添加正方形辅助线与几何变换

添加正方形辅助线与几何变换【教材分析】

正方形是一种特殊的平行四边形,这一节课是在学生掌握了平行四边形的性质和判定之后提出来的。是在探究了平行四边形后又一个特殊四边形的探索本节课的内容如果能够顺利地接受，在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现正方形性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，培养学生能力，促进学生发展。【学情分析】

在中考数学中，正方形会与其他知识内容相结合，紧密联系在一起，形成更为复杂的综合问题。因此，在平时数学学习过程中，一定要把正方形相关知识内容认真掌握，吃透每一个知识点，这样即使遇到更为复杂的问题，我们都不用怕。【教学目标】知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.3、理解并掌握菱形辅助线的添加技巧，提升中考解题能力。【重点】正方形的辅助线添加技巧。【难点】正方形辅助线添加方法在中考解题中的运用。【教法】探究式、讨论式【教学设计】一、回顾旧知正方形的性质、判定？平行四边形、菱形、矩形中添加辅助线的常用方法？二、探究新知解决正方形的问题，常常需要添加辅助线，由于正方形具有许多特殊性质，所以这些辅助线往往是与几何变换（指平移、旋转、对称三种全等变换）联系在一起的，变换后一般都构成全等三角形，使问题易于解决。例1.如图所示，在正方形ABCD中E、H、F、G是顺次四边上的点，且。求证：EF=GH。分析：为证EF=GH，我们可利用正方形四边相等和四个角是直角的性质，把AB和BC分别平移到GI和EK的位置（如图1所示），易知，于是可得，从而可得。故可得结论。图1当然本题也可把GH、EF分别平移到AM和BN的位置（如图2所示），得到，同样可证得结论。图2例2.如图3所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且。求证：。图3分析：DF与BE位置分散，若把△DAF绕点A按顺时针方向旋转90°到△BAG的位置。由正方形边、角的特殊性质可知E、B、G恰好共线，且当然本题也可把△BAE绕点A按逆时针方向旋转90°，把BE“接”到FD延长线上，同学们不妨一试。例3.如图4所示，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是CE的中点，连结AE、AF。求证：图4分析：如果作出的平分线，把它分成两个相等的角，那么很难证其中一个角等于。若取BC的中点G，连结AG，则易知，剩下的问题就是证AG是的平分线。此时可利用正方形边、角的特殊性质把△BGA绕点G旋转180°，到△CGH的位置，则易知F、C、H三点和A、G、H三点均共线。设正方形的边长为4a，则由勾股定理可得AF=5a，而FH=5a，于是可得故本题得证。解决正方形的问题，常常需要添加辅助线，由于正方形具有许多特殊性质，所以这些辅助线往往是与几何变换（指平移、旋转、对称三种全等变换）联系在一起的，变换后一般都构成全等三角形，使问题易于解决。三、巩固练习1.如图5所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且，求证：。图5分析：由于EA是的平分线，因而可利用其对称性把△AEB沿AE翻折到△AEG的位置，则点G必在EF上，且。于是可得这种对称变换虽不是利用正方形本身的对称性作的，却是利用正方形边、角的特殊性质实现的。2.如图6所示，在正方形ABCD中，M是形内一点，且，求证：是等边三角形。图6分析：解决本题的关键在于证得MB或MC等于正方形的一条边长，我们可利用正方形的对称性，先连结BD，再把△AMD沿BD翻折到△CND的位置，连接MN，则，于是△MDN为等边三角形从而四、综合运用：(江苏泰州，第25题12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH． （1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值． 分析（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，则BF=（8﹣x）cm，由勾股定理得出S=x2+（8﹣x）2=2（x﹣4）2+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， ∵AE=BF=CG=DH， ∴AH=BE=CF=DG， 在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠BEF+∠BFE=90°， ∴∠BEF+∠AEH=90°， ∴∠HEF=90°， ∴四边形EFGH是正方形； （2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：连接AC、EG，交点为O；如图所示：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠OAE=∠OCG， 在△AOE和△COG中，， ∴△AOE≌△COG（AAS），∴OA=OC，即O为AC的中点， ∵正方形的对角线互相平分， ∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心； （3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8﹣x）cm，根据勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8﹣x）2， ∴S=x2+（8﹣x）2=2（x﹣4）2+32， ∵2＞0， ∴S有最小值， 当x=4时，S的最小值=32，