北科大材料力学课件09压杆稳定

第九章压杆稳定材料力学§9–1

压杆稳定的概念压杆失稳(Buckling):

杆件在压力载荷作用下，丧失保持其原有直线形式平衡状态的能力。注意:

杆件在失稳后，有可能以弯曲曲线形式的平衡状态的维持，也可能不再平衡。杆件失稳≠不平衡螺纹千斤顶Screwjack车架carriage薄壁容器Thin-walledcontainerP>Pcr工程背景压杆失稳破坏的实例失稳破坏1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、总重565.4kN大型脚手架屈曲坍塌，5人死亡、7人受伤。横杆之间的距离太大2.2m>规定值1.7m;地面未夯实，局部杆受力大；与墙体连接点太少；安全因数太低：1.11-1.75<规定值3.0。

2006年12月9日，北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进行承重测试时突然坍塌,约50米桥体连同桥上进行测试的10辆满载煤渣的运输车一起塌下,1名司机和2名检测人员受伤。

柱脚与地面连接强度不足，局部杆受力大，导致另一柱脚被拔起Ａ型柱的连接杆焊点突然失效，导致Ａ型柱失稳破坏(1)结构必须是由细长或薄壁构件（长杆、薄板或壳体）组成(2)构件必须承受压载荷作用(3)压载荷必须达到或超过失稳的临界载荷，即：结构杆件发生失稳的必要条件思考

为什么一个压杆可能引起失稳破坏。然而，一个拉杆却不会引起失稳破坏？2.稳定平衡和临界平衡

当压杆所承受的压力达到其临界值时，受到一个轻微的扰动后不能够恢复原有形式的平衡状态，称为压杆进入失稳状态。理论上讲，一个压杆所承受的压力达到其临界值时，此杆处于临界平衡状态。然而，在实际的静载条件下，由于压力偏心等原因，这个临界平衡状态是达不到的。

一个处于平衡状态的受力系统，当受到一个轻微的扰动后，仍然能够恢复原有形式的平衡状态，则称为稳定平衡。反之，称为非稳定平衡。

在外界干扰力作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形的过程，则称：压载荷达到失稳的临界载荷Pcr。当压载荷达到某数值时，即：3.压杆的临界载荷§9–２两端铰支细长压杆的临界力确定临界载荷的平衡方法临界平衡临界载荷作用下的弯矩方程:临界载荷当

令lPPPcrPcrxyyPcrNMy考虑杆的边界条件:解的形式为:求解此常微分方程,可以得到含待定常数的通解:选择一个半波:n=1,

欧拉公式lPPPcrPcrxyyn称为半波数讨论:(3)n=1,表示失稳曲线仅有一个半波.(2)I

应当选取最小惯性矩bhxy例如:两端铰支压杆,I=Imin=

IyPcr9Pcr4Pcrn=1n=2n=3不同的失稳曲线

不同的约束不同的边界条件不同的Pcr§9–3其它支座条件下细长压杆的临界力PcrPcrPcrl/2l/4l/4l

两端固定端约束观察失稳曲线拐点处无弯矩确定两个拐点(inflexion)

一端自由，一端固定

一端铰支，一端固定欧拉公式的一般形式PcrPcrPcrl/2l/4l/4lPcrl2lPcrl0.7lPcr—欧拉公式(μl)2

2EIPcr=其中：

E—压杆材料的弹性模量

I—压杆失稳方向的惯性矩

l—压杆长度注意：1、当约束与空间取向无关时（如：球铰链），惯性矩

I

应当取最小值Imin。2、当约束与空间取向有关时（如：夹板式铰链），则按照两个互相垂直方向的惯性矩I和相应的约束(μ)。分别计算临界压力，取其最小值为杆的Pcr

。例：对于两端铰支的压杆，截面为不等边的6.3号角钢，数据见列表。采用欧拉公式计算其临界载荷Pcr正方形:Iｚ=Iy

=

I±45o

=a4/12＝Ａ２／１２正三角形:Iz=a4/36,Iy=a4/48＝Ａ２／９

圆形:Iｚ=Iy

=πｄ4/６４＝Ａ２／４π

思考：对于下列三种不同截面，采用欧拉公式计算临界载荷时，如材料的长度和截面面积相等，哪种截面压杆容易失稳？aaa号数Iz

cm4Iy

cm4Iξcm4Iηcm46.320.026.313.7622.57ξη压力P与压杆内最大挠度Vmax的关系PmaxHFG实际材料失稳PvmaxOA`近似解理想材料失稳CED精确解APcr稳定承载真实压杆的缺陷：初曲率非均匀性偏心载荷小结：2.实际支承处，约束类型的确定

已经讨论过的杆端约束，均为典型的理想约束。然而，实际工程中杆端的约束情况是比较复杂的，有时很难将其归结为某一种理想约束。在实践中，可能将其表示为理想约束与弹簧的组合形式。

因此，为了计算压杆临界载荷，在实际工程中杆端的约束形式及杆的等效长度，应当视具体情况，查工程设计规范而决定。比较四根压杆的欧拉临界力思考：影响压杆承载能力的因素PLa角钢缀条xy

组合立柱问题，长度为L，由四根角钢组成，周边配焊金属连接条形成一个整体结构，由于材料在各方向离中性轴均较远，因此，有利于提高结构的抗失稳能力。例

图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问

a=？时，立柱的临界压力最大值为多少？解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。两根槽钢图示组合之后，PLz0yy1zC1a求临界力，由欧拉公式求临界力。分析两柱压杆有几种屈曲可能？每种情形下的欧拉临界力如何计算？思考：欧拉临界力Pcr如何计算？刚性块刚性地基Ld分析四柱压杆有几种屈曲可能？思考：思考：两个立柱在C处为铰链连接。求：立柱临界压力Pcr为多少？AC段：CB段：立柱的临界压力1.2LLPACB作业9-1，9-2，9-4思考：压杆临界压力Pcr=？L1L2—欧拉公式(μl)2

2EIPcr=Daa§9–4欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界力

问题的提出

三类不同的压杆

柔度

临界应力总图材料和直径均相同

能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临界载荷？

四根压杆是不是都会发生弹性屈曲？问题的提出定义：—柔度（长细比）(Slenderness)—截面的惯性半径或者，柔度(Slenderness)对于弹性屈曲,必须有：

p—比例极限柔度—影响压杆承载能力的综合指标。—柔度—截面的惯性半径欧拉公式的适用范围：可以设：

cr＝

P时，

=p为了满足：即：

cr＝——

2E

p

2显然，只有

p时，即：对于大柔度杆，才可以用欧拉公式计算压杆临界力。应当记忆：对于一般钢材，

P=200~300MPa。其

p~100左右。

cr＝——

P

2E

2

PE

p＝

所以：三类不同的压杆细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲中长杆（中柔度杆）—发生弹塑性屈曲粗短杆（小柔度杆）—不发生屈曲，而发生屈服大柔度杆临界应力计算

cr＝—＝—

2E

2PcrA注意：3.对于大柔度钢杆，试图通过改换更高强度的钢种来提高杆的稳定性是无意义的。1.对于大柔度杆，

cr与材料的弹性模量成正比，与柔度的平方成反比。2.采用高弹性模量的材料，可提高杆的稳定性。细长杆中长杆

粗短杆临界应力总图λpλSσsσpσcrλOσcr=a-bλ2σcr=σsσcr=a-bλ不同的应力水平采用不同的临界应力公式中柔度杆临界应力计算可以采用经验公式：

cr＝

a-b

注意：1.a、b是材料常数，可查表。2.对于中柔度杆，一般地，塑性屈曲极限越高，相应的

cr也提高。3.对于中柔度杆，采用高屈曲极限的材料，可提高稳定性。可以设：

cr＝

S时，

=S为了满足：即：

S＝

a-b

S显然，只有

P

S时，即：对于中柔度杆，才可以用经验公式计算压杆临界应力。

cr＝

a-b

Sa-

S

S＝所以：b细长杆(

p)—发生弹性屈曲，用欧拉公式。中长杆(

s<p)—发生弹塑性屈曲，用经验公式。短粗杆(<s)—不发生屈曲，而发生屈服。小结：如对于大柔度杆误用了经验公式，或对于中柔度杆误用了欧拉公式，所得临界应力比实际值大还是小？思考：算例1分析:哪一根压杆的临界载荷比较大；

分析:

哪一根压杆的临界载荷比较大：

Pcr=

crA,=

l/i,

a=20/d,

b=18/d.Pcr(a)<Pcr(b)已知：

d=160mm，Q235钢，E=206GPa

。求：二杆的临界载荷.

首先计算柔度，判断属于哪一类压杆：

a=20/d＝20/0.16=125,

b=18/d＝18/0.16=112.5Q235钢

p=132二者都属于中长杆，采用经验公式。算例2Pcr(a)＝(a－ba)APcr(b)＝(a－bb)A§9–5压杆的稳定计算压杆失效与稳定性设计稳定校核条件Pw–杆内最大工作压力

Pw

Pcr

nst

—PcrPwnst

=

nst

—其中：[nst

]

–许用稳定安全因数nst

–实际稳定安全因数Pcr–杆的临界压力

或已知：b=40mm,h=60mm,l=2300mm,材料的弹性模量E＝205GPa,FP＝150kN,[n]st=1.8校核:

稳定性是否安全。

算例1IzA

iz=IyA

iy=Iz=bh3/12Iy=hb3/12

P(z)=132.6,

P(y)=99.48Pcr(z)=

crA＝—

2E

2(

d2/4)=276.2kN工作安全因数：nw

=

—＝—＝276.5/150=1.843

cr

wPcrPw工作安全因数：nw

=

—＝—＝276.5/150=1.843

cr

wPcrPwnw>[n]st=1.8稳定性是安全的。图示结构,AB为18号工字钢梁,[

]=120MPa,CE和DF均为两端铰链约束的圆截面钢杆，d=24mm,

P=100,

S=61.4。求:结构整体失稳时的理论极限载荷Pmax=？ABPCDEF1m1m1.5m1m算例2解题思路由于CE和DF杆与结构是并联关系，只有CE和DF杆都失稳时，才导致结构整体失稳。（DF杆先失稳，此后杆内力保持不变为Pcr）因此，应当按照两压杆的临界载荷Pcr对A点取力矩平衡而求出结构的理论极限载荷Pmax。ABPCDEF1m1m1.5m1m图示结构,AB为18号工字钢梁,[

]=120MPa,CD为两端铰链约束的圆截面钢杆，d=24mm,

P=100,

S=61.4，

[n]st=2.8。要求:

ABPCD3m1.8m1m结构的许用载荷Pmax=？算例3解题思路校核时，必须先按梁AB的强度估算一个许用载荷。再按杆CD梁的稳定要求，估算第二个许用载荷。实际的许用载荷则为二者中最小值。即：Pmax=min：{，}ABPCD3m1.8m1m图示结构,AC是圆截面钢杆，d=80mm,C端与CB杆用球铰链连接，A、B端均为固定端约束。BC为矩形截面杆，截面尺寸为b☓h=70☓90mm,杆长如图所示,两杆材料相同,材料的弹性模量E＝205GPa,

P=100,

S=61.4，热膨胀系数⍺=1