人教七年级下册数学期末解答题复习试卷附答案

人教七年级下册数学期末解答题复习试卷附答案

一、解答题

1.（1）如图1,分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成

一个大正方形，则大正方形的边长为cm；

（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2nm"设圆的周长为。.正方形的周长

为CE，则G为〔填或或">"）

（3）如图2,若正方形的面积为900cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面

积为740cm2的长方形纸片.使它的长和宽之比为5:4,他能裁出吗？请说明理由？

2.如图，用两个面积为200a〃2的小正方形拼成一个大的正方形.

（1）则大正方形的边长是：

（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为

5：4,且面积为360cm*1•

（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？

（2）如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的-1点为I员

心，直角二角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A,那么点A表示的数是多少？

点A表示的数的相反数是多少？

（3）你能把卜个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并

求它的边长

4.数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究.

（1）小新经过测量和计篁得到长方形纸片的长宽之比为?.面积为请求出该长方

形纸片的长和宽；

（2）小葵在长方形内画出边长为a,b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条

边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50,阴影部分两个

长方形的周长之和为30,由此她判断大正方形的面积为100,间小葵的判断正确吗？请说

明理由.

5.小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为

20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了

说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片."你同意小明的说法吗?

你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?为什么？

6.如图1,已知直线mil",48是一个平面镜，光线从直线m上的点。射出，在平面镜

4B上经点P反射后，到达直线〃上的点Q.我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面

反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即

NOPA=/QPB.

（1）如图1,若NOPQ=82。，求NO%的度数;

(2)如图2,若N4OP=43。，N8QP=49。，求N。%的度数；

(3)如图3,再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和〃上，另一块在两直线之

间，四块平面镜构成四边形488,光线从点。以适当的角度射出后，其传播路径为

。玲P3Q3R303P3...试判断NOPQ和NORQ的数显关系，并说明理由.

7.如图，MN//GH,点、A、8分别在直线MN、GH±.,点。在直线MN、GH之间，若

ZNAO=\\60,NQ8〃=144°.

(1)ZAOB=_。；

(2)如图2,点C、D是小AO、NG8O角平分线上的两点，且NCQ3=35。，求4C。的

度数；

(3)如图3,点F是平面上的一点，连结以、FB,E是射线以上的一点，若NM4E=

nZOAE,AHBF=n/OBF,且NA阳=60。，求〃的值.

8.已知点C在射线04上.

(1)如图①，CD//OE,若N4O8=90。，ZOCD=120°,求NBOE的度数；

(2)在①中，将射线0£沿射线。8平移得OF(如图②)，若NAOB=a,探究/。8

与N80E的关系(用含a的代数式表示)

(3)在②中，过点。，作08的垂线，与NOCD的平分线交于点P(如图③)，若NC。。，

=90°,探究NAOB与980F的关系.

图①图②图③

9.已知：直线48IICD,M,N分别在直线28,CD±,H为平面内一点，连HM,HN.

(1)如图1,延长HN至G,N8MH和NGND的角平分线相交于点E.求证：2/MEN-

ZMHN=18Q°；

(2)如图2,NBMH和NH/V。的角平分线相交于点E.

①请直接写出/MEN与NMHN的数量关系：;

②作MP平分/AMH,NQIIMP交ME的延长线于点Q,若/H=140。，求/ENQ的度

数.(可直接运用①中的结论)

M

BM

B

E

图1图2

10.已知：4BIICD,截线MN分别交A8、CD于点M、N.

（1）如图①，点8在线段MN上，设NEBM=a。，ZDNM=^,且满足J”30+（p-

60）2=0,求/BEM的度数；

（2）如图②，在（1）的条件下，射线OF平分/CDE,且交线段8E的延长线于点F；请

写出NOEF与NCDF之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点P在射线NT上运动时，NOCP与N8M7■的平分线交于点Q,则NQ与

/CPM的比值为（直接写出答案）.

三、解答题

11.综合与探究（问题情境）

王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.

（1）如图1,EFIIMN,点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请

直接写出N%F、NP8N和NAP8之间的数量关系；

（问题迁移）

（2）如图2,射线。M与射线ON交于点。，直线miln,直线m分别交OM、ON干点

X、D,直线〃分别交。M、O/V于点8、C,点P在射线。M上运动.

①当点P在4、B（不与4、8重合）两点之间运动时，设N40P=/a,ZfiCP=Zp,则

zCPD,za,Np之间有何数量关系？请说明理由：

②若点P不在线段48上运动时（点P与点4、8、。三点都不重合），请你画出满足条件

的所有图形并直接写出NCP。，Za,NB之间的数量关系.

ZMAB+Z.KCF=90°.

（1）求证：EFWMN；

（2）如图2,NAM8与/ECK的角平分线交于点G,求NG的度数；

（3）如图3,在NMA8内作射线AQ,使NM42=2NQA8,以点C为端点作射线CP,交耳

侬4Q于点了，当NCL4=60。时，，直接写出NFCP与N4CP的关系式.

13.如图1,AI3//CD,E是48、CD之间的一点.

（1）判定以在，NCOE与NAED之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2,若ZBAE、NCDE的两条平分线交于点F.直接写出NA/T＞与NAE。之间的

数量关系；

（3）将图2中的射线OC沿。£翻折交从产于点G得图3,若4G。的余角等于2NE的补

角，求44£的大小.

14.如图1,。为直线48上一点，过点。作射线OC,乙4。。=30°,将一直角三角板

（NM=30"）的直角顶点放在点。处，一边ON在射线0A上，另一边OM与OC都在直线

AB的上方，将图1中的三角板绕点。以每秒3。的速度沿顺时针方向旋转一周.

A/

AoBAOB

备用图1备用图2

（1）几秒后ON与。C重合？

（2）如图2,经过/秒后，MN//AB,求此时，的值.

（3）若三角板在转动的同时，射线。。也绕。点以每秒6。的速度沿顺时针方向旋转一周，

那么经过多长时间0C与重合？请画图并说明理由.

（4）在（3）的条件下，求经过多长时间。。平分NMQB?请画图并说明理由.

15.如图，两个形状，大小完全相同的含有30。、60。的三角板如图放置，以、P8与直线

M/V重合，且三角板以C,三角板P8。均可以绕点P逆时针旋转.

（1）①如图1,ZDPC=度.

②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“享生三角

形〃，如图1,三角板8P。不动，三角板以C从图示位置开始每秒10。逆时针旋转一周

（0°〈旋转＜360。），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“挛生三角形

（2）如图3,若三角板PAC的边外从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速37秒，同时三

角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速27秒，在两个三角板旋转过程

中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）.设两个三角板旋转时间为t秒，以

下两个结论：①］/嬴CPD为定值：②N8P/V+/CP。为定值，请选择你认为对的结论加以证

图1图2图3

四、解答题

16.如图，△ABC中，NA8C的角平分线与NAC8的外角N4C。的平分线交于4.

E

(1)当NA为70。时,

1/ZACD-Z.ABD=/

ZACD-Z.ABD=°

・「84、CAi是NABC的角平分线与NACB的外角NACD的平分线

1,、

/.ZAiCD-ZAiBD=-(Z.ACD-Z.ABD)

2

.二N4i=°:

(2)N48C的角平分线与N4C。的角平分线交于4，/48C与4C。的平分线交于A3，

如此继续下去可得4........4,请写出NA与N4的数量关系；

(3)如图2,四边形八88中，NF为NA8C的角平分线及外角NOCE的平分线所在的直线

构成的角，若N4+N4230度，则NF=.

(4)如图3,若E为84延长线上一动点，连EC,N4E2与NACE的角平分线交于Q,当E

滑动时有下面两个结论：①/Q+N4的值为定值；②NQ-/4的值为定值.其中有且只

有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值.

17.【问题探究】如图1,DFIICE,ZPCE=Za,ZPDF=ZP，猜想NDPC与a、0之间有

何数量关系？并说明理由；

【问题迁移】

如图2,DFIICE,点P在三角板AB边上滑动，ZPCE=Za,ZPDF=Z[3.

(1)当点P在E、F两点之间运动时，如果a=30。，B=40。，则NDPC=

(2)如果点P在E、F两点外侧运动时(点P与点A、B、E、F四点不重合)，写出NDPC

与a、B之间的数量关系，并说明理由.

（图1）（图2）

18.直线M/V与直线PQ垂直相交于。，点八在射线OP上运动，点8在射线0M上运

动/、8不与点0重合，如图1,已知AC、8c分别是NBAP和NA8M角的平分线，

（1）点A、8在运动的过程中，N4CB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，试求出NACB的大小.

（2）如图2,将△48C沿直线4B折叠，若点C落在直线PQ上，则N八8。=,

如图3,将AABC沿直线A8折叠，若点C落在直线M/V上，则NA80=

（3）如图4,延长8A至G,已知NBA。、NO4G的角平分线与N80Q的角平分线及其反

3

向延长线交于E、F,则N£4F=/在△人EF中，如果有一个角是另一个角的;倍，求N八80

的度数.

NACB=NEDF=9()\ZAHC=NBAC=45°,NDFE=30°,4DEF=60°.

(1)若ADM如图1摆放，当£。平分N尸砂时，证明：FD平济NEFM.

BAN

图1

（2）若AABCADEE如图2摆放时，则NPQE=

图2

（3）若图2中AA8C固定，将△。律沿着AC方向平移，边。尸与直线尸。相交于点G,

作NFGQ和NGE4的角平分线G“、户H相交于点〃（如图3）,求NG”尸的度数.

D

图3

（4）若图2中ADE”的周长35c，〃,A尸=5。〃，现将AABC固定，将AD律沿着C4方向平

移至点尸与A重合，平移后的得到△//£4，点。、E的对应点分别是O'、E',请直接写

出四边形OE4。'的周长.

（5）若图2中固定，（如图4）将AA8C绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段AC与A/注产的一条边平行时，请直接写出旋

转的时间.

图4

20.已知MN//GH,在机A/JC中，=90°,ZBAC=30°,点A在MN上，边BC在

GH上,在RfADEF中,/。庄=90°,边DE1在直线A8上，ZEDF=45°；

（1）如图1，求N8AN的度数;

（2）如图2,将心△£）“沿射线84的方向平移，当点尸在M上时，求NAEE度数；

（3）将户在直线A8上平移，当以A、D、尸为顶点的三角形是直角三角形时，直

接写出NE4N度数.

E

【参考答案】

一、解答题

1.（1）;（2）＜：（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的

解析:（1）V2;（2）＜；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方

形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；

（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；

【详解】

解：（1）二•小正方形的边长为1cm,

「•小正方形的面积为1cm?,

了.两个小正力形的面积之和为2cm2,

即所拼成的大正方形的面积为2cm2,

设大正方形的边长为xcm,

x2=2,

x=4i

大正方形的边长为&cm；

（2）设圆的半径为八

由题意得加*2=2%,

r=\/2，

C^=27rr=27ixf2,

设正方形的边长为a

"=2乃，

a=y/2/r»

C正=4。=4\/^,

..生=毕=①=坐<]

C正4疡2V4

故答案为：V;

（3）解：不能裁剪出，理由如下：

正方形的面积为900cm2,

」•正方形的边长为30cm

■「长方形纸片的长和宽之比为5:4,

设长方形纸片的长为5%,宽为4工.

则5X-4X=74O,

整理得：X2=37,

（5x>=25X2=25X37=925>9（X）,

（5x）2>302,

5工>30,

长方形纸片的长大于正方形的边长，

・••不能裁出这样的长方形纸片.

【点睛】

本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较

大小进行了考查.

2.（1）;（2）不能剪出长宽之比为5：4,且面积为的大长方形，理由详见

解析

【分析】

（1）根据已知得到大正方形的面积为400,求出算术平方根即为大正方形的边

长；

（2）设长方形纸片的长为，宽为，根据

解析：（1）20cm：（2）不能剪出长宽之比为5：4,且面积为360。/的大长方形，理由

详见解析

【分析】

（1）根据已知得到大正方形的面积为400以??2,求出算术平方根即为大正方形的边长；

（2）设长方形纸片的长为5xcm,宽为4xcm,根据面积列得5x・4x=360,求出工=而，

得到5厂=5炳>20,由此判断不能裁出符合条件的大汗方形.

【详解】

（1）V用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形，

大正方形的面积为400cm。

大正方形的边长为=

故答案为:20cm；

（2）设长方形纸片的长为5xcw,宽为

5x・4x=360,

解得：A=X/T8»

5X=5M>20,

答：不能剪出长宽之比为5：4,且面积为360。/的大长方形.

【点睛】

此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.

3.（1）5；；（2）；；（3）能，.

【分析】

（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积

的算术平方根即可为大正方形的边长.

（2）求出斜边长即可.

（3）一共有10个小正

解析：（1）5：石：（2）x/5-l;1-V5：（3）能，府.

【分析】

（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方

根即可为大止方形的边长.

（2）求出斜边长即可.

（3）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面根为10,边长为10的算术平方

根，画图.

【详解】

试题分析：

解：（1）拼成的正方形的面积与原面积相等lxlx5=5,

边长为石，

如图（1）

（2）斜边长=五二/=2夜,

故点A表示的数为：2拒-2;点A表示的相反数为：2-2血

（3）能，如图

拼成的正方形的面积与原面积相等1X1X10=10,边长为M.

考点：1.作图一应用与设计作图：2.图形的剪拼.

4.（1）长为，宽为；（2）正确，理由见解析

【分析】

（1）设长为3x,宽为2x,根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；

（2）根据长方形纸片的周长为50,阴影部分两个长方形的周长之和为30列方

程

解析：（1）长为3K，宽为2石：（2）正确，理由见解析

【分析】

（1）设长为3x,宽为2x,根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；

（2）根据长方形纸片的周长为50,阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方

程组求出a即可得到大正方形的面积.

【详解】

解：（1）设长为3x,宽为2x,

则；3x*2x=3O,

-e-x=>/5（负值舍去），

3x=3x/5»2x=2逐,

答：这个长方形纸片的长为3石，宽为2石；

（2）正确.理由如下：

2[(a+h)+a]=50

根据题意得:

4Z?+2(r/-p)=30

a=10

解得:

b=5

•••大正方形的面积为102=100.

【点睛】

本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元

方程转化为一元方程是解题的关键.

5.不同意，理由见解析

【分析】

先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为，长为，然后依据矩形的面积为20

列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断.

【详解】

解：不同意，

因为正方形的面积为，

解析：不同意，理由见解析

【分析】

先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为X,长为2x,然后依据矩形的面积为20列方

程求得x的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断.

【详解】

解：不同意，

因为正方形的面积为36cm，故边长为6cm

设长方形宽为工，则长为缄

长方形面积=X-2X=2X2=20

/..r2=10,

解得x=(负值舍去)

长为2Vlscm>6cm

即长方形的长大于正方形的边长，

所以不能裁出符合要求的长方形纸片

【点睛】

本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键.

二、解答题

6.(1)49°,(2)44°,(3)ZOPQ=ZORQ

【分析】

(1)根据NOPA二NQPB.可求出NOPA的度数；

(2)由NAOP=43。，NBQP=49。可求出NOPQ的度数，转化为(1)来解

解析：(1)49°,(2)44°,(3)ZOPQ=ZORQ

【分析】

(1)根据NO%=NQPB.可求出N。%的度数；

(2)由N4OP=43。，N8QP=49。可求出NOPQ的度数，转化为(1)来解决问题；

(3)由(2)推理可知：/OPQ=N40P+NBQP,NORQ=NDOR+NRQC,从而

ZOPQ=NORQ.

【详解】

解：(1).「NOPA=ZQPB,ZOPQ=82°,

ZOPA=(180°-ZOPQ)xi=(180°-82°)xg=49°,

(2)作PCIIm,

*/mIIn,

「.milPCIIn,

Z40P=ZOPC=43°,

ZBQP=ZQPC=49°,

ZOPQ=/OPC+ZQPC=430+49°=92°,

/.ZOPA=(180。-/OPQ)xl=(180°-92°)xg44。，

m

QBn

图2

(3)ZOPQ=ZORQ.

理由如下：由(2)可知：/OPQ=NAOP+NBQP,NORQ=NDOR+NRQC,

•「入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹定，

/.ZAOP=ZDOR,ZBQP=ZRQC,

/.ZOPQ=ZORQ.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的

设置环环相扣、前为后用的设置目的.

7.(1)100；(2)75°；(3)n=3.

【分析】

(1)如图：过0作OP〃MN,由MN//OP//GH得/NAO+ZPOA=180°,

ZPOB+ZOBH=180°,即NNAO+ZAOB+ZOB

解析：(1)100；(2)75°；(3)n=3.

【分析】

(1)如图：过O作OP〃M/V,由MN〃OP〃GH得4NAO+NPOA=180°,

ZPOB+Z08H=180°,即/NAO+Z.AOB+Z08H=360°,即可求出/AOB；

(2)如图：分别延长AC、8交GH于点、E、F,先根据角平分线求得NN4C=58。，再根据

平行线的性质得到NCEF=58。：进一步求得NZ)8F=18。，/DFB=17。,然后根据三角形外

角的性质解答即可；

(3)设BF交MN于K,由NNAO=116°,得N/VMO=64°,故N/VME=」一x64,同理

〃+I

NOBH=144°,ZHBF=n^OBF,得NF8H=/一x144,从而=」-x144。，又

〃+1n+l

ZFKN=AF+ZFAK,得」-xl44=60+/-x64",即可求

77+1n+l

【详解】

解：(1)如图：过。作。P〃MN,

MN//GHI

MN//OP//GH

/.ZNAO+NPOA=180°,ZPO8+N08H=180°

/.ZNAO+Z.AOB+Z.OBH=360°

,•1ZNAO=116°,ZOD//=144°

...Z408=360°-1160-1440=1000；

（2）分别延长47、CD交GH于点、E、F,

'：AC平分且ZAWO=116°,

/.ZA^4C=58°,

又MN//GH,

：.ZCEF=58°；

■「NORH=144。,NOBG=36°

•/8。平分Z.OBG,

ZDBF=18°,

又「NCQ8=35°,

NDFB=NCDB-/DBF=35-18=17。；

Z48=ZD/・3+ZA£F=170+58°=75。；

(3)设F8交MN于K,

•「ZAWO=II6°,则Z/VMO=64。；

ZyWAE=—x64°

M+1

,/ZOBH=\44°,

：.ZFBH=-x144°,ZBKA=ZFBH=—x144°,

〃+l〃+1

在中，Z^/C4=ZFKA+ZF=—x64°+60o,

〃+l

_2_xl44°=—x64°-60°,

〃+1〃+1

.二〃二3.

经检验：〃=3是原方程的根，且符合题意.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进

行求解是解答本题的关键.

8.(1)1500；(2)ZOCD+Z80匕360。-。；(3)ZAOB=ZBOE

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NAOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求

得NBOE的度数；

(2)

解析：(1)150°：(2)NOCD+NBOE=360。-。；(3)£AOB=NBOE

【分析】

(1)先根据平行线的性质得到NAOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得N8OE的

度数；

(2)如图②，过。点作OFIICD,根据平行线的判定和性质可得NOC。、NB。方的数量关

系；

(3)由已知推出CPIIOB,得到N4O8+NPCO=180。，结合角平分线的定义可推出

ZOCD=2ZPCO=360°-2ZAOB,根据(2)ZOCD+Z8O'E'=3600-NAOB,进而推出

ZAOB=ABOE.

【详解】

解：(1)VCDIIOE,

：.ZAOE=ZOCD=120°,

>o

...ZBO£=3600-ZAOE-Z.40B=3600-90'-120=150°;

(2)ZOCD+ZBO'E'=36O0-a.

证明：如I图②，过。点作OFIICO,

CDIIO'E',

：.OFIIOF,

Z4OF=1800-ZOCD,ZBOF=Z.£'O'O=1800-NBO'E',

ZAO8=/AOF+A8OF=180°-ZOCD+180°-Z8O'E'=3600-(ZOCD+ZBOF)=%

/.ZOCD+ZBO'E'=36Q°-a；

(3)ZAOB=ABO'E'.

证明：NCPO”=90。，

PO'±CP,

•/PO'±OB,

：.CPW08,

...ZPCO+Z408=180°,

/.2ZPCO=360°-2ZAOBf

••,CP是/oc。的平分线，

ZOCD=2ZPCO=3600-2ZAOBt

•.•由(2)知，NOCO+NBOF=360°r=360°-N八。8,

/.3600-2ZAOB+Z.BO,E,=350°-Z.AOB,

ZAOB=Z.BOE.

【点睛】

此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出

辅助线是解决问题的关键.

9.(1)见解析；(2)①2NMEN+NMHN=360°；②20°

【分析】

(1)过点E作EPIIAB交MH于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻

补角和为180。，角与角之间的基本运算、等量代换等即

解析：(1)见解析：(2)①2NMEA/+NMHN=360°：②20°

【分析】

(1)过点E作EPII48交于点Q,利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为

180%角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证.

(2)①过点H作利用(1)中结论2NMEN-NMHN=180。，利用平行线的性

质、角平分线性质、邻补角和为180。，角与角之间的基本运算、等量代换等得出/AMH+

ZHNC=360°-(Z8M片+NHND),进而用等量代换得出2/MEN+/MHN=360°.

②过点H作HTWMP,由①的结论得2ZMEN+/MHN=360°,ZH=140°,ZMEN=

110°.利用平行线性质得NENQ+NENH+NNHT=180。，由角平分线性质及邻补角可得

ZE/VQ+NENH+140。-g(180°-ZBMH)=180°.继续使用等量代换可得/ENQ度数.

【详解】

解：(1)证明：过点E作£PII48交于点Q.如答图1

,/EPWAB且ME平分NBMH,

ZMEQ=ZBME=；NBMH.

•「EPIIAB,ABWCD,

EPWCD,又NE平分/GND,

ZQEN=,DNE=±4GND.（两直线平行，内错角相等）

'NMEN=NMEQ+NQEN=3NBMH+mNGND=WQBMH+NGND）.

2ZMEN=NBMH+NGND.

•/ZGA/O+NDNH=18Q°,ZDNH+NMHN=AMON=ZBMH.

ZDHN=4BMH-ZMHN.

：.ZGND+NBMH-ZMHN=180°f

即2ZMEN-ZMHN=180°.

（2）①：过点H作G/IIA8.如答图2

答图2

由（1）可得/M£N=gBMH+/HND）,

由图可知/MHN=NMH/+NNHI,

'：6/IIAB,

ZAMH=Z.MHI=1SO°-ZBMH,

G/llAB,ABWCD,

/.G/llCD.

NHNC=ZNHI=1800-NHND.

：.ZAMH+/HNC=180°-Z8MH+1800-ZHND=360°-（ZBMH+NHND）.

文:ZAMH+NHNC=4MHI+4NHI=/MHN,

：.Z8MH+NHND=3600-ZMHN.

即2NMEN+NMHN=360°.

故答案为：2ZMEN+NMHN=360°.

②：由①的结论得2/MEN+NMHN=360°,

1/ZH=NMHN=140°,

/.2ZMEN=360°-140°=220°.

/.ZMEN=110°.

过点H作“rilMP.如答图2

,/MPWNQ,

/.HTWNQ.

NENQ+NENH+/NHT=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

..乂。平分/AMH,

:.NPMH=；/AMH=g（180°-ZBMH）.

•/ZNHT=NMHN-ZMHT=140Q-ZPMH.

NEA/Q+NENH+140。-g(1800-ZBMH)=180°.

•「ZENH=ZHND.

2

ZE/VQ+g/H/VD+1400-900+gN8MH=180°.

NE/VQ+g(HND+NEMH)=130°.

ZENQ+《NMEN=13Q°.

ZENQ=130°-110°=20°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运

算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强.

10.(1)30°；(2)/DEF+2NCDF=150°,理由见解析；(3)

【分析】

(1)由非负性可求a,B的值，由平行线的性质和外角性质可求解；

(2)过点E作直线EHIIAB,由角平分线的性质和平行

解析：(1)30。；(2)ZDEF+2ZCDF=150°,理由见解析；(3)；

【分析】

(1)由非负性可求a，B的值，由平行线的性质和外角性质可求解：

(2)过点E作直线EHWAB,由角平分线的性质和平行线的性质可求/DEF=180°-300-

2x°=150°-2x°,由角的数量可求解：

(3)由平行线的性质和外角性质可求/PM8=2NQ+NPC。，NCPM=2NQ,即可求解.

【详解】

解：(1)Ja-30+(p-60)2=0,

a=30,B=60,

,「4811CD,

：.ZAMN=NMND=60°t

ZAMN=48+Z8EM=60°,

/.Z8EM=600-30°=30°：

(2)ZDEF+2ACDF=150°.

理由如下：过点E作直线EHII48,

图2

DF平分NCDE,

设NCDF=ZEDF=x°；

•「EHWAB,

ZDEH=NEDC=2x°,

/.ZDEF=180°-30°-2x°=150°-2x°；

/.ZDEF=150°-2ZCDF,

BPZOEF+2NCDF=150°；

(3)如图3,设MQ与CD交于点£,

,/MQ平分NBMT,QC平分NDCP,

二NBMT=2NPMQ,ZDCP=2Z.DCQ,

ABWCD,

：.ZBME=ZMEC,ZBMP=NPND,

ZMEC=ZQ+ZDCQ,

2ZMEC=2NQ+2ZDCQ,

/.ZPMB=2NQ+ZPCD,

,/ZPND=ZPCD+NCPM=NPMB,

ZCPM=2NQ,

NQ与NCPM的比值为:，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键.

三、解答题

11.(1)ZPAF+ZPBN+ZAPB=360°；(2)①，见解析；②或

【分析】

(1)作PCIIEF,如图1,由PCIIEF,EFIIMN得至iJPCIIMN,根据平行线的性

质得NPAF+ZAPC=180°,Z

解析：(1)NPAF+NP8N+N4P8=360°；(2)①《PD=Na+”,见解析；

(2)4CPD=N/7—Na或ZCPD=Na-

【分析】

(1)作PCIIEF,如图1,由PGIEF,EFWMN得到PCIIMN,根据平行线的性质得N

+NAPC=180°,ZPBN+NCPB=180°,即有/%F+/PB/V+ZAPB=360°：

(2)①过P作PEIIAD交ON于E,根据平行线的性质，可得到ZEPD=Za,

4CPE=4p、于是NCPD=Na+N夕;

②分两种情况：当P在。8之间时；当P在04的延长线上时，仿照①的方法即可解答.

【详解】

解：（1）N%F+NP8N+N4P8=360。，理由如下：

图1

,/PCIIEF,EFWMN,

：.PCWMN,

Z%F+NAPC=180°,ZP8A/+NCP8=180°,

/.Z%F+NAPC+APBN+NCPB=360°,

/.ZPAF+ZPBN+NAPB=360°；

(2)①NCTO=Na+"

理由如下：如答图，过P作PEII4。交ON于E,

•「A。IIBC,

：.PEIIBC,

Z.EPD=Na,』CPE=Z/?,

/.ZCPD=Z6Z+Z/7

②当P在。8之间时，ZCPD=Za-Z/7,理由如下:

备用图1备用图2

如备用图1,过P作PEIIAD交ON于£,

•「AOIIBC,

：.PEWBC,

；EPD=Nct,4CPE=40,

NCPO=Na-N/y；

当P在OA的延长线上时，NCPO=//-Na,理由如下：

如备用图2,过。作P£llAD交CW于邑

1.1ADWBC,

PEIIBC,

ZEPD=Za,4CPE=40,

NCQO=N〃-Na；

综上所述，ZCPD,Za,/8之间的数量关系是/<^。=/4一/。或/675。=/1一々.

【点睛】

本题考查了平行线的性质；两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.难点

是分类讨论作平行辅助线.

12.（1）见解析;（2）NCGA=45。；（3）NFCP=2NACP或

ZFCP+2ZACP=180°.

【分析】

（1）有垂直定义可得NMAB+NKCN=90。，然后根据同班的余角相等可得

ZKAN=ZK

解析：（1）见解析；（2）NCG4=45°；（3）NFCP=2/4CP或NFCP+2/ACP=180°.

【分析】

（1）有垂直定义可得N/VM8+/KC/V=90°,然后根据同年的余角相等可得/必N=/KCE从

而判断两直线平行；

（2）KAN=ZKCF=a,过点G作GHIIEF,结合角平分线的定义和平行线的判定及性质

求解；

（3）分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解.

【详解】

解：（1）,/AB±AK

ZBAC=90a

ZMAB+Z.KAN=90°

•「ZMAB+AKCF=90°

ZKANNKCF

EFWMN

(2)设£KAN=Z.KCF=a

则NBAN=NBAC+4KAN=9Q,,+a

ZKC8=180°-ZKCF=130°~a

丁AG平分/NAB,CG平分/ECK

ZGAN=^8/W=45°+：a,ZKCG=/KCB=90°-^-a

2222

ZFCG=NKCG+NKCF=9Q°-\~^a

过点G作GHWEF

ZHGC=ZFCG=90°+ga

文:MNWEF

：.MNWGH

ZHGA=NGA/V=45°+

，CGA=NHGC—/HGA=(90o+y«)一(45。+异)=45°

••Z.CT\+ZTAC+ZACP=180°

ZCTA+ZQA8+ZBAC+ZACP=180°

又ZC7^=60°,Z5AC=90°

NQA3+N4CP=30°

由(1)可得：EFWMN

/.^FCA=ZMAC

1.,ZFCP=ZFCA+ZACP

ZFCP=ZMAC+ZACP

ZM4C=ZMAQ+ZQAB+ZBAC,ZMAQ=2ZQAB

NM4C=3NQ人小90°=3(30°-ZACP)I90°=180°-3ZACP

...//CP=180。-3ZAb—ZAC?

UPZFCP+2Z.4cp=180°

②当CP交射线AQ的反向延长线于点T,延长BA交CP于点G

4FCP=/FCA—AACP,由EFIIMN得NM4C=N尸C4

/./FCP=/MAC-ZACP

又•「N7XG=NQAB,ZZ?AC+ZC4G=180°,ZfiAC=90°

/.ZC4G=180°-ABAC=90°

ZC4T=ZC4G-Z.TAG=90°-NQAB

ZC4T+ZC7X+ZACP=180°,NG=60。

NC47+ZAb=120。

90°-ZQAB+ZACP=\20°

^QAB=^ACP-30°

由①可得Z/VMC=3ZQAB+90°

ZA14C=3(ZACP-30°)+90°=3ZACP

ZFCP=AMAC-ZACP=3ZACP-AACP=2AACP

综上，ZFCP=2NACP或NFCP+2AACP=180°.

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关

键.

13.(1),见解析；(2)；(3)60°

【分析】

(1)作EF〃AB,如图1,则EF〃CD,利用平行线的性质得N1=NBAE,Z2=

ZCDE,从而得到/BAE+ZCDE=ZAED；

(2)如图2,

解析：(1)NBAE+NCDE=ZAED,见解析；(2)ZAFD=-ZAED；(3)60°

2

【分析】

(1)作EF〃幺8,如图1,WOEF//CD,利用平行线的性质得N1=N8AE,Z2=ZCDE,从

而得到NBAE+ACDE=NAED；

(2)如图2,由(1)的结论得NAFD=NB4F+NCDF,根据角平分线的定义得到NBM=

|zBAE,ZCDF=^ACDE,则NAFD=g(N8AE+/COE),加上(1)的结论得到

AFD=^AAEDi

(3)由(1)的结论得NAGD=N84F+/CDG,利用折叠性质得NCDG=4/CDF,再利用

3

等量代换得到NAGD=2NAED——ZBAE,力口」二90°—/AGD=180°-2NAE。，从而可计算

2

出/84E的度数.

【详解】

解：⑴/BAE+NCDE=ZAED

理由如下：

作EF//AB,如图1,

QAB//CD,

EF//CD.

:.Z\=ABAE,Z2=ZCDE,

:.ABAE+Z.CDE=ZAED；

(2)如图2,由(1)的结论得NA&)=/RAF+NCOr,

/BAE、NCQE的两条平分线交于点F,

/.NRAF=-/BAE,/CDF=-ZCDE,

22

/AFD=L(NBAE+NCDE),

2

•/NBAE+ZCDE=ZAED,

/.ZAFD=-ZAED；

2

(3)由(1)的结论得NAG力=NR4/+NC0G,

而射线DC沿OE翻折交人产于点G,

ZCZX/-4ZCDF,

ZAGD=NBAF+4ZCDF=-NBAE+2ZCDE=-NBAE+2(ZAED-NBAE)=

22

2ZAED--ZBAE,

2

・••90°-ZAGD=180°-2Z4ED,

3

/.90°-2ZAED+-ZBAE=180。-2ZAED,

2

/.ZB^E=60°.

【点睛】

本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线

平行，内错角相等.

14.(1)10秒；(2)20秒；(3)20秒，画图见解析；(4)秒，画图见解

析

【分析】

(1)用角的度数除以转动速度即可得；

(2)求出NAON=60。，结合旋转速度可得时间t；

(3)设NAON=3

70

解析：(1)10秒；(2)20秒；(3)20秒，画图见解析；(4)—秒，画图见解析

3

【分析】

(1)用角的度数除以转引速度即可得；

(2)求出NAON=60°,结合旋转速度可得时间t；

(?)设/AON=?t,贝lj/由题意列出方程，解方程即可：

(4)根据转动速度关系和OC平分NMOB,由题意列出方程，解方程即可.

【详解】

解：(1)V30-5-3=10,

10秒后ON与OC重合；

(2),/MNIIAB

ZBOM=ZM=30°,

ZAON+ZBOM=90°,

ZAON-60°,

t=60-r3=20

经过t秒后,MNIIAB,t=20秒.

(3)如图3所示：

图3

,/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZBOM,

V三角板绕点0以每秒3。的速度，射线OC也绕。点以每秒6。的速度旋转,

设NA0N=3t,则/AOC=300+6t,

•••OC与OM重合，

ZAOC+ZBOC=180°,

可得：(300+6t)+(900-3t)=180°,

解得：t=20秒；

即经过2U秒时间UC与UM重合：

（4）如图4所示:

,/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZCOM,

;三角板绕点0以每秒3。的速度，射线OC也绕0点以每秒6。的速度旋转,

设NAON=3t,ZAOC=30°+6t,;ZBOM+ZAON=90°,

/.ZBOC=ZCOM=^-ZBOM=1(90°-3t),

由题意得：180°・(30°+6t)=y(90°-3t),

70

解得：t=—秒，

3

70

即经过一秒OC平分NMOB.

3

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细

观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键.

15.（1）①90；②t为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解

析.

【分析】

（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种

情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和

解析：（1）①90；②t为3s或6s或9s或18s或