小学五年级数学下册“求一个数是另一个数的几分之几”教案

小学五年级数学下册“求一个数是另一个数的几分之几”教案

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域明确要求，在小学第二学段，学生应“结合具体情境探索并理解分数的意义，能进行简单的分数运算”。本课“求一个数是另一个数的几分之几”是分数意义单元中的核心应用课，起着承上启下的关键作用。从知识图谱看，它上承分数的意义和分数与除法的关系（a÷b=a/b），是将抽象分数意义具体化为两个量之间比较关系的重要桥梁；下启百分数的认识、解决分数实际问题以及比和比例的学习。其认知要求已从“理解”上升到“应用”，要求学生能灵活运用分数与除法的关系，在真实情境中建模和解决问题。课标蕴含的“数感”、“模型思想”和“应用意识”等核心素养在本课尤为突出，学生需要从“平均分物体得到分数”的具象思维，过渡到“用数刻画两个同类量关系”的抽象思维，这正是培养数学抽象能力和逻辑推理能力的绝佳载体。这一过程中，数学的简洁美与逻辑美得以体现，有助于学生形成严谨、理性的科学态度。

基于“以学定教”原则，本课的学情研判需立体化展开。学生已有基础包括：对分数意义的理解（尤其是“部分-整体”关系）、掌握了整数除法运算、初步了解了分数与除法的等价关系（a÷b=a/b）。可能存在的认知障碍在于：一是思维定势，易将“求一个数是另一个数的几分之几”与“求一个数的几分之几是多少”混淆；二是对“另一个数”作为单位“1”的隐性设定理解不深，尤其在非“整体与部分”情境中难以自主确定比较标准。此外，从具象操作到抽象算式的符号化表达也是一大难点。因此，教学中需设计有效的形成性评价，如通过关键提问“谁是单位‘1’？你是怎么确定的？”、观察学生操作学具的过程、分析其列式的思维路径等，动态把握学情。针对不同层次学生，支持策略包括：为理解困难的学生提供直观学具（如纸条、圆片）进行多次分一分、画一画的操作支撑；为思维较快的学生设计变式与逆向问题，引导其探究关系的本质，实现差异化发展。

二、教学目标

知识目标方面，学生将深度建构“求一个数是另一个数的几分之几”的数学模型。他们不仅能准确表述“求a是b的几分之几，就是用a除以b”这一核心算法，更能从分数意义和除法意义双重角度解释其算理，理解“b”作为比较标准（即单位“1”）的核心地位，并能在多种情境中正确辨别与运用。

能力目标聚焦于数学建模与问题解决能力的发展。学生能够从生活或数学情境中，自主识别出“求一个数是另一个数的几分之几”的模型结构，将其转化为“a÷b”的算式，并完整地表述思考过程。同时，培养其数感和初步的数据分析观念，能对两个数量之间的关系进行量化描述与简单分析。

情感态度与价值观目标旨在培养探究精神与合作意识。学生在小组合作操作、讨论中，能积极倾听同伴意见，敢于表达自己的观点，体验通过协作发现数学规律的乐趣。通过解决如“睡眠时间占一天几分之几”等实际问题，初步感知数学与生活的紧密联系，培养理性规划时间的意识。

科学（学科）思维目标重点发展模型思想与抽象思维。引导学生经历“具体情境—操作感知—抽象算式—模型归纳”的完整思考过程，学会用数学语言刻画现实世界中的比较关系。通过对比辨析不同情境，强化其确定单位“1”的自觉意识，提升逻辑思维的严谨性。

评价与元认知目标关注学习过程的监控与反思。设计环节引导学生依据“思路清晰、算式正确、表达完整”等标准进行自评与互评。鼓励学生回顾学习路径，反思“是如何找到解决问题的方法的？”，提炼出“找标准、作比较、用除法”的策略，促进其学会学习。

三、教学重点与难点

教学重点在于引导学生理解并掌握“求一个数是另一个数的几分之几”的算法与算理，即明确用除法计算，并能清晰阐述其依据。此重点的确立，源于其在课标知识体系中的枢纽地位：它是分数意义从“绝对量”理解向“相对关系”理解飞跃的关键节点，是贯通分数、除法、比、百分数等概念的核心“大概念”。从学业评价看，该知识点是解决复杂分数应用题和后续学习比的基础，在各类测评中既是高频考点，也常作为考查学生是否真正理解分数意义的试金石。

教学难点在于学生深刻理解“谁是单位‘1’”，以及将“比较关系”抽象为除法算式的思维过程。难点成因在于其抽象性：学生需要摆脱“分数即分物体”的具象束缚，将“另一个数”动态地视为一个整体（单位“1”），再将“一个数”视为与之比较的部分。这一认知跨度较大，且与之前学习的“求一个数的几分之几是多少”的乘法模型易产生负迁移。常见错误如列式颠倒、单位混淆正源于此。突破方向在于创设丰富的对比情境，通过充分的直观操作和对话辨析，让学生在“变”与“不变”中主动建构对单位“1”相对性的理解。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（含情境动画、分层练习题）；实物投影仪。

1.2学习材料：为每个小组准备“学习任务单”（含操作记录表、分层练习）；长短不同的彩色纸条若干套；圆形、方形纸片。

2.学生准备：复习分数与除法的关系（a÷b=a/b）；直尺、彩笔。

3.环境布置：学生按4-6人异质小组就坐，便于合作探究；黑板划分出核心概念区、算法推导区和练习反馈区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与问题提出

师：“同学们，今天我们先来玩一个‘分蛋糕’的小游戏。（课件出示：妈妈买了一个蛋糕，小明吃了3块，小华吃了5块。）你们能直接比较出谁吃得多吗？”（学生易答：小华。）师：“很好！那如果老师告诉你，这个蛋糕一共被平均分成了10块呢？现在，小明吃的块数占整个蛋糕的几分之几？小华呢？”（引导学生复习“求部分占整体的几分之几”。）接着，话锋一转：“生活中，我们不仅需要知道部分占整体的多少，还常常需要比较两个‘部分’之间的关系。比如，小明吃的块数‘是’小华吃的块数的几分之几？这该怎么求呢？这就是我们今天要挑战的新问题！”

2.唤醒旧知与明确路径

师：“要解决这个新问题，我们手里已经有哪些武器了？”（引导学生回顾：分数的意义、除法运算、分数与除法的关系。）“看来大家基础很扎实！这节课，我们就将利用这些已有的知识作为‘探路杖’，通过动手操作、小组合作，一起发现‘求一个数是另一个数的几分之几’的奥秘。我们的探索路线是：先动手‘分一分’，再用数学‘想一想’，最后总结‘算一算’。”

第二、新授环节

本环节采用支架式教学，通过系列任务引导学生主动建构。

任务一：动手操作，感知关系

1.教师活动：首先，分发长短不同的彩色纸条（如红纸条长6厘米，蓝纸条长10厘米）。提出引导性问题：“不计算，你能直观感受一下红纸条的长度大约是蓝纸条的几分之几吗？可以怎么比？”鼓励学生用各种方法比较。接着，提出核心操作指令：“请同学们想办法，用蓝纸条的长度去度量红纸条，看看红纸条的长度正好相当于蓝纸条的几分之几。可以把蓝纸条当作‘标准尺’。”巡视指导，关注学生是否将蓝纸条作为整体进行平均分（如对折），再用红纸条去量。

2.学生活动：小组合作。学生可能将蓝纸条对折（平均分成2份、5份等），然后用红纸条去比对，发现红纸条的长度相当于蓝纸条的3/5。在任务单上画图或文字记录操作过程和发现。

3.即时评价标准：1.操作是否规范、有序（如明确以谁为标准）。2.能否清晰地向组员描述自己的比较方法。3.记录是否反映了“把蓝纸条平均分，红纸条相当于其中的几份”这一关键信息。

4.形成知识、思维、方法清单：

★核心概念感知：初步体验“求a是b的几分之几”，就是在把b平均分的基础上，看a相当于其中的几份。这为除法算式的引入奠定了坚实的直观基础。

★确定比较标准：在操作中，学生首次有意识地将“蓝纸条”（另一个数）确立为度量的标准，即隐含的单位“1”。教师可强调：“看，我们先把谁看作了一个整体？”

▲方法多样化：鼓励折叠、测量等不同方法，尊重学生的个性化思维起点，培养实践能力。

任务二：数形结合，初建模型

1.教师活动：邀请一组学生上台，借助实物投影展示其操作过程（如将10厘米蓝纸条平均分成5份，每份2厘米，6厘米的红纸条正好是3份）。教师同步用课件动画模拟此过程。然后，提出关键转化问题：“同学们，刚才这个‘分一分、量一量’的过程，我们能用一个简洁的数学算式来表示吗？想一想我们学过的分数与除法的关系。”引导学生思考：把蓝纸条平均分5份，求一份是多少？（10÷5）红纸条有这样的3份，所以红纸条长度是蓝纸条的？（6÷10）。板书：6÷10=6/10=3/5。

2.学生活动：观察演示，连接操作与算式。尝试用自己的语言解释“6÷10”在这个情境中的含义（“就是把蓝纸条平均分成10份，红纸条占了其中的6份”，或者“用红纸条长度除以蓝纸条长度”）。小组内互相说一说算式的意义。

3.即时评价标准：1.能否将具体的操作过程与抽象的除法算式建立联系。2.解释算式时，是否能说明“10”代表什么，“6”代表什么。3.表达是否清晰、有条理。

4.形成知识、思维、方法清单：

★算法初步归纳：在具体情境中，首次得出“求红纸条是蓝纸条的几分之几，可以用红纸条长度除以蓝纸条长度”。板书核心句式：一个数÷另一个数=几分之几。

★算理直观支撑：“6÷10”在此不仅是一个除法运算，更可视作“将蓝纸条（10厘米）视为整体‘1’，并平均分成10份，红纸条（6厘米）占其中6份”这一过程的符号化表达。问学生：“这个除法算式，和我们之前学过的‘分数与除法关系’完全吻合吗？”

▲数形结合思想：强调图形操作对理解抽象算式的桥梁作用，培养学生“图形-算式”双向翻译的能力。

任务三：抽象概括，提炼算法

1.教师活动：提供第二组情境（如：小班有男生9人，女生12人，男生人数是女生的几分之几？）。提问：“这个问题和我们刚才量纸条的问题，有什么相同之处？”引导学生发现都是“求一个数是另一个数的几分之几”。接着追问：“那么，解决这类问题，你认为最关键的一步是什么？可以怎么列式？”让学生先独立列式（9÷12），再小组讨论。组织全班分享，引导归纳：不管是什么量，只要是在“求a是b的几分之几”，都是用a除以b。

2.学生活动：独立分析新情境，识别模型结构，尝试列式计算。在小组讨论中，辩论列式的依据，达成共识。参与全班汇报，总结解题步骤：先明确“谁和谁比”，确定“谁”是单位“1”（另一个数），再用除法计算。

3.即时评价标准：1.能否从不同具体情境中抽象出共同的数学模型。2.列式时是否能正确判断被除数和除数。3.归纳的解题步骤是否简洁、准确。

4.形成知识、思维、方法清单：

★模型正式建立：脱离具体实物，从两个数量中抽象出一般性算法：求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。即：一个数÷另一个数=这个数/另一个数。这是本课最核心的结论。

★单位‘1’的再确认：算法中的“另一个数”就是除法算式中的除数，它在分数意义上就是单位“1”。强调：“算式中的除数，就是那个被我们拿来当作‘标准’的量。”

▲语言表述规范化：训练学生用“要求…是…的几分之几，就是把…看作单位‘1’，用…除以…”的规范性数学语言进行表述。

任务四：对比辨析，深化理解

1.教师活动：设计对比题组。题1（旧知）：一盘苹果有10个，吃了3个，吃了的占这盘苹果的几分之几？题2（新知）：一盘苹果吃了3个，还剩7个，吃了的是剩下的几分之几？同时呈现。提问：“这两题都在求‘几分之几’，它们有什么不一样？单位‘1’分别是什么？列式为什么不同？”引导学生深度辨析“部分与整体”关系和“部分与部分”关系的异同。

2.学生活动：独立审题，分别列式（题1：3÷10；题2：3÷7）。小组重点讨论：两题中“单位1”的不同如何导致算式的不同。通过对比，深刻理解单位“1”的相对性和确定性是正确列式的关键。

3.即时评价标准：1.能否清晰辨别两种不同类型问题。2.能否准确指出每题中单位“1”的具体所指。3.能否从分数意义上解释两个算式的不同含义。

4.形成知识、思维、方法清单：

★易错点预警：通过对比，强力辨析“求一个数是另一个数的几分之几”与“求一个数的几分之几是多少”以及“求部分占整体的几分之几”的区别。核心在于找准单位‘1’。

★思维严谨性训练：培养学生审题时主动标识、追问“单位‘1’是谁？”的思维习惯。告诉他们：“看到‘是…的几分之几’，马上圈出‘的’字后面的量，它很可能就是单位‘1’。”

▲知识结构化：将新知识纳入原有分数知识网络，理解分数可以表示不同性质的“关系”，丰富对分数意义的认知。

任务五：即时应用，内化方法

1.教师活动：出示一组即时练习题（口答或简单笔算），如：(1)7是10的（）/（）。(2)红球5个，黄球8个，红球是黄球的（）/（）。(3)一段路长4千米，走了3千米，走了的是全程的（）/（）。要求学生快速回答，并说出判断依据。针对共性问题即时点评。

2.学生活动：快速反应，口述答案和思考过程（如：“第2题，求红球是黄球的几分之几，黄球是单位‘1’，所以用5÷8”）。在快速应用中巩固算法，训练思维的敏捷性。

3.即时评价标准：1.反应速度与正确率。2.表达是否简洁、抓住关键（强调单位‘1’和除法）。

4.形成知识、思维、方法清单：

★技能自动化：通过即时、密集的简单应用，促使核心算法从“理解”迈向“熟练”，为后续解决复杂问题打下基础。

★自我监控意识：鼓励学生在练习后快速反思：“我是不是用‘一个数’除以‘另一个数’了？”“单位‘1’找对了吗？”初步培养解题后的检验习惯。

▲情境适应性：体会同一数学模型在不同简单情境中的应用，强化模型的普适性。

第三、当堂巩固训练

为满足不同学生需求，设计分层、变式训练体系。

1.基础层（全体必做）：直接应用公式。如：12是18的（）/（）；鸵鸟蛋重1.5千克，鸡蛋重0.05千克，鸵鸟蛋重量是鸡蛋的几倍？鸡蛋重量是鸵鸟蛋的几分之几？（明确求几分之几和求倍数的联系与区别）。

2.综合层（大多数学生完成）：在稍复杂或生活情境中综合运用。如：五(1)班有学生45人，其中近视学生有15人。近视人数占总人数的几分之几？不近视的人数占总人数的几分之几？（涉及两个问题的对比与关系理解）。

3.挑战层（学有余力学生选做）：开放探究。如：已知甲数是乙数的5/6，你能推断出乙数是甲数的几分之几吗？说说你的想法。（引导发现两种关系互为倒数，初步渗透“比”的相互性）。

反馈机制：学生独立完成后，首先小组内依据评价标准互评。教师巡视收集典型解法与错误案例，通过实物投影展示。重点讲评：①单位“1”判断错误的案例；②算式列反的案例；③结果忘记约分的案例。引导学生分析错误根源，并请做对的学生分享“如何避免此类错误”的经验。

第四、课堂小结

1.知识整合：师：“同学们，经过一节课的探索，现在谁能当小老师，用最简练的语言概括一下，今天我们学到了什么核心本领？”引导学生总结出：“求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。”并强调关键步骤是找准单位“1”（另一个数）。

2.方法提炼：师：“回顾一下，我们是怎样得到这个结论的？”（从操作感知→数形结合→抽象概括→对比辨析→应用）。提炼出解决此类问题的一般思路：一审（审题，找关系句，确定单位‘1’），二列（列除法算式），三算（计算），四答（写出答案）。

3.作业布置与延伸：

1.4.必做作业（基础+综合）：完成练习册对应基础题和两道情境应用题。

2.5.选做作业（探究）：调查你和你的父母（或朋友）每天的睡眠时间，分别计算各自的睡眠时间约占一天的几分之几，并比一比，写一份简单的“睡眠比例小报告”。

师：“今天我们用除法找到了两个数之间的一种新的关系表达。其实，生活中这种比较无处不在。下节课，我们将利用这个本领去解决更多有趣的实际问题。”

六、作业设计

1.基础性作业（必做）：

1.2.填空：5是7的（）/（）；9分钟是1小时的（）/（）（需统一单位）。

2.3.计算：求21是35的几分之几；求48是72的几分之几（结果需约分）。

3.4.简单应用：合唱队有男生20人，女生25人。男生人数是女生人数的几分之几？

5.拓展性作业（建议大多数学生完成）：

1.6.情境问题：一本书有80页，小明第一天看了25页，第二天看了30页。(1)第一天看的页数是全书页数的几分之几？(2)第二天看的页数是第一天的几分之几？(3)还剩的页数是已看页数的几分之几？（综合性强，需仔细辨析多个单位“1”）。

2.7.数据小分析：从你家上月的电费单或水费单上，找出本月用量和单价（或总价），计算平均每天的花费约占家庭日均消费估算的几分之几？（培养数据意识和估算能力）。

8.探究性/创造性作业（选做）：

1.9.数学小论文（雏形）：题目《“是…的几分之几”与“占…的几分之几”一样吗？》。结合实例，阐述你的发现和理解。

2.10.创意设计：设计一道可以用“求一个数是另一个数的几分之几”来解决的、与你兴趣爱好相关的问题（如体育比赛数据、食谱配比、艺术构图比例等），并给出解答。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.核心概念：“求一个数是另一个数的几分之几”。这是一种用分数表示两个同类数量之间比较关系的方法。它描述的是“一个数”相对于“另一个数”的大小比例。

★2.核心算法：一个数÷另一个数=几分之几。这是本课必须掌握的计算公式，其结果的分数形式即为所求。

★3.算理本源：算法源于分数与除法的关系（a÷b=a/b），以及分数的意义。将“另一个数”看作单位“1”并平均分成若干份，“一个数”相当于其中的若干份，这份数用分数表示即为两者的关系。

▲4.与“求一个数的几分之几是多少”的区别：后者是已知单位“1”和分率，求部分量，用乘法。本课是已知两个量，求它们之间的分率，用除法。二者是逆运算关系，易混淆，需通过找准单位“1”来区分。

★5.确定单位“1”（关键步骤）：在“a是b的几分之几”的表述中，“b”就是单位“1”，即比较的标准。教学口诀：“‘的’字前面是单位‘1’”（更严谨地说，“是…的几分之几”中，“的”字后面的量是单位“1”）。

★6.计算结果的呈现：结果必须用最简分数表示，体现数学的简洁美。如6÷10应化为3/5。

▲7.与“求倍数”的联系：“求a是b的几倍”用a÷b，结果是整数或小数；“求a是b的几分之几”也用a÷b，结果表示为真分数或假分数。当a<b时，结果就是真分数，表示“不足一倍”的关系。二者本质相同。

★8.典型应用情境：比较部分与部分（男女生人数比）、比较部分与整体（出勤率雏形）、比较两个独立量（价格比、速度比）。需培养学生从各种情境中识别该模型的能力。

▲9.易错点警示：常见错误是列式时将被除数与除数颠倒。对策：强化审题训练，圈画关键词，先明确“谁”是单位“1”（除数），再列式。

★10.解决问题的基本步骤：一审（明确谁和谁比，确定单位“1”）；二列（列除法算式）；三算（计算，约分）；四答（完整书写答句）。

▲11.跨学科联系：为科学中的浓度、比例尺，体育中的命中率、胜负比率，美术中的黄金分割比等概念的学习奠定数学基础。

★12.素养指向：本课重点发展学生的模型思想（从具体问题抽象出除法模型）、应用意识（用数学解决比较问题）和数感（量化感知数量关系）。

八、教学反思

本次教学立足于深度理解课标、精准研判学情，试图将结构化教学、差异化支持与素养导向深度融于一体。从预设的教学过程看，教学目标基本能够通过环环相扣的任务得以落实，尤其是“动手操作感知”到“抽象算法模型”的过渡，以及“对比辨析”环节的设计，直指教学重点与难点的突破。

（一）目标达成度预估分析：知识目标上，绝大多数学生应能掌握“用除法求一个数是另一个数的几分之几”的算法，但对于算理，尤其是单位“1”相对性的理解，部分学生可能仍需在后续练习中不断强化。能力目标中，“建模”与“应用”在当堂巩固训练中能得到较好体现。情感与合作目标在小组任务中得以渗透。科学思维目标贯穿于任务链的设计中，学生的抽象与归纳过程得以展开。元认知目标在小结环节有专门设计，但其效果取决于学生反思的深度，可能需要更常态化的培养。

（二）教学环节有效性评估：

1.导入环节：由熟悉的“部分占整体”复习引入，自然对比产生新问题，能有效激发认知冲突和探究欲望。“我们的探索路线”提示，给予了学习的方向感。

2.新授环节（核心任务群）：

1.3.任务一（操作感知）：提供了不可替代的直观经验，是理解抽象算理的“锚点”。差异化体现在允许不同的操作方法。

2.4.任务二（数形结合）：是搭建从具体到抽象的关键“脚手架”。教师的关键提问至关重要，决定了学生能否成功建立联系。这里可能需要准备更多样的学生生成资源进行展示。

3.5.任务三（抽象概括）：从“量纸条”到“数人数”，实现了第一次抽象飞跃。小组讨论为不同思维速度的学生提供了交流、修正的机会。

4.6.任务四（对比辨析）：是本课设计的亮点，预计能有效暴露和澄清典型认知混淆。这是将知识转化为能力的关键一步，时间必须保障充分。

5.7.任务五（即时应用）：起到了及时巩固、查漏补缺的作用，为分层巩固训练做了热身。

（三）对不同层次学生的关照：学习任务单的分层设计、小组的异质构成、操作活动的开放性、巩固练习的分层以及选做作业，