45上篇 第二部分 单元六 专题二 高三数学第二轮总复习

单元六函数与导数第2部分

大单元突破——系统性复习上篇

大单元导学方案稳根基

自主训练专题二基本初等函数、函数与方程1．基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型．2．函数零点的个数判断及求参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现．3．函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．1．(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(

)A．a>b>c

B．b>a>cC．c>a>b

D．b>c>aB考点一基本初等函数的运算、图象与性质解析：由函数y＝4.2x单调递增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故b>a>c.D2．(2025·合肥三模)已知f(x)＝|ln(x－a)|，其中a>0，若f(x1)＝f(x2)，x1≠x2，a(x1＋x2)<x1x2，则a的取值范围为(

)A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，2) D．(0，1)解析：解析：则f(x)在(a＋1，＋∞)上单调递增，在(a，a＋1)上单调递减，不妨设0<a<x1<x2，又f(x1)＝f(x2)，则f(x1)＝－ln(x1－a)，f(x2)＝ln(x2－a)，则－ln(x1－a)＝ln(x2－a)，即(x2－a)(x1－a)＝1，则x1x2－a(x1＋x2)＋a2＝1，因为a(x1＋x2)<x1x2，则1－a2>0，得－1<a<1，则0<a<1，故a的取值范围为(0，1).故选D.B解析：根据题意知f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，因此e－x＋3＝2ln(x＋m)在(0，＋∞)上有解，故函数y＝e－x＋3(x>0)与y＝2ln(x＋m)的图象在(0，＋∞)上有交点，函数y＝e－x＋3(x>0)的图象过点(0，4)，将点(0，4)代入y＝2ln(x＋m)得，m＝e2，令2ln(x＋m)＝0得，x＝1－m，由图象可知1－m>1－e2，解得m<e2.故选B.ACD解析：利用基本初等函数的性质解题的思路(1)指数函数、对数函数的图象与性质会受底数a的影响，解决指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．B考点二函数的零点解析：D解析：由题意可知，若f(x)＝g(x)，则a(x＋1)2－1＝cosx＋2ax，即cosx＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cosx－a(x2＋1)＋1.可得h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2.故选D.C3．(2025·昭通一模)若函数f(x)＝ex＋lnx，满足f(a)f(b)f(c)>0(0<a<b<c).若函数f(x)存在零点x0，则(

)A．x0<b

B．x0>bC．x0<c

D．x0>c

解析：函数f(x)＝ex＋lnx的定义域为(0，＋∞)，因为函数y＝ex，y＝lnx在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为0<a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，又f(a)·f(b)f(c)>0，则f(c)>0>f(b)>f(a)或f(c)>f(b)>f(a)>0.若f(c)>0>f(b)>f(a)，由零点存在定理得x0∈(b，c)；若f(c)>f(b)>f(a)>0，而x→0，则f(x)→－∞，由零点存在定理得x0<a，综上所述，C一定正确．故选C.D解析：B解析：6．(2025·大连模拟)函数f(x)＝(x＋1)ex－a，若函数f(x)有2个零点，则a的取值范围是________________．解析：解析：利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法(1)直接法：利用零点存在定理构建不等式确定参数的取值范围；(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解．1．(2025·南昌二模)遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率y(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的时间x(单位：h)的函数关系式为y＝1－0.5x0.06，当记住的单词仅剩25个时，离初次记忆大约经过了(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)(

)A．100h B．300h

C．1000h D．3000hC考点三函数模型及其应用解析：B2．(2025·高考北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时．当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(

)A．2 B．4 C．20 D．40解析：设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210).因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，解析：所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．①2.5解析：