【高考押题】2025届高考数学模拟预测卷五新高考Ⅰ卷 含答案

/2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅰ）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2024春•凉山州期末）现有甲、乙两组数据，每组数据均由五个数组成，其中甲组数据的平均数为1，方差为3，乙组数据的平均数为3，方差为1．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．32．（5分）（2025•南开区一模）设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)A．62 B．213 C．133．（5分）（2023秋•蓟州区校级月考）下列命题正确的个数为（）①长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，则异面直线AD1与BD所成角的余弦值为10②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则命题p的否定：∀x∈R，x2③若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“em＜en”的充分不必要条件④已知∠BAC=5π6，AB=3，AC=2A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）（2022•林州市校级开学）已知sin(α+A．235 B．−235 5．（5分）（2025•厦门模拟）以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周得到的几何体的体积为（）A．π B．π2 C．π3 6．（5分）（2024秋•广东月考）已知函数f（x+2）为奇函数，则（）A．f（0）＝0 B．f（﹣2）＝0 C．f（0）+f（4）＝0 D．f（1）＝f（3）7．（5分）（2024春•闵行区校级期末）设实数x∈(0，①存在x，使得sinx，cosx，tanx，cotx按某种顺序可组成等差数列；②存在x，使得sinx，cosx，tanx，cotx按某种顺序可组成等比数列．则（）A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题8．（5分）若复数z满足zz+（1﹣2i）z+（1+2i）z+1＝0，则|A．[5−2，5+2] B．[0，2] C．[2，22] D．[2，3二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）（多选）9．（6分）（2024•固始县一模）已知f(A．若f（x）的最小正周期为π，则f（x）的对称中心为(−πB．若f（x）在区间[0，π4]上单调递增，则ωC．若f（x0）＝1，则cos(D．若f（x）在区间[0，π]上恰好有三个极值点，则ω的取值范围为[（多选）10．（6分）（2024•海安市开学）设函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）不恒为0，下列结论正确的是（）A．若f（x）具有奇偶性，则满足f（x）＝p（x）+q（x）的奇函数p（x）与偶函数q（x）中恰有一个为常函数，其函数值为0 B．若f（x）不具有奇偶性，则满足f（x）＝p（x）+q（x）奇函数p（x）与偶函数q（x）不存在 C．若f（x）为奇函数，则满足f（x）＝p（x）q（x）的奇函数p（x）与偶函数q（x）存在无数对 D．若f（x）为偶函数，则满足f（x）＝q（p（x））的奇函数p（x）与偶函数q（x）存在无数对（多选）11．（6分）（2025•安顺模拟）已知a∈Q，n∈N*，定义运算an=a(a−1)(a−2)⋯(a−nA．56B．100C．∀a∈Q，n∈N*，−aD．5三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（5分）（2024秋•河东区期中）已知函数f(x)=2x2+3，13．（5分）（2025•长安区三模）已知抛物线C：y2＝4x，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α＝45°时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为．14．（5分）（2022春•宝鸡期末）甲、乙两人做下列4个游戏：①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜．②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球．③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜．④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．在上述4个游戏中，不公平的游戏是．四．解答题（共5小题，满分77分）15．（13分）（2024春•城中区校级月考）三角形三内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3b（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积等于3，D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AC边的长．16．（15分）（2023秋•重庆月考）如图甲，在矩形ABCD中，AB=2AD=22，E为线段DC的中点，△ADE沿直线AE折起，使得DC=（1）求证：DO⊥OC；（2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成角的余弦值为357？若不存在，说明理由；若存在，求出AH17．（15分）（2024•陕西模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，过右焦点的直线l与椭圆C交于（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l的斜率存在且不为0，点M，N在x轴上的射影分别为P，Q，且R（4，y0），N，P三点共线，设△RMN与△RPQ的面积分别为S1，S2，试判断S118．（17分）（2025•福建模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣alnx+e．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，l不过原点，且l在坐标轴上的截距相等，求a的值；（2）当a＞0时，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．19．（17分）（2023秋•东城区校级期中）已知{an}是无穷数列，a1＝a，a2＝b，且对于{an}中任意两项ai，aj（i＜j），在{an}中都存在一项ak（j＜k＜2j），使得ak＝2aj﹣ai．（Ⅰ）若a＝3，b＝5，求a3；（Ⅱ）若a＝b＝0，求证：数列{an}中有无穷多项为0；（Ⅲ）若a＜b，求数列{an}的通项公式．

2025届高考数学模拟预测卷（新高考Ⅰ）答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2024春•凉山州期末）现有甲、乙两组数据，每组数据均由五个数组成，其中甲组数据的平均数为1，方差为3，乙组数据的平均数为3，方差为1．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【考点】方差．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】D【分析】根据题意，利用分层抽样中数据方差的计算公式求解即可．解：因为甲组5个数据的平均数为1，方差为3，乙组5个数据的平均数为3，方差为1，所以两组数据混合后，新数据的平均数为：1×5+3×510所以新数据的方差为：510故选：D．【点评】本题主要考查了平均数和方差的定义，属于基础题．2．（5分）（2025•南开区一模）设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)A．62 B．213 C．13【考点】双曲线的离心率．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【正确答案】C【分析】根据题意画出图形，设点P在第一象限，根据已知条件得到点P在以原点为圆心，c为半径的圆上，联立x2+y2=c2y=bax，解得P（解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，|OP因为|OP|＝|OF|，所以点P在以原点为圆心，c为半径的圆上．x2+y2=c2又因为A2（a，0），所以∠P在RT△PA1A2中，|PA2|＝b，|A1A2|＝2a，∠A所以tan∠A1所以4a2=13b2，4即e2=c故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．3．（5分）（2023秋•蓟州区校级月考）下列命题正确的个数为（）①长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，则异面直线AD1与BD所成角的余弦值为10②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则命题p的否定：∀x∈R，x2③若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“em＜en”的充分不必要条件④已知∠BAC=5π6，AB=3，AC=2A．0 B．1 C．2 D．3【考点】平面向量数量积的性质及其运算；异面直线及其所成的角；充分不必要条件的判断；求存在量词命题的否定．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；空间角；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．【正确答案】D【分析】利用异面直线夹角的定义求解可判定①；利用特称量词命题的否定的定义可判定②；利用指数函数、对数函数的性质求解可判定③；利用向量的数量积运算律求解可判定④．解：对①，如图，连接BD，B1D1，AD1，AB1，因为BD∥B1D1，所以∠AD1B1为异面直线AD1与BD所成角，因为AB1=取B1D1中点为O，连接AO，则AO⊥B1D1，所以cos∠对②，命题p：∃x0∈对③，lnm＜lnn等价于0＜m＜n，em＜en等价于m＜n，所以“lnm＜lnn”是“em＜en”的充分不必要条件，故③正确；对④，因为BP→所以AP→所以AP=(λ=9(λ＝21λ﹣9+18λ﹣9＝﹣5，解得λ=所以，正确命题的个数为3个．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查特称量词命题的否定形式，考查充要条件的判定及平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．4．（5分）（2022•林州市校级开学）已知sin(α+A．235 B．−235 【考点】两角和与差的三角函数．【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．【正确答案】C【分析】由已知可得sin（α+π6）=解：∵sin(∴sinαcosπ∴3(32sinα+∴cos(α−π3)=cos（故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和与差的三角函数，是基础题．5．（5分）（2025•厦门模拟）以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周得到的几何体的体积为（）A．π B．π2 C．π3 【考点】棱锥的体积．【专题】计算题；整体思想；立体几何；运算求解．【正确答案】D【分析】由题可得旋转后对应几何体为两个同底的圆锥，结合题目数据可得相应体积．解：如图，根据题目：边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，正三角形绕AB所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，圆锥的底面半径为r=OC=32故选：D．【点评】本题考查棱锥的体积，属于中档题．6．（5分）（2024秋•广东月考）已知函数f（x+2）为奇函数，则（）A．f（0）＝0 B．f（﹣2）＝0 C．f（0）+f（4）＝0 D．f（1）＝f（3）【考点】奇函数偶函数的判断．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象；运算求解．【正确答案】C【分析】根据函数的奇偶性求值即可．解：由f（x+2）为奇函数知，f（x）的图象关于（2，0）对称，所以f（x+2）+f（2﹣x）＝0，则f（0）+f（4）＝0，C正确，设f（x+2）＝x，则f（﹣2）＝﹣4，f（0）＝﹣2，f（1）＝﹣1，f（3）＝1，ABD显然错误，故选：C．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．7．（5分）（2024春•闵行区校级期末）设实数x∈(0，①存在x，使得sinx，cosx，tanx，cotx按某种顺序可组成等差数列；②存在x，使得sinx，cosx，tanx，cotx按某种顺序可组成等比数列．则（）A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题【考点】等差数列的性质；等比数列的性质；命题的真假判断与应用．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；三角函数的求值；运算求解．【正确答案】D【分析】根据等差数列、等比数列的定义结合同角三角函数的基本关系，三角恒等变换即可求解．解：假设角x与单位圆的交点为（a，b），∵x∈(0，π4)，∴0＜则根据三角函数的定义可知sinx＝b，cosx＝a，tanx=ba∴sinx，cosx，tanx，cotx中sinx最小，cotx最大，若成等差数列，则sinx+cotx＝cosx+tanx，即sin2xcosx+cos2x＝sinxcos2x+sin2x，即sinxcosx＝sinx+cosx，∵x∈(0，π4)，∴∴sinx+而sinxcosx＜1，故sinxcosx＝sinx+cosx不成立，∴sinx，cosx，tanx，cotx不可能按某种顺序组成等差数列；若成等比数列，则sinxcotx＝cosxtanx，即cosx＝sinx，∵x∈(0，∴sinx，cosx，tanx，cotx不可能按某种顺序组成等比数列．故选：D．【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题．8．（5分）若复数z满足zz+（1﹣2i）z+（1+2i）z+1＝0，则|A．[5−2，5+2] B．[0，2] C．[2，22] D．[2，3【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；数形结合法；定义法；转化法；直线与圆；数系的扩充和复数；逻辑思维；直观想象；运算求解．【正确答案】A【分析】由题意可设z＝a+bi（a，b∈R），则z=a﹣bi，根据条件展开化简可得a²+2a+1+b²+4b＝0，得出（a，b）在圆心为（﹣1，﹣2），半径为2的圆上，又|z+2|=(a+2)作出图象，即可得出答案．解：由题意可设z＝a+bi（a，b∈R），则z=a﹣bi∵zz+（1﹣2i）z+（1+2i）z∴（a+bi）（a﹣bi）+（1﹣2i）（a+bi）+（1+2i）（a﹣bi）+1＝0，即a²+b²+a+2b﹣2ai+bi+a+2b﹣bi+2ai+1＝0，∴（a+1）²+（b+2）²＝4，可得（a，b）在圆心为（﹣1，﹣2），半径为2的圆上，又|z+2|＝|a+bi+2|=(a+2)2图象可知|z+2|min=(−1+2)2|z+2|max=(−1+2)2故|z+2|的取值范围是[5−2，5故选：A．【点评】本题考查复数的四则运算，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）（多选）9．（6分）（2024•固始县一模）已知f(A．若f（x）的最小正周期为π，则f（x）的对称中心为(−πB．若f（x）在区间[0，π4]上单调递增，则ωC．若f（x0）＝1，则cos(D．若f（x）在区间[0，π]上恰好有三个极值点，则ω的取值范围为[【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【正确答案】BD【分析】由题意得f(x)=2sin(ωx+π6)，根据T=2π|ω|求出ω，根据整体代换法求出f（x）的对称中心，即可判断出A的真假；由解：因为f（x）=3sinωx+cosωx＝2sin（ωx+A中，若f（x）的最小正周期为π，由T=2π所以f(x)=2sin(2所以f（x）的对称中心为(−π12+B中，因为x∈[0，π4]，可得ωx+π6∈[π6，因为f（x）在区间[0，π可得[π6，π4ω+π即ω＞0π4ω即实数ω的取值范围为(0，43]C中，若f（x0）＝1，则2sin(ω所以cos(ωxD中，由0≤x≤π，得π6≤ωx+π6≤所以5π2≤ωπ+π6＜7故选：BD．【点评】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．（多选）10．（6分）（2024•海安市开学）设函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）不恒为0，下列结论正确的是（）A．若f（x）具有奇偶性，则满足f（x）＝p（x）+q（x）的奇函数p（x）与偶函数q（x）中恰有一个为常函数，其函数值为0 B．若f（x）不具有奇偶性，则满足f（x）＝p（x）+q（x）奇函数p（x）与偶函数q（x）不存在 C．若f（x）为奇函数，则满足f（x）＝p（x）q（x）的奇函数p（x）与偶函数q（x）存在无数对 D．若f（x）为偶函数，则满足f（x）＝q（p（x））的奇函数p（x）与偶函数q（x）存在无数对【考点】抽象函数的奇偶性．【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】ACD【分析】利用奇偶性的定义即可判断A选项；通过举例f（x）＝x2+x，即可判断B选项；通过构造p(x)=1n+1f(x通过构造p（x）=x12n+1，q（x）＝f（x2解：对于A，f（x）＝p（x）+q（x），则f（﹣x）＝p（﹣x）+q（﹣x）＝﹣p（x）+q（x），当f（x）为奇函数时，则f（x）+f（﹣x）＝2q（x）＝0，即q（x）＝0；当f（x）为偶函数时，则f（x）﹣f（﹣x）＝2p（x）＝0，即p（x）＝0，即满足f（x）＝p（x）+q（x）的奇函数p（x）与偶函数q（x）中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A正确；对于B，当f（x）＝x2+x，p（x）＝x，q（x）＝x2时，f（x）不具有奇偶性，满足f（x）＝p（x）+q（x）的奇函数p（x）与偶函数q（x）存在，故B错误；对于C，f（x）为奇函数时，令奇函数p(x)=1n+1f(x)，n∈N，偶函数则p（x）q（x）＝f（x），因为n∈N，故存在无数对奇函数p（x）与偶函数q（x），满足f（x）＝p（x）q（x），故C正确；对于D，f（x）为偶函数，令奇函数p（x）=x12n+1，n∈N，偶函数q（x）＝f（x2n+1则q（p（x））＝q（x12n+1）＝因为n∈N，故存在无数对奇函数p（x）与偶函数q（x），满足f（x）＝q（p（x））．故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性，难点是对C，D选中函数p（x）、q（x）的构造，属于中档题．（多选）11．（6分）（2025•安顺模拟）已知a∈Q，n∈N*，定义运算an=a(a−1)(a−2)⋯(a−nA．56B．100C．∀a∈Q，n∈N*，−aD．5【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解；新定义类．【正确答案】ACD【分析】由已知运用定义计算即可判断A；令x＝1，a＝10，由已知可判断B；由已知将−an根据公式变形即可求解根据公式利用放缩法即可求解．解：根据题意可知，56=5×4×⋯×(5−6+1)当n∈N*，且n≥11时，10n所以100令x＝1，a＝10，则由(1+x可得100+10因为an所以−=(−1)n((1+1从而1655=33，即533故选：ACD．【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题．三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（5分）（2024秋•河东区期中）已知函数f(x)=2x2+3，【考点】函数的值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】21．【分析】由题意，利用分段函数的解析式，先求出f（﹣1）的值，可得要求式子的值．解：∵函数f(x)=则f[f（﹣1）]＝f（3）＝2×32+3＝21，故21．【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值，属于基础题．13．（5分）（2025•长安区三模）已知抛物线C：y2＝4x，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α＝45°时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为8．【考点】直线与抛物线的综合．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】8．【分析】由题意，设出直线AC的方程，将直线方程与抛物线方程联立，求出A，C的横坐标，结合抛物线的定义和对称性即可求解．解：易知抛物线C的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，因为直线AC的倾斜角α＝45°，所以直线AC的方程为y＝x﹣1，联立y2=4xy=x−1，消去解得x=3±2取xA=3+22因为|AF|=x由抛物线的对称性以及AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，可得|DF|=x所以S△由抛物线对称性可得“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为2S△AFB＝2×4＝8．故8．【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．14．（5分）（2022春•宝鸡期末）甲、乙两人做下列4个游戏：①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜．②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球．③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜．④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．在上述4个游戏中，不公平的游戏是④．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；逻辑思维．【正确答案】④【分析】根据题意，依次算出随机事件的概率即可．解：①抛一枚骰子，向上的点数为奇数的概率＝向上的点数为偶数的概率=12，故②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球．属于随机抽样，概率都相等，故B公平，③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的概率＝黑色的概率=12，故④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为12，两枚都是正面向上的概率为14，故故④．【点评】本题考查了随机事件的概率相关知识，属于基础题．四．解答题（共5小题，满分77分）15．（13分）（2024春•城中区校级月考）三角形三内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3b（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积等于3，D为BC边的中点，当中线AD的长最短时，求AC边的长．【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【正确答案】（1）B=2π【分析】（1）由正弦定理以及条件边化角得3sinB（2）先由面积公式S△ABC=12acsinB得ac＝4，再在△解：（1）在△ABC中，由正弦定理得，3sinBsinA因为A∈（0，π），sinA≠0，所以3sinB所以3sinB+cosB又B∈（0，π），则B+所以B=（2）由（1）得S△ABC=在△ABD中，由余弦定理可得：AD当且仅当c=a2，即a此时AC故AC=【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．16．（15分）（2023秋•重庆月考）如图甲，在矩形ABCD中，AB=2AD=22，E为线段DC的中点，△ADE沿直线AE折起，使得DC=（1）求证：DO⊥OC；（2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成角的余弦值为357？若不存在，说明理由；若存在，求出AH【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【正确答案】（1）证明见解答；（2）22【分析】（1）利用余弦定理得出OC的长度，利用勾股定理得出DC2＝DO2+OC2，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面DHC和平面ADE的法向量，利用向量法求解即可．解：（1）证明：取线段AE的中点O，连接DO，OC，在Rt△ADE中，DA=所以DO⊥AE，DO＝1，在△OEC中，OE=由余弦定理可得OCOC=在△DOC中，DC2＝6＝DO2+OC2，所以DO⊥OC；（2）因为DO⊥AE，DO⊥OC，AE∩OC＝O，DO、AEC⊂平面ABCE，∠AEB＝90°，所以DO⊥平面ABCE，过E作DO的平行线l，以E为原点，EA，EB，l所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（1，0，1），C（﹣1，1，0），A（2，0，0），B（0，2，0），平面ADE的法向量n1在平面直角坐标系xOy中，直线AB的方程为x+y＝2，设H的坐标为（t，2﹣t，0），t∈[0，2]，则HC→=(−t设平面DHC的法向量为n2n2⋅HC所以（﹣t﹣1）x+（t﹣1）y＝0，﹣2x+y﹣z＝0，令y＝1+t，则x＝t﹣1，z＝3﹣t，n2由已知cos＜解得t=所以H(32所以|AH【点评】本题考查线线垂直的判定以及向量法求二面角的应用，属于中档题．17．（15分）（2024•陕西模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，过右焦点的直线l与椭圆C交于（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l的斜率存在且不为0，点M，N在x轴上的射影分别为P，Q，且R（4，y0），N，P三点共线，设△RMN与△RPQ的面积分别为S1，S2，试判断S1【考点】直线与椭圆的综合．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）x2（2）是定值，且定值为1．【分析】（1）根据离心率以及通径的长度即可联立求解a，b，c的值，（2）联立直线方程和椭圆方程得韦达定理，进而根据斜率公式可证明Q，M，R三点共线，根据NQ∥PM，所以S△PQM＝S△PMN，进而可证明S1解：（1）不妨设椭圆C的半焦距为c（c＞0），因为椭圆C的离心率为22所以e=整理得b2联立x2解得y=±即|MN联立①②，解得a=2则椭圆C的方程为x2（2）易知椭圆的右焦点为（2，0），不妨设直线l的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立y=k(x−2)x2+2y2=8，消去y并整理得（1+2k2由韦达定理得x1因为MP⊥x轴，所以P（x1，0），此时直线NP的方程为y=令x＝4，解得y=y即R(4，因为NQ⊥x轴，所以Q（x2，0）．因为kMQ所以k=k=16则Q，M，R三点共线．因为NQ∥PM，所以S△PQM＝S△PMN，又S△PMR＝S△PMR，所以△RMN与△RPQ的面积相同，则S1故S1．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．18．（17分）（2025•福建模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣alnx+e．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，l不过原点，且l在坐标轴上的截距相等，求a的值；（2）当a＞0时，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）2；（2）（0，2e]．【分析】（1）求出f（x）的导函数，由已知可得f′（1）＝﹣1，由此可得a的值；（2）令g（x）＝xlnx+e，利用导数求出g（x）的最小值＞0，当0＜x≤1时，可得f（x）＞0恒成立，当x＞1时，参变量分离可得a≤xlnx+elnx，令h(x)=解：（1）由f′(又由切线l在坐标轴上的截距相等，l不过原点，可得f'（1）＝1﹣a＝﹣1，故a＝2；（2）令g（x）＝xlnx