sinCcosAcosB=3sinCsinA对于选项A，因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<π2,所以cb=sinCsinB=sin(2π3-B)因为π6<B<π2，所以tanB∈33，+∞，所以cb∈12，2，故选项A错误对于选项B，设AB，AC，BC边上的高分别是CE，BF，AH，则由三角形面积公式易得AH=1a，BF=1b，CE=1c，则(AH·BF·CE)2=1abc2，S=12bcsinA=12，得bc=233，所以(AH·BF·CE)2=34a2，又a2=b2+c2-bc≥bc=233，当且仅当b=c时等号成立，所以(AH·BF对于选项C，因为AD平分∠BAC，且交BC于点D，AD=3，所以S△ABC=S△ABD+S△ADC，所以12bcsinA=12c·3·sinπ6+12b·得bc=b+c，即1b+1c=1，所以b+4c=(b+4c)1b+1c=5+4cb+bc≥5+24cb·bc=9，当且仅当b=2c，即b=3，对于选项D，易知a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc，因为b-c=33a，所以b=33a+c，代入上式得a2=33a+c2+c2-33a+cc，整理得3c2+3ac-2a2=0，解得a=3c或a=-32c(舍去)，则b=2c，所以b2=a2+c2，故选项D正确12.7【解题分析】cosA=b2+c2-a22bc13.2395【解题分析】因为43S3=b2+c2-a2，所以23bcsinA3=2bccosA，所以tanA=3，所以A=π3，因为a=3，所以b=asinAsinB=23sinB，c=asinAsinC=23sinC，所以c+3b=23sinC+63sinB=32sinC+6sinC+π3=3(5sinC+33cosC)=239sin(C+φ)≤239，其中cosφ=5213，sinφ=33213，当且仅当sin(C+φ)=1时等号成立，此时sin14.62-6【解题分析】设∠CDA=θ，∵AC=12AB=2，∴∠CAD=π3，在△CDA中，由正弦定理可得ACsinθ=CDsinπ3，∴CD=2sinπ3sinθ=∴CE=2sinπ3sin(θ−S△CED=12CD·CEsinπ4=12·3sinθ·=32(sin2θ−sinθ所以当θ=58π时，四边形CEC1D的面积取得最小值，最小值为61+2=6(2-1)=6215.【解题分析】(1)因为sinB+3sinAcosC=0，所以b+3acosC=0，所以b+3a·a2+b2-c22ab=0，整理得5b2=3(2)因为C=2π3，所以c2=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2+ab所以5b2=3(a2+b2+ab)-3a2，所以2b=3a，所以5·9a24=3c2-3所以a2=4c219，因为c=19，所以a=2，所以故△ABC的周长为5+19.13分16.【解题分析】选①2bcsinA=3(a2+b2-c2).(1)因为2bcsinA=3(a2+b2-c2)，所以2sinBsinCsinA=3(sin2A+sin2B-sin2C)，所以2absinC=3(a2+b2-c2)，所以2absinC=3×2abcosC，解得tanC=3，因为C∈(0，π)，所以C=π3.6分(2)因为D为AB的中点，且CD=3，所以2(a2+b2)=c2+(23)2，由(1)知C=π3，所以a2+b2-c2=ab，所以2(a2+b2)=a2+b2-ab+12，所以a2+b2+ab=12，所以2ab+ab≤12，即ab≤4，当且仅当a=b时等号成立，因为S=12absinC≤34×4=3，所以△ABC的面积S的最大值为3选②2cos2C+4cos(A+B)+3=0.(1)因为2cos2C+4cos(A+B)+3=0，所以2cos2C-4cosC+3=0，所以4cos2C-4cosC+1=0，所以cosC=12，因为C∈(0，π)，所以C=π3.(2)同选①的第(2)问.15分17.【解题分析】(1)因为42bcosA2=3asin(A+C)，所以42sinBcosA2=3sinAsinB，所以42cosA2=3sinA=6sinA2cosA2，所以sinA2=223，所以cosA2=1−(223)

2=13，所以sin(2)由(1)知sinA2=223，cosA2=13，所以cosA=cos2A2-所以b2+c2-a22bc=-79，化简得9(b+c)2-因为点M为△ABC的内心，所以AD平分∠CAB，由S△ABC=S△ABD+S△ACD得12·AB·AC·sin∠BAC=12·AB·AD·sin∠BAC2+12·AD所以2bc=3(b+c)，所以由9(b+c)2-4bc=9×32，可得4(bc)2-4bc=9×32，解得bc=9或bc=-8(舍去)，所以b+c=6，解得b=c=3.15分18.【解题分析】(1)因为33csinB-a2+所以33csinB-bcosC+a=0，所以33sinCsinB-sinBcosC+sinA=所以33sinCsinB-sinBcosC+sin(B+C)=0所以33sinCsinB+cosBsinC=0，所以tanB=-3，所以B=2π3.(2)设∠ACB=α，则∠ACD=2π3-α，D=π6+α，∠CAB=π在△ACD中，由正弦定理得CDsin∠CAD=ACsinD，在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠CAB=ACsinB，两式作商，得sin(π3-α)sin(π6+α)=cos(π6+α)sin(π6+α)=14，即si