【高考押题】2025届高考数学模拟预测卷二新高考Ⅰ卷 含答案

/2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅰ）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023秋•任城区校级期末）过抛物线x=14A．32 B．3 C．122．（5分）（2023•尚义县开学）已知复数z满足21+z=1−A．i B．﹣i C．1﹣i D．1+i3．（5分）（2022春•宁波期末）已知平面向量a→，b→，A．1 B．32 C．2 4．（5分）（2024•浦东新区校级模拟）全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用．例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止学生有所顾忌而不如实作答，可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球，6个白球的盒子中任取3个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数？”，未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”．由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案．已知某学校800名学生参加了该调查，且有250人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约为（）A．25% B．35% C．45% D．55%5．（5分）（2024秋•大埔县校级月考）若向量a→=(−1，1，−2)与b→A．4 B．5 C．6 D．36．（5分）（2024秋•锦江区校级月考）下列说法正确的是（）A．若a＞b，则1aB．若a＞b＞0，m≠0，则baC．0.91.1＞1.10.9 D．log23＞log327．（5分）（2022春•丰台区校级期末）如图，已知山高BC＝500m，为了测量山高MN，选择A点和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角∠MAN=π3，C点的仰角∠CAB=π4，∠MAC=5π12，从C点测得∠A．850 B．8503 C．750 D．75038．（5分）（2025春•太原校级月考）已知函数f(x)=A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，1）二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）（多选）9．（6分）（2024春•新城区校级期中）有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10b乙班c30已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27附：χ2=n(ad−bc)2(aP（χ2≥xα）0.100.050.010.0050.001α2.7063.8416.6357.87910.828A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为20，b的值为45 C．若算得χ2≈6.109，依据α＝0.05的独立性检验，认为“成绩与班级有关系” D．若算得χ2≈6.109，依据α＝0.05的独立性检验，认为“成绩与班级没有关系”（多选）10．（6分）（2025•内蒙古二模）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝10，且an+2＝an+1•an2，若记数列{an}的前n项的积为Tn．bn＝lg（an•an+1），{bn}的前n项和为SA．数列{bn}是等比数列 B．SnC．当n为奇数时，TnD．当n为偶数时，T（多选）11．（6分）（2025•辽宁模拟）已知函数f（x）＝x3﹣6x2+ax+b（a，b∈R），则下列选项正确的有（）A．f（x）的图象关于点（2，f（2））中心对称 B．若不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜4且x≠1}，则x＝3是f（x）的极小值点 C．若不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜4且x≠1}，则当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） D．若不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞m且x≠n}，n﹣m＝6，则f（x）的极大值为32三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（5分）（2020•全国）（x﹣3）（x﹣32）（x﹣33）（x﹣34）的展开式中x3的系数为．（用数字作答）13．（5分）（2023秋•赛罕区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝2，圆C2：(x−17)2+(y14．（5分）（2025•福建模拟）已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为α，则当圆锥的内切球体积最大时，α＝．四．解答题（共5小题，满分77分）15．（13分）（2024秋•无锡期末）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2．（1）若f（x）在x＝2处有极小值，求f（x）的单调递增区间；（2）若函数y＝f（x）的图像与直线y＝﹣x+c相切，求实数c的值．16．（15分）（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知数列{an}的首项a1=12，且（1）证明：数列{2n•an}是等差数列，并求出{an}的通项公式；（2）记cm为数列{bn}中能使bn≥12m+1(m∈17．（15分）（2024秋•北京校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，PD＝AD＝2．M，N分别为AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：AB⊥平面PAD；（3）在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面PBC所成角为π6．若存在，确定点E18．（17分）（2024春•平定县校级期中）设O为坐标原点，定义非零向量OM→=(a，b)的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），向量OM→=(a，b)称为函数（1）设函数h(x)=2sin(π（2）记OM→=(0，2)的“相伴函数”为f（x），若函数g(x)=f(x)+23|sinx（3）已知点M（a，b）满足3a2﹣4ab+b2＜0，向量OM→的“相伴函数”f（x）在x＝x0处取得最大值．当点M运动时，求tan2x019．（17分）（2022•漳州模拟）已知圆C1：（x+2）2+y2＝9，圆C2：（x﹣2）2+y2＝1，动圆P与圆C1，圆C2都外切．圆心P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）已知A，B是C上不同的两点，AB中点的横坐标为2，且AB的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由．

2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅰ）答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023秋•任城区校级期末）过抛物线x=14A．32 B．3 C．12【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】A【分析】由题意首先求得焦点坐标，然后确定直线方程，最后由点到直线距离公式可得距离．解：抛物线的标准方程是y2＝4x，其顶点是（0，0），焦点是（1，0），由直线的倾斜角得其斜率是k=tanπ则抛物线的顶点到直线的距离为d=故选：A．【点评】本题主要考查抛物线方程及其应用，抛物线的性质，点到直线距离公式等知识，属于基础题．2．（5分）（2023•尚义县开学）已知复数z满足21+z=1−A．i B．﹣i C．1﹣i D．1+i【考点】复数的运算；共轭复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【正确答案】B【分析】按照法则进行复数的四则运算求出z，再求z．解：∵z=∴z=−故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）（2022春•宁波期末）已知平面向量a→，b→，A．1 B．32 C．2 【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】D【分析】设e→=(0，1)，a→=(x，y)，解：不妨设e→∴a→⋅e→=∵（x+m）2≥0，∴|a→+故选：D．【点评】本题考查了平面向量数量积的应用，属于中档题．4．（5分）（2024•浦东新区校级模拟）全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用．例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止学生有所顾忌而不如实作答，可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3个红球，6个白球的盒子中任取3个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3的倍数？”，未取到任何红球的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”．由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案．已知某学校800名学生参加了该调查，且有250人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约为（）A．25% B．35% C．45% D．55%【考点】全概率公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】A【分析】利用全概率公式可求答案．解：设学生对食堂的实际满意度为p，事件A＝“回答问题一”，事件B＝“回答的结果为是”，由题意可知P(A)=1−又因为P(由全概率公式可得P(即1663解得p=故选：A．【点评】本题主要考查了全概率公式，属于基础题．5．（5分）（2024秋•大埔县校级月考）若向量a→=(−1，1，−2)与b→A．4 B．5 C．6 D．3【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【正确答案】C【分析】由题意可知a→、b→的数量积为正数且a→解：根据题意，a→⋅b→＞0所以a→⋅b当a→与b→共线时，1−1=x1=对照各个选项，可知C项符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查空间向量数量积的坐标表示、两个向量共线的条件等知识，属于基础题．6．（5分）（2024秋•锦江区校级月考）下列说法正确的是（）A．若a＞b，则1aB．若a＞b＞0，m≠0，则baC．0.91.1＞1.10.9 D．log23＞log32【考点】对数值大小的比较；等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【正确答案】D【分析】对于选项A，B，利用赋值法即可判断正误；对于选项C，D，利用中间量1结合指数函数与对数函数的单调性比较大小即可判断．解：对于A，由a＞b，当a＝1，b＝﹣2时，故A显然错误；对于B，a＞b＞0，m≠0，当a＝2，b＝1，m＝﹣1时，ba=1对于C，0.91.1＜0.90＝1，1.10.9＞1.10＝1，所以0.91.1＜1.10.9，故C错误；对于D，log23＞log22＝1，log32＜log33＝1，所以log23＞log32，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．7．（5分）（2022春•丰台区校级期末）如图，已知山高BC＝500m，为了测量山高MN，选择A点和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角∠MAN=π3，C点的仰角∠CAB=π4，∠MAC=5π12，从C点测得∠A．850 B．8503 C．750 D．7503【考点】解三角形．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【正确答案】C【分析】利用直角三角形求出AC，由正弦定理求出AM，再利用直角三角形求出MN的值．解：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝500m，所以AC＝5002m；在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，ACsin因此AM＝5002×322在Rt△MNA中，AM＝5003m，∠MAN＝60°，由MNAM得MN＝5003×32故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．8．（5分）（2025春•太原校级月考）已知函数f(x)=A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，1）【考点】利用导数求解函数的极值．【专题】计算题；整体思想；导数的综合应用；运算求解．【正确答案】C【分析】首先对函数f（x）求导，然后分析x＝1两侧的符号，进而求出实数m的取值范围．解：根据题目；已知函数f(由f(则f′(令f′（x）＝0，则x＝1或x＝m，当m＝1时，f′（x）在x＝1附近的符号是左正右正，故x＝1不是f（x）的极值点，不符合题意；当m＜1时，f′（x）在x＝1附近的符号是左负右正，即x＝1是f（x）的极小值点，不符合题意；当m＞1时，f′（x）在x＝1附近的符号是左正右负，即x＝1是f（x）的极大值点，符合题意；综上，m的取值范围为（1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查利用导数求解函数的极值，属于中档题．二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）（多选）9．（6分）（2024春•新城区校级期中）有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10b乙班c30已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27附：χ2=n(ad−bc)2(aP（χ2≥xα）0.100.050.010.0050.001α2.7063.8416.6357.87910.828A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为20，b的值为45 C．若算得χ2≈6.109，依据α＝0.05的独立性检验，认为“成绩与班级有关系” D．若算得χ2≈6.109，依据α＝0.05的独立性检验，认为“成绩与班级没有关系”【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】BC【分析】由成绩优秀的概率求出成绩优秀的人数和非优秀人数，即可得出b，c的值，根据χ2≈6.109与附表中的数据对比，即可得解．解：因为在105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27所以成绩优秀的人数为105×2非优秀人数为105﹣30＝75，所以c＝30﹣10＝20，b＝75﹣30＝45，A错，B正确；因为χ2≈6.109＞3.841＝x0.05，所以依据α＝0.05的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”，故C正确，D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．（多选）10．（6分）（2025•内蒙古二模）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝10，且an+2＝an+1•an2，若记数列{an}的前n项的积为Tn．bn＝lg（an•an+1），{bn}的前n项和为SA．数列{bn}是等比数列 B．SnC．当n为奇数时，TnD．当n为偶数时，T【考点】数列求和的其他方法；数列递推式；等比数列的概念与判定．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【正确答案】ABD【分析】由已知条件可得an＞0，an+1an+2＝（an•an+1）2，两边取常用对数，结合等比数列的定义、通项公式和求和公式，可得Sn，bn，讨论n为偶数和奇数，求得Tn，可得结论．解：数列{an}满足a1＝1，a2＝10，且an+2＝an+1•an可得an＞0，an+1an+2＝（an•an+1）2，即有lg（an+1an+2）＝2lg（an•an+1），由bn＝lg（an•an+1），可得bn+1＝2bn，即有数列{bn}是首项为lg（a1a2）＝1，公比为2的等比数列，可得Sn=1−2n1−2=2n由bn＝lg（an•an+1）＝2n﹣1，可得anan+1=102n−1，当n为偶数时，Tn＝（a1a2）...（an﹣1an）＝10×104×10当n为奇数时，Tn＝a1（a2a3）...（an﹣1an）＝1×102×108×...×102n−2=故选：ABD．【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式与求和公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．（多选）11．（6分）（2025•辽宁模拟）已知函数f（x）＝x3﹣6x2+ax+b（a，b∈R），则下列选项正确的有（）A．f（x）的图象关于点（2，f（2））中心对称 B．若不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜4且x≠1}，则x＝3是f（x）的极小值点 C．若不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜4且x≠1}，则当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） D．若不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞m且x≠n}，n﹣m＝6，则f（x）的极大值为32【考点】利用导数求解函数的极值．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．【正确答案】ABD【分析】直接利用导数，对函数进行求导再结合三次函数的性质求解即可判断．解：对于A，f（x）＝x3﹣6x2+ax+b＝（x﹣2）3+（a﹣12）（x﹣2）+b+8﹣2a，所以f（x）+f（4﹣x）＝2b+16﹣4a，所以f（x）的图像关于点（2，f（2））中心对称，故A正确；对于B，由题意不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜4且x≠1}，可得f（x）＝x3﹣6x2+ax+b＝（x﹣4）（x﹣1）2＝x3﹣6x2+9x﹣4，所以f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），所以当x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）时，f'（x）＞0，当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，所以x＝3是f（x）的极小值点，故B正确；对于C，由不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜4且x≠1}结合B选项可知，f（x）在（0，1）上单调递增，因为0＜x2＜x＜1，所以f（x2）＜f（x），故C错误；对于D，由题意不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞m且x≠n}，n﹣m＝6，可得f（x）＝x3﹣6x2+ax+b＝（x﹣m）（x﹣n）2＝x3﹣（2n+m）x2+（n2+2mn）x﹣mn2，即2n+m所以f（x）＝x3﹣6x2+4x+32，所以f′（x）＝3x2﹣，12x+4，令f'（x）＝0，解得x＝2±2可得f（x）在（﹣∞，2−263），（2+26所以当x＝2−263时，f所以f（2−263）＝32，所以f（x故选：ABD．【点评】本题考查了函数的性质、导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养，是中档题．三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（5分）（2020•全国）（x﹣3）（x﹣32）（x﹣33）（x﹣34）的展开式中x3的系数为﹣120．（用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题；对应思想；定义法；二项式定理；运算求解．【正确答案】﹣120．【分析】先观察展开式中x3的特点，再求解即可．解：（x﹣3）（x﹣32）（x﹣33）（x﹣34）的展开式中x3可看作：（x﹣3），（x﹣32），（x﹣33），（x﹣34）中取3次x，取1次常数相乘得到，∴展开式中x3的系数为﹣3﹣32﹣33﹣34＝﹣3﹣9﹣27﹣81＝﹣120，故﹣120．【点评】本题主要考查二项展开式中特定项系数的运算，属于中档题．13．（5分）（2023秋•赛罕区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝2，圆C2：(x−17)2+(y−17【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】3x【分析】求得两圆的圆心与半径，设直线l的方程为y＝kx+b，直线l与圆C1，C2的切点分别为A，B，连接C1C2，AC1，BC2，利用已知可求得k，b，可求直线l的方程．解：由圆的方程可知，圆C1的圆心为C1（0，0），半径r1圆C2的圆心为C2(17，17)，半径r2=22，则kC由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+b，直线l与圆C1，C2的切点分别为A，B，连接C1C2，AC1，BC2，过C1作C1D∥AB交BC2于D，如图所示．∵直线l为圆C2的切线，∴BC2⊥AB．又C1D∥AB，∴C1D⊥C2D，∴tan∠∴k＝tan（∠C2Cx﹣∠DC1C2）＝tan（45°﹣∠DC1C2）=1−∴直线l的方程为y=35x+b，即3又直线l与圆C1相切，∴|5b|34=又直线l过第四象限，∴b=−∴直线l的方程为3x故3x【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查公切线方程的求法，考查运算求解能力，属中档题．14．（5分）（2025•福建模拟）已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为α，则当圆锥的内切球体积最大时，α＝2(2−1)【考点】球的体积．【专题】函数思想；转化思想；综合法；球；运算求解．【正确答案】2(2【分析】利用等面积法求出内切球半径，再结合基本不等式找到内切球半径最大时的取等条件，再利用圆心角公式求解即可．解：设扇形面积为S，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则高为h=l因为圆锥的内切球的半径R即为轴截面的内切圆的半径，根据等面积法可得12而轴截面面积为12×2r又圆锥侧面S=12且记Sπ=p为定值，故rl＝p，即l=pr因为R=(2由基本不等式得3p而3p即R2≤(2−1)设圆锥的内切球体积为V，而由球的体积公式得V=由幂函数性质得当圆锥的内切球体积最大时，圆锥的内切球半径R最大，而p+r2当R最大时，由弧长公式得α=故2(2【点评】本题考查圆锥的内切球问题的求解，函数思想的应用，属难题．四．解答题（共5小题，满分77分）15．（13分）（2024秋•无锡期末）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2．（1）若f（x）在x＝2处有极小值，求f（x）的单调递增区间；（2）若函数y＝f（x）的图像与直线y＝﹣x+c相切，求实数c的值．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】综合题；对应思想；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）(−∞，2（2）±2．【分析】（1）由题意，对函数f（x）进行求导，根据f′（2）＝0，求出c的值，代入验证即可；（2）f（x）与y＝﹣x+c切于P(x0，x0(x0解：（1）易知f（x）的定义域为R，可得f′（x）＝（x﹣c）2+2（x﹣c）x＝（x﹣c）（3x﹣c），因为f（x）在x＝2处有极小值，所以f′（2）＝（2﹣c）（6﹣c）＝0，解得c＝2或c＝6，当c＝2时，f′（x）＝（x﹣2）（3x﹣2），当x＜23时，f′（x）＞0，f（当23＜x＜2时，f′（x）＜0，f（当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝2上有极小值，符合条件；当c＝6时，经检验f（x）在x＝2处有极大值了，不符合条件，综上所述，f（x）的单调增区间为(−∞，2（2）设f（x）与y＝﹣x+c切于P(此时k＝（x0﹣c）（3x0﹣c），所以切线方程为y=(因为该切线与y＝﹣x+c重合，所以(x两式相除得（2x0﹣c）（x0﹣c）＝0，解得x0=c2或x所以−c解得c＝±2．则实数c的值为±2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．16．（15分）（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知数列{an}的首项a1=12，且（1）证明：数列{2n•an}是等差数列，并求出{an}的通项公式；（2）记cm为数列{bn}中能使bn≥12m+1(m∈【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．【正确答案】（1）证明见解析，an（2）c1=12，【分析】（1）借助等差数列的定义即可证明，由等差数列的性质可得{an}的通项公式；（2）求出bn后，根据规律找到满足条件能使bn≥1证明：（1）由an+1=又21故数列{2n•an}是以1为首项，2为公差的等差数列，有2n•an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，则an解：（2）由an=2令12n≥12若m＝1，则n≤1，即c1若2≤m≤3，则n≤2，即cm故有c1若4≤m≤7，则n≤3，即cm若8≤m≤15，则n≤4，即cm若1024≤m≤2047，则n≤11，即cm由1024≤m≤2023时，共1000个数，故数列{cm}的前2023项和为：1=1【点评】本题考查了等差数列的证明和数列的求和，属于中档题．17．（15分）（2024秋•北京校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，PD＝AD＝2．M，N分别为AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：AB⊥平面PAD；（3）在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面PBC所成角为π6．若存在，确定点E【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面平行；直线与平面垂直．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，点E为PA中点．【分析】（1）取PD的中点Q，利用平行公理、线面平行的判定推理即得．（2）取PA的中点F，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证．（3）由（2）可得直线DA，DC，DP两两垂直，以D为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可．解：（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，取PD的中点Q，连接AQ，NQ，由M，N分别为AB，PC的中点，NQ∥又四边形ABCD是菱形，则AM∥于是四边形AMNQ是平行四边形，MN∥AQ，而AQ⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD．（2）证明：取PA的中点F，连接DF，由PD＝AD＝2，得DF⊥PA，又平面PAB⊥平面PAD，平面PAB∩平面PAD＝PA，DF⊂平面PAD，则DF⊥平面PAB，而AB⊂平面PAB，于是DF⊥AB，由PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，得PD⊥AB，又PD∩DF＝D，PD，DF⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．（3）由（2）知，AB⊥AD，又四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD是正方形，直线DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，2，0），假定在棱PA上存在一点E，满足条件，令AE→DE→=DA设平面PBC的一个法向量n→则n→⊥CB取y＝1，得n→则直线DE与平面PBC所成角正弦值为|cos解得λ=12，所以在棱PA上存在一点E，使得直线DE与平面PBC所成角为π6，点【点评】本题考查线面位置关系的判定，以及向量法的应用，属于中档题．18．（17分）（2024春•平定县校级期中）设O为坐标原点，定义非零向量OM→=(a，b)的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），向量OM→=(a，b)称为函数（1）设函数h(x)=2sin(π（2）记OM→=(0，2)的“相伴函数”为f（x），若函数g(x)=f(x)+23|sinx（3）已知点M（a，b）满足3a2﹣4ab+b2＜0，向量OM→的“相伴函数”f（x）在x＝x0处取得最大值．当点M运动时，求tan2x0【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】（1）OM→（2）（1，3）；（3）（34【分析】（1）由两角和差的三角函数公式可得h(x)=−12sinx（2）根据题意可得f（x）＝2