人教A版选择性必修第三册第八章82一元线性回归模型及其应用学案

8.2一元线性回归模型及其应用

新课程标准学业水平要求

1.结合具体实例.「解一元线性回归模型的含Lr解一元线性回归模型的含义.r解模型参数的统计

义•了解模型参数的统计意义.了解最小二意义.（数学抽象）

乘原理・掌握一元线性网归模型参数的最小2.掌握最小二乘法.会求经舱㈣归方程.能根据经验网归

二乘估计方法，会使用相关的统计软件.方程进行预测.（数学建模、数学运竟）

2.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行3.理解度差、决定系数的概念.会进行线性回归分析.（数

预测.据分析）

必备学问•自主学习

1.什么是一兀线性回归模型?如何求阅历回

导

归方程？

思

2.如何进行回归分析？

/=fax+a+e

一元线性回归模型的完整表达式为彳,、，、।,其中

[E（e）=0,。[e]=o2

丫称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量为模型的

未知参数,8称为截距参数，2称为斜率参数，R是丫与队+。之间

的随机误差.

思考？

具有相关关系的两个变量，其样本点散布在某一条直线y二队+。的

四周,可以用一次函数y二队+。来描述两个变量之间的关系吗？

提示：不能.

2.阅历回归方程

⑴最小二乘法

我们将9以+瀚为Y关于X的阅历回归方程，也称阅历回归函数或

阅历回归公式，其图形称为阅历回归直线.这种求阅历回归方程的方

法叫做最小二乘法，求得的2,2叫做b,a的最小二乘估量.

(2)阅历回归方程的系数计算公式

经验同

金的计算公式3的计算公式

归方程

人

b=

之（4一i）（y一丁）

人____________________

y=JT）2人一人一

；=!ci=y-

b了+3

^Xjyi学-nxy---

_i-i______________

（2~2

乙方—HX

»=1

⑶阅历回归方程的性质

①阅历回归方程肯定过点回；

②一次函数建加+2的单调性由柏勺符号打算，函数递增的充要条件是

1>0-；

③柏勺实际意义：当x增大一个单位时，增大汾单位.

思考？’

正相关、负相关与力的符号有何关系？

提示：丫与x正相关的充要条件是於0,丫与x负相关的充要条件是方

<0.

3.残差

⑴残差：对于响应变量/,通过观测得到的数据称为观测值，通过阅

历回归方程得到的琳为猜测值，观测值减去猜测值称为残差.

Z(Yi-y,)2

(2)打算系数：W=1一R’：越接近1,表示回归的效果越好.

t(y—一

i=l

户基础小测

1.辨析记忆(对的打勺〃，错的打〃x〃).

⑴阅历回归方程肯定过样本中的某一个点.(X)

提示：阅历回归方程肯定过点(T,7),可能过样本中的某个或某

些点，也可能不过样本中的任何一个点.

(2)选取一组数据中的局部点得到的阅历回归方程与由整组数据得到

的阅历回归方程是同一个方程.(x)

提示:选取一组数据中的局部点得到的阅历回归方程与由整组数据得

到的阅历回归方程不肯定是同一个方程.

⑶在阅历回归模型中，R2越接近于1,表示解释变量和响应变量的线

性相关性越强.(V)

⑷在画两个变量的散点图时，响应变量在x轴上，解释变量在y轴

上.(x)

提示：在画两个变量的散点图时，解释变量在x轴上，响应变量在y

轴上.

2.假如记录了x,y的几组数据分别为(0,1),(1,3),(2,5),(3,

7),那么y关于x的阅历回归直线必过点()

A.(2,2)B.(1.5,2)

C・(1,2)D.(1.5,4)

广告费用X

销售额y

依据上表可得阅历回归方程3二版+2中的%为9.4,据此模型猜测广告

费用为6万元时销售额为（）

A.63.6万

4+2+3+5

【解析】选B.x==3.5,

_49+26+39+54

P=4二42.

由于回归直线过点（T,7）,

所以42=9.4x3.5+a,解得3=9.1,

故回归方程为fxx=6时学=6x9.4+9.1=65.5.

3.某商店统计了最近6个月商品的进价x与售价y（单位：元）的对应

数据如下：

那么阅历回归方程为

3+5+2+8+9+12

［解析］x=7=6.5,

4+6+3+9+12+14

=32+52+22+82+92+122=327,

/=i

6

M=3x4+5x6+2x3+8x9+9x12+12x14=396,

/=i

6_____

XxiYi-6xy

i=l

h==1.143z2=y-bx-0.571.

6_

K-6x2

/=1

故阅历回归方程为版+0.571.

答案：以

解而略

1.求阅历回归方程的方法

⑴公式法：求出b”的最小二乘估量》,2.

(2)待定系数法：利用阅历回归直线过(T,7)求才，2.

2.阅历回归方程的应用

⑴进行猜测：把阅历回归方程看作一次函数，求函数值.

(2)推断正、负相关：打算正相关还是负相关的是参数》.

教师

专用【加练•固】

依据?中国统计年鉴?计算整理某城市最近十年蔬菜需求量的统计数

据，截取局部统计数据如下表：

年份20092011201320152017

需求量

336346357376386

(万吨)

⑴画出散点图；

⑵依据⑴画出的散点图推断需求量与年份是否线性相关，假设相关,

求出阅历回归方程，假设不相关，说明理由；

⑶利用(2)中所求的阅历回归方程猜测该市2020年的蔬菜需求量.

n___

Z〔乙-t〕(n?/-m)

/=i

附：参考公式群--------------------

£2

/=1

a=m-ht

【解析】(1)画出散点图如图.

需求量

386

376

36

356

34

336

0092011201320152017年份

(2)由散点图可知，需求量与年份线性相关.

将所给表格中的数据进行处理如下表：

t(年份-2013)-4-2024

m(需求量-357)-21-1101929

—1

由表可知t=(-4-2+0+2+4)=0,

—1

m=7(-21-11+0+19+29)=3.2.

所以为二[(-4)x(-21)+(-2)x(-11)+2x19+4x29-5xQx3.2]4-(42+22

+22+42-5xO2)=6.5,

所以3=3.2-0x6.5=3.2,

所以加+3.2,

所以线性回归方程是

y-357=6.5(x-2013)+3.2,

即为-12724.3.

⑶当x=2020时，

y=6.5x2020-12724.3=405.7,

即猜测该市2020年蔬菜需求量是405.7万吨.

类型二线性回归分析(数据分析、数学运算)

【典例】某运发动训练次数与训练成果之间的数据关系如表:

次数(X)3033353739444650

成果团3034373942464851

⑴作出散点图；

(2)求出阅历回归方程；

⑶作出残差图；

⑷计算R2,并说明运发动的训练次数对成果的影响占百分之几.

【解析】Q)作出该运发动训练次数x与成果丫的散点图，如下图.由

散点图可知，它们之间具有相关关系.

Y

60

50

40

30

20

10

O102030405060x

——8

(2)x=39.25,y=40.875z?=12656,

/=1

8

ZxiYi=13180,

i=l

8__

Zxiy「8xy

所以b=^--------—^1.0415,

fx：-8不

i=!

a=y-hx=-0.003875,

所以阅历回归方程为3=L0415x-0.003875.

⑶残差分析:下面的表格列出了运发动训练次数和成果的原始数据以

及相应的残差数据.

A

XYe

3030-1.2411

3334-0.3656

35370.5514

37390.4684

39421.3854

44460.1779

46480.0949

5051-1.0711

作残差图如下图.

2［残差

L5..........•............

1......................

0.5...夕…“.........................

____Z____।____1•，____，.

.05.・・・・.・・•・・・・••4..・・•・・•・・・・9.….…W编号

・i”…•...............•....

-1.5......................

由图可知，残差点比拟匀称地分布在水平带状区域内，说明选择的模

型比拟适宜.

⑷计算R2=o.9855,说明白该运发动的训练次数对成果的影响占

98.55%.

解嗝略

“R2、残差图"在回归分析中的作用

Z（Yi—Yi）2

⑴R2是用来刻画回归效果的，由R2=1-可'］可知R2越大，

£（y「丫了

i=l

意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好.

⑵残差图也是用来刻画回归效果的，推断依据是：残差点比拟匀称地

分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回

归方程预报精度越高.

跟踪训练,

为讨论质量x（单位：g）对弹簧长度丫（单位：cm）的影响,对不同质量

的6个物体进行测量,数据如表所示：

X51015202530

Y

⑴作出散点图并求阅历回归方程；

(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度;

⑶进行残差分析.

【解析】(1)散点图如图.

——1

yx(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8)=9.487,计算得方

=0.183,2=6.285.

故所求阅历回归方程为fk

(2)列出残差表为

必-y.

%-y

y,-yt

%-y

66__

所以ZWi一功2=0.01318,y(y-y)2=14,6783.

0.01318

所以，R2=l14.6783=°S991‘

回归模型的拟合效果较好.

⑶由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比拟大，需要确认

在采集这个样本点的时候是否有人为的错误，假如有的话，需要订正,

重新建立回

归模型；由表中数据可以看出残差点比拟匀称地落在狭窄的水平带状

区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹

簧长度与所挂物体的质量成线性关系.

类型三求非线性阅历回归方程(数据分析、数学运算)

【典例】在一化学反响过程中，某化学物质的反响速度y(g/min)与一

种催化剂的量x(g)有关，现收集了如表所示的8组数据，求y与x的

121518212427303336催化剂量/g

依据样本点的分布状况，可选用指数型函数模型y=ciec2x(C1,c2为待

定的参数)，令Z=Iny,那么z=c2x+lnci,即变换后样本点应当分布

在直线z=bx+a(a=\ryC!,b=C2)的四周，由y与x的数据表得z与x

10152025303540催化剂量/g

作出Z与X的散点图，如下图，由图可以看出变换后的样本点分布在

一条直线四周，所以可用线性回归方程来拟合.由表中数据可得力

之0.1812,"-0.8492,

故2=0.1812x-0.8492,

所以,二e。1812x-0.8492

因此该化学物质的反响速度与催化剂的量的非线性回归方程为3二

p0.1812x-0.8492

解百略

求非线性阅历回归方程常见转化类型：

b]

⑴反比例函数V=。+7可作变换t=~，得y=Q+bt.

(2)黑函数型y=oxb(o>0)

可作变换Y=\ny,m=\na,t=\nx,另B么有Y=m+bt.

⑶指数型函数y=kabx(a>0且"1,k>0)

可作变换Y=\ny,m二Ink,那么有：Y=m+(b\na)x

跟踪训练.

生物学家认为，睡眠中的恒温动物依旧会消耗体内能量，主要是为了

保持体温.脉搏率/是单位时间心跳的次数，医学讨论发觉，动物的

体重M单位：g)与脉搏率/存在着肯定的关系.如表给出一些动物体

重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W与脉搏率/的散点图，

图2画出了lgW与1g/的散点图.

动物名体重脉搏率

鼠25670

大鼠200420

豚鼠300300

兔2000200

小狗5000120

大狗3000085

羊5000070

700」

600

500

400

300

200・

100•..

............................

O'500050000

图1

3产.

2.5*•.

2•・・

1.5

1

0.5

O~i~~2~~3—4—

图2

为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：

©/=kW+b②1g/=k\gW+b

⑴选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；

(2)不妨取表中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出/

关于W的函数解析式；

⑶假设马的体重是兔的256倍，依据⑵的结论，估计马的脉搏率.(参

考数据：1g2=0.3,1g3=0.5.)

【解析】⑴模型②1g/二klgW+b最符合实际.

依据散点图的特征，图2根本上呈直线形式，所以可选择一次函数来

刻画lgW和1g/的关系.

(2)lg200=2+1g2=2.3,

lg2000=3+lg2=3.3,

lg300=2+|g3=2.5,

Ig300=kIg300+b

由题意知心—°。。+b

r1

k

4-

b25

=8-

1

-25

+一

4g8

25

所以/关于W的函数解析式为了=10官W.

⑶设马的体重和脉搏率分别为Wi兔的体重和脉搏率分别为电,

\_

h,由题意知，耦=256,所以卷二也;二得）==256'=（"

22W/2

1

-

4

由于力二200,所以九二50,即马的脉搏率为50.

课堂检测•素养达标

1.关于回归分析，以下说法错误