平面向量的运算重点题型梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/平面向量的运算重点题型梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．在所在平面内，点满足，记，，则（

）A． B． C． D．2．在中，为的中点，则（

）A． B． C． D．3．已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．已知向量，满足，，与的夹角为，则（

）A．2 B．4 C． D．5．关于平面向量，下列正确的是（

）A．若是单位向量，零向量，则B．若向量与不共线，则存在一对实数，使C．海拔、温度、角度都是向量D．若，则四边形ABCD是菱形6．已知是上三点，射线与的延长线（不包括点）交于点，若，则（

）.A． B．C． D．7．已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．8．在平行四边形中，已知，，则（

）A． B．C． D．二、多选题9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，下列计算正确的是（

）A． B．C． D．10．已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（

）A．点是中线的中点B．点在中线上但不是的中点C．与的面积之比为1D．与的面积之比为11．已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（

）A． B．与共线的单位向量是C．若，则共线 D．若，则三、填空题12．若平面向量，，则与夹角的正切值是.13．四边形为菱形，其中，，则.14．已知为的外心，，，．若，则．15．在中，为边上的中线，为上一点，且，若，且（），则．16．设向量满足，若，则的值是．四、解答题17．是曲线上的动点，若，求的取值范围．18．设是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量以点为旋转中心顺时针旋转得到，当为零向量时，规定也是零向量．(1)若，，求，；(2)若为不共线的向量，满足，请解答下面的问题：（ⅰ）证明：；（ⅱ）求的值．19．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.在仿射坐标系中，向量的加减法、数乘运算的坐标运算规律和直角坐标系一致.已知在仿射坐标系下，.(1)当时，求；(2)当时，求；(3)如图，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，的中点，求.

答案题号12345678910答案CDACBDDDACDACD题号11答案ACD1．C【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果.【详解】由向量的线性运算可知.故选：C.2．D【分析】利用平面向量的加法可得结果.【详解】.故选：D.3．A【分析】先计算向量，再应用投影向量公式计算求解.【详解】，则向量，则在的投影向量为，故选：A．4．C【分析】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案.【详解】法一：，即；法二由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，若，，，，，则，，故.故选：C.5．B【分析】对于A，由单位向量，零向量定义可判断选项正误；对于B，由平面向量基本定理可判断选项正误；对于C，由向量定义可判断选项正误；对于D，由向量相等定义结合题意可判断选项正误.【详解】对于A，因是单位向量，零向量，则，故A错误；对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，则由平面向量基本定理可得：存在一对实数x，y，使，故B正确；对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误；对于D，因，则，则四边形ABCD是平行四边形，条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误.故选：B.6．D【分析】利用向量三点共线的推论与向量共线的性质即可得解.【详解】因为三点共线，不妨设，其中，，

又三点共线，且反方向，不妨设，所以，又，则，所以，故选：D.7．D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.8．D【分析】法一，在中分别利用向量加法的三角形法则表示，，再根据平面向量共线定理及向量相等转化即可表示出；法二，在中利用向量加法的三角形法则表示，再根据平面向量共线定理及向量相等转化即可表示出.【详解】在平行四边形中，有.已知，，法一：.法二.故选：D9．ACD【分析】根据向量的加法法则可逐一判断．【详解】对于A，由平面向量加法的平行四边形法则得，A正确；对于B项，，B错误；对于C项，，C正确；对于D项，，D正确．故选：ACD10．ACD【分析】由平面向量的线性运算得到，则AB可判断，利用三角形中线的性质得，则CD可判断.【详解】因为的中点为，所以.又，所以，所以，即为的中点，A正确，B错误.由A正确可知，，所以C，D正确.故选：ACD.11．ACD【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断.【详解】由相反向量的定义可知A正确；与共线的单位向量是，故B错误；由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确；由可得，所以，D正确.故选：ACD.12．【分析】利用向量的数量积公式求夹角即可.【详解】由，即，又，所以.故13．【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案.【详解】四边形为菱形，其中，连接，所以为边长为等边三角形，所以故14．【分析】解法1：先将已知条件画成相应的图形，然后将等式化简求出和的值；解法2：先将已知条件画成相应的图形，然后利用数量积列出方程组，求解方程解出；解法3：先将已知条件画成相应的图形，然后作出平面直角坐标系，将向量的坐标表示出来列出方程组，进而求得结果.【详解】解法1：如图，设，，，作于点于点．

易知，其中，由已知条件可求得，，故．解法2：由得解得故．解法3：以为圆心，作平面直角坐标系如图所示，则，，，因为外心是的中垂线和的中垂线的交点，则，得，，，从而有故．

故答案为.15．【分析】根据已知，可由向量分别表示出，再由可得含有的等式，又不共线，可得方程组，计算即得.【详解】如图所示，由为边的中点，得到，而，因此，所以，因为，得，因为，设（），所以，所以，即．因为与不共线，所以，得，故．故答案为.16．4【分析】由，由向量运算及向量数量积垂直的表示可得，，即可求值【详解】由，则，∴，由，∴.∴故417．．【分析】首先根据向量的线性运算将转化为，然后再根据投影的几何含义求解取值范围即可.【详解】如下图，取的中点为.知，易知：表示在方向上的投影.观察图像可知：当的坐标为时，取得最小值，最小值为；当的坐标为时，取得最大值，最小值为；因此可得：，由于，故的取值范围为．18．(1)，；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）0【分析】（1）需要先根据向量旋转的规则求出旋转后的向量，再计算向量的数量积；（2）（i）要利用已知条件和向量运算性质进行推导；（ii）根据向量数量积的运算律进行化简计算即可.【详解】（1）已知，将以点为旋转中心顺时针旋转得到.根据向量旋转的性质，若，则旋转后的，所以.那么.已知，将以点为旋转中心顺时针旋转得到，则.所以.（2）（ⅰ）已知，两边同时进行RT运算与做点积，即.根据RT运算的分配律（可由向量数量积的分配律推导）可得.因为，设，则，.所以，又因为不共线，，则.（ⅱ）同理可得，当、不共线时，则，所以，，所以，.19．(1)1(2)(3).【分析】（1）