北科大材料力学课件06弯曲变形

第六章弯曲变形材料力学研究目的：防止过量变形,预防刚度不足导致失效破坏.

1940年11月７日，华盛顿州的TacomaNarrows桥，由于桥面刚度太差，在45mph风速的情形下，产生驰振。实例：CollapseoftheTacomaNarrowsBridge§6-1工程中的弯曲变形问题破坏之前扭曲运动主跨破坏边跨下垂破坏惨状新Tacoma桥

/media_461550807/Collapse_of_the_Tacoma_Narrows_Bridge.html

早期的大跨桥梁尤其是悬索桥是美国设计的居多,主梁刚度很大的那种,梁高很高,就像金门大桥.日本的悬索桥也是沿用这个技术路线.后来人们搞清二阶效应后,知道梁不用做的那么刚性,在车辆荷载下也是可以的.于是欧洲流派就尝试了很多扁平的很柔的悬索桥结构,直到这个桥出事后才意识到风对桥的动力振动问题.分析和改进

当时的风速不算很大,就是那个主梁断面设计的有问题,这个桥太柔,而且桥面也很窄,容易受侧向风荷载产生振动．十年后重新建的桥,改进在边缘加个风嘴,中线处加一个横隔栏,梁的下部采用桁架结构，横截面设计成为流线形,稍微改变形状上的一个小细节,比如中线处加一个横隔栏都会对风振产生很大影响．y—与y轴同向为正1.挠度:

梁轴线的竖向位移-----挠曲线方程AyxBCC`PB`y§6-2挠曲线的微分方程2.转角:

截面绕中性轴的转角-----转角位移方程

—逆时针转为正3.y与

的关系:tg

=y’∵tg

(小变形)CBAxyyB’C’θθP∴

=y’4.梁的挠曲线近似微分方程

微分方程(任一截面x点的弯矩和曲率的关系)上任一点的曲率)----（1）1<<,2yQ（小变形,曲线弯曲平缓）——(2)（近似挠曲线微分方程）(2)代入(1)——(3)近似性：①略去剪力的影响②略去了项

+1,2y1可知：M与符号相同

符号规定MMM>0y’’>0yxy取极小值M<0y’’<0MMyxy取极大值

当梁内弯矩分段、材料不同、截面不同，梁的近似挠曲线微分方程必须分段表示。积分法一般步骤为：一次积分得：再次积分得：其中：C(k),D(k)为积分常数，如梁的近似挠曲线微分方程分n段，则共有2n个积分常数，需要用积分定解条件确定。§6-3用积分法求弯曲变形1、边界条件积分定解条件待定积分常数由梁的边界条件与连续条件确定。（1）在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：y=0;（2）在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：y=0，θ＝0。边界条件是指约束对于挠度和转角的限制：例1：悬臂梁zyyxx边界条件RARBlabPACB例2：简支梁边界条件例3：具有弹簧约束的简支梁，设弹簧刚度为k边界条件RARBlabPACB2、连续条件：在分段的交界处，由于连续性，两段方程在一截面的挠度和转角相等。RARBlabPACB连续条件例4：简支梁积分定解条件：例5：具有中间铰链约束的悬臂—简支梁边界条件qabACB连续条件分析：需要分成两部分，因此有4个待定的积分常数例6：计算图示悬臂梁的最大转角和挠度。已知梁的抗弯刚度为EIz。解：（1)梁的弯矩及边界条件zyyxx弯矩边界条件（2)梁的近似挠曲线微分方程（3)积分计算位移由边界条件得：一次积分：\62l+2,)3(z3xlxEI-qxy-=

(a)对上式再积分得：由边界条件得：（4）计算最大转角和挠度(b)把x=l代入(a)(b)得：小结：yxPABy挠曲线，y=y(x)拉压变形：

l扭转变形：

弯曲变形截面形心的竖向位移y挠度转角截面绕中性轴转过的角度

y

(x)挠曲线方程

(x)转角方程弯曲变形：1、梁变形的特征公式应用的条件:1)材料服从虎克定律；2)小变形，忽略剪力对挠度的影响；小结：

2、挠曲线近似微分方程解：边界条件:RARB连续条件:laPb例7求梁的挠曲线方程及最大挠度Paby1y2ABCa>b极值点在AC段a=b极值点在C点注意：可以证明，当载荷P向某一支座靠近时，梁内最大挠度的位置趋近于L/√3=0.577L，很接近梁中点位置。因此，工程中可近似用梁中点位置的挠度代替最大挠度。作业：6-1，6-4(a),6-8(a)

对于线性系统，各变量是关于系统的线性函数。则其解可以线性叠加。P2ABP1ABP1P2AB=+1、叠加法（superpositionmethod）的基本概念如果方程和均为线性则：§6-4用叠加法求弯曲变形

基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superpositionmethod）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。2、叠加法求弯曲变形

当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。解：例1求梁的挠度和转角，yc,

A。aaP=qaABqCaaABqCaaABCP=+例2求图示悬臂梁的yc组合方法一：增减载荷法CABCBAC（1）CB（2）

将杆件系统分解为n段，分n次变形。假设每次只有一段变形，其它段均作为刚性处理（可以使用刚性体的力学原理），然后进行叠加，求得变形量。组合方法二：逐段刚化法方法：先假设BC段刚性，只有AB段变形再考虑BC段的变形(AB段刚性)ABCBACCAB=+牵带位移例3求图示悬臂梁的yc组合方法三：等价积分法积分ABCCxdx例4求图示悬臂梁的yc先取微分长度，形成微集中力dP=qdx，代换后知：BAP例5求图示简支梁的yCPABCEI2EI解：PABC组合方法四：等价悬臂梁法(仅适合简支梁受到对称荷载)由于对称：梁在C点的转角为0，可以视为一悬臂梁在C点固定，在A点受集中力作用。A点所产生的位移恰好与C点的位移数值相同。A注意：一般已经给出悬臂梁法受集中力(力偶)作用所产生的位移和转角，即：BAP=+BAMAaaAaaM=a*P/2AaaABABP=+组合方法五：利用对称性(仅适合求简支梁中点位移)

从数学知识，任何实矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称矩阵之和的形式:[F]=[F]symm

+[F]antisymm,对于轴对称的结构,力也可以同样分解.例如P/2P/2P/2P/2例6：已知悬臂梁受集中力作用所产生的端部位移和转角。求图示梁在中点的挠度，fc=+ABP/2P/2P/2P/2aABPaa/2C

在对称力P/2和支座反力P/2作用下，中截面的的挠度fc可以用端部的挠度fB表示BCDBAP§6-5简单的静不定梁

与杆件静不定问题的解题方法类似，除了平衡方程外，还需要建立变形协调方程（compatibilityequation）,并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程（constitutiveequations）。解静不定梁基本步骤：2、建立平衡方程3、针对原冗余约束条件，建立变形协调方程4、按照弯曲变形的公式建立物理方程1、选定并解除冗余约束，代之以多余约束反力，形成基本静定基。（注意：基本静定基的形式并不唯一。）5、联立求解平衡方程、物理方程和变形协调方程。解得多余约束反力例8求:梁的约束力已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI、长度为l。BAlq解：1、平衡方程:YA+YB-ql=0XA=0BMAYAXAYBAlq3、物理方程：2、变形协调方程：

yB=yB(q)+yB(FBy)=0yB(q)=ql4/（8EI）yB(FBy)=-Ybl

3/（3EI）lyB(YB)BYBABMAYAXAYB

AlqyB(q)Blq=+解：4、综合求解YA+YB-ql=0XA=0yB=yB(q)+yB(YB)=0由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出:yB(q)=ql4/（8EI）yB(YB)=-Ybl

3/（3EI）YB=3ql/8,XA=0,MA=ql2/8YA=5ql/8,BMAYAXAYB

Alq强度：正应力：剪应力：刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。§6-6提高弯曲刚度的一些措施一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著«营造法式

»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义

»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为Rbh请记住：当梁上下对称时，强度与抗弯截面模量Wz相关；刚度与惯性矩Iz相关。合理截面1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaa例如：以圆形截面为基准，在面积相等的情况下，比较其它截面对于正方形zD0.8D圆环形截面a12a1z矩形截面工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z框形截面显然：工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理。

对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面2、根据材料特性选择截面二、采用变截面梁最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为：同时Px

在工程应用中则广泛采用变截面梁，如：在机械工厂中，行车多采用鱼腹梁形状。三、合理布置外力（包括支座），使M

max

尽可能小PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5对称MxqL2/10MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2x322qL-M四、防止薄壁梁的侧向屈曲1.矩形纯弯梁的临界载荷LMMxyz2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷LMMxyzh

由上可见，Iy过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。五、选用高强度材料，提高许用应力值

同类材料，如钢材“E”值相差不多，“

s”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。

不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！

刚度设计举例

对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是