【江苏专用 真题汇编】导数及其应用考前专题特训2025年高考数学 含答案

/【江苏省各地区真题试卷汇编】导数及其应用考前专题特训-2025年高考数学一．选择题（共8小题）1．（2025春•常州期中）曲线f（x）＝（x+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为（）A．﹣1 B．−12 C．12．（2025•武进区校级一模）已知a＞e，b＞e，且a（1+lnb）＝（1+eb）lna，其中e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）A．lna﹣lnb＜1 B．ae＜b C．ab＜e3 D．2lna+2lnb＞63．（2025春•江苏校级期中）已知函数f（x）＝lnx﹣x，则f′（1）＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣24．（2024•宿迁模拟）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（）A．函数y＝f（x）•ex的最大值为1 B．函数y＝f（x）•ex的最小值为1 C．函数y=fD．函数y=5．（2025春•无锡校级月考）已知函数f(x)=A．−1e B．e2 C．e 6．（2025春•苏州校级月考）如图，直线y＝kx+m与曲线y＝f（x）相切于两点，则函数g（x）＝f（x）﹣kx在（0，+∞）上的极大值点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．（2025•江苏校级模拟）我们解不等式lnx＞12时，可以采用如下方法：lnx＞12等价于elnx＞e12=eA．0 B．1 C．e1e 8．（2025•江苏三模）已知函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（x0）（b﹣a），其中x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的“中值点”．则函数f（x）＝x3﹣2x在区间[﹣1，1]上的“中值点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025春•常州期中）已知函数f（x）＝lnx﹣ax的两个零点分别为x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）A．0＜aB．e＜C．存在实数a，使得x1D．若a=x（多选）10．（2025春•江苏校级期中）如下图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）在区间[﹣2，﹣1]上单调递增 B．x＝﹣1是f（x）的极小值点 C．f（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，在区间[2，4]上单调递减 D．f（x）在x＝1处取最大值（多选）11．（2024秋•连云港期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)=120t+5+15，其中TA．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12℃ B．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为﹣2.4℃/min C．当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻t三．填空题（共3小题）12．（2025春•常州期中）设函数f（x）＝sinx+ex﹣e﹣x﹣x+3，则满足f（x）+f（3﹣2x）＜6的x的取值范围是．13．（2024秋•邳州市月考）设函数f（x）=ax2−3x+bex，a，b均为正整数，若f14．（2025春•高邮市期中）设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数y＝f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x＝x0，则称（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f（x）图象的对称中心．若函数f(x)=x3四．解答题（共5小题）15．（2025春•南京期中）已知函数f（x）＝x﹣2lnx，g（x）=ax−（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．16．（2025•武进区校级一模）已知函数f(（1）当a＝1时，求y＝f（x）的单调减区间；（2）若0＜a≤13，x∈[（3）若x＞1，恒有f(x)≥217．（2025春•江苏校级期中）已知函数f（x）＝sinx﹣xcosx+ax，x∈（0，π）．（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点(π（2）若f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a＝﹣1，判断f（x）在（0，π）上的零点个数并说明理由．18．（2025春•徐州校级月考）已知函数f（x）=32x2−6ax+（1）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣2y﹣1＝0，求a与b的值；（2）若f（x）在x＝1处有极值−52，求a与19．（2024秋•常州期末）已知函数f（x）＝xlnx．（1）若f（x）在区间（a，+∞）上单调，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣bx2有两个不同的零点．（i）求实数b的取值范围；（ii）若（xlnx﹣bx2）（x2﹣cx+d）≤0恒成立，求证：2c

【江苏省各地区真题试卷汇编】导数及其应用考前专题特训-2025年高考数学答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DDACCDDC二．多选题（共3小题）题号91011答案ACDBCABC一．选择题（共8小题）1．（2025春•常州期中）曲线f（x）＝（x+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为（）A．﹣1 B．−12 C．1解：因为函数f（x）＝（x+1）ex，则f′（x）＝ex+（x+1）ex＝（x+2）ex，所以曲线f（x）＝（x+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率k＝f′（0）＝（0+2）e0＝2．故选：D．2．（2025•武进区校级一模）已知a＞e，b＞e，且a（1+lnb）＝（1+eb）lna，其中e为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）A．lna﹣lnb＜1 B．ae＜b C．ab＜e3 D．2lna+2lnb＞6解：由于a＞e，b＞e，因此lna＞1，lnb＞1，又由于a（1+lnb）＝（1+eb）lna，因此alna=1+令函数f(x)=当x＞1时，f′（x）＞0，因此f（x）在（1，+∞）上单调递增，因此lna＞1+lnb，即lna﹣lnb＞1，所以选项A错误；因此lnab＞lne，根据对数函数的单调性得ab＞e，即a＞eb，因此ae＞e由于b＞e，结合a＞eb，可得ab＞eb2＞e3，所以选项C错误；由于a＞eb＞e2，所以2lna+2故选：D．3．（2025春•江苏校级期中）已知函数f（x）＝lnx﹣x，则f′（1）＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2解：由已知可得f′(所以f′(1)=故选：A．4．（2024•宿迁模拟）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（）A．函数y＝f（x）•ex的最大值为1 B．函数y＝f（x）•ex的最小值为1 C．函数y=fD．函数y=解：由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y＝f′（x），实线部分为y＝f（x），则A，B显然错误，对于C，D而言，y′=f′(x)ex−f(x)故选：C．5．（2025春•无锡校级月考）已知函数f(x)=A．−1e B．e2 C．e 解：由已知可得f′（x）＝ex﹣ax，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥0即a≤设h(x)=e当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）＝e，∴a≤e，即a的最大值为e．故选：C．6．（2025春•苏州校级月考）如图，直线y＝kx+m与曲线y＝f（x）相切于两点，则函数g（x）＝f（x）﹣kx在（0，+∞）上的极大值点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3解：由题，g（x）＝f（x）﹣kx，则g′（x）＝f′（x）﹣k，作出与直线y＝kx+m平行的函数f（x）的所有切线，如图，各切线与函数f（x）的切点的横坐标依次为a，b，c，d，e，则f（x）在a，b，c，d，e，处的导数都等于k，所以在（0，a），（b，c），（d，e）上，f′（x）＞k，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（a，b），（c，d），（e，+∞）上，f'（x）＜k，g′（x）＜0，g（x）单调递减，因此函数g（x）＝f（x）﹣kx有三个极大值点，有两个极小值点．故选：D．7．（2025•江苏校级模拟）我们解不等式lnx＞12时，可以采用如下方法：lnx＞12等价于elnx＞e12=eA．0 B．1 C．e1e 解：因为函数f（x）＝xx＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，所以令g（x）＝lnf（x）＝xlnx，x∈（0，+∞），则g′（x）＝lnx+1，令g′（x）＝0，可得x＝e﹣1，当x∈（0，e﹣1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（e﹣1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（e﹣1）＝e﹣1lne﹣1＝﹣e﹣1，即lnf（x）的最小值为﹣e﹣1，因为y＝lnx为增函数，所以g（x）min＝ln[f（x）min]＝﹣e﹣1，所以f（x）min=e故选：D．8．（2025•江苏三模）已知函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（x0）（b﹣a），其中x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的“中值点”．则函数f（x）＝x3﹣2x在区间[﹣1，1]上的“中值点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3解：由于函数f（x）＝x3﹣2x，那么导函数f′（x）＝3x2﹣2，且f（﹣1）＝1，f（1）＝﹣1，根据题意可得2f′（x0）＝f（1）﹣f（﹣1）＝﹣2，那么f′(x0所以f（x）＝x3﹣2x在区间[﹣1，1]上的“中值点”的个数为2．故选：C．二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025春•常州期中）已知函数f（x）＝lnx﹣ax的两个零点分别为x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）A．0＜aB．e＜C．存在实数a，使得x1D．若a=x解：对于A，f（x）＝lnx﹣ax＝0，即lnx＝ax，设y＝lnx，y＝ax相切时切点为（x0，y0），则对y＝lnx求导有y′=1x，又切点到原点的斜率与该点处的导数值相等，则1x故切点（e，1），此时a=故当函数f（x）＝lnx﹣ax有两个零点时，0＜a＜1对于B，由图象可得，0＜x1＜e，故B错误；对于C，先证明：当0＜x1＜x2时，x2构造函数g(x)=故g(又x2故g(x2化简可得lnx2−又lnx1﹣ax1＝lnx2﹣ax2＝0，故x2所以1a＜x1+x22，故则lnx1+lnx2＞2，即x1x2对D，由题意，lnx﹣ax＝0即a=lnxx有两根x1，x2且x1＜e＜令t＝lnx2＞1，则a=又a=故t＝x3＝lnx2，ex3=故选：ACD．（多选）10．（2025春•江苏校级期中）如下图是y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）在区间[﹣2，﹣1]上单调递增 B．x＝﹣1是f（x）的极小值点 C．f（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，在区间[2，4]上单调递减 D．f（x）在x＝1处取最大值解：根据f′（x）的图象可知，当﹣2＜x＜﹣1时，导函数f′（x）＜0，当﹣1＜x＜2时，导函数f′（x）＞0，当2＜x＜4时，导函数f′（x）＜0，当4＜x＜5时，导函数f′（x）＞0，因此函数f（x）在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，所以选项A错误；函数f（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，在区间[2，4]上单调递减，[4，5]上单调递增，在x＝﹣1和x＝4处取得极小值，因此选项B、C正确；由于函数f（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，x＝2处取得极大值，在x＝1处的函数值小于在x＝2处的函数值，所以选项D错误．故选：BC．（多选）11．（2024秋•连云港期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)=120t+5+15，其中TA．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12℃ B．从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为﹣2.4℃/min C．当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是﹣1.2℃/min D．蜥蜴体温的瞬时变化率为﹣3℃/min时的时刻t解：根据题意，T(t)=依次分析选项：对于A，当t＝0时，T(0)=1205+15=39，当所以从t＝0到t＝5，蜥蜴的体温下降了39﹣27＝12，故A正确；对于B，从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为T(5)−T(0)对于C，T′(t)=−120(t+5)2，当t＝5时，对于D，令T′(t)=−120(故选：ABC．三．填空题（共3小题）12．（2025春•常州期中）设函数f（x）＝sinx+ex﹣e﹣x﹣x+3，则满足f（x）+f（3﹣2x）＜6的x的取值范围是（3，+∞）．解：f（x）＝sinx+ex﹣e﹣x﹣x+3，由题目条件知：可设h（x）＝f（x）﹣3＝sinx+ex﹣e﹣x﹣x，可以得到h（﹣x）＝﹣h（x），所以h（x）为R上的奇函数，h'（x）＝cosx+ex+e﹣x﹣1≥cosx+2﹣1＝1+cosx≥0，所以h（x）在R上单调递增，又因为f（x）+f（3﹣2x）＜6，所以[f（x）﹣3]+[f（3﹣2x）﹣3]＜0，所以h（x）+h（3﹣2x）＜0，所以h（x）＜﹣h（3﹣2x），又因为h（x）为R上的奇函数，所以h（x）＜h（2x﹣3），又因为h（x）在R上单调递增，∴x＜2x﹣3，有x＞3，故x的取值范围是（3，+∞）．故（3，+∞）13．（2024秋•邳州市月考）设函数f（x）=ax2−3x+bex，a，b均为正整数，若f解：由f（x）=a得f′（x）=(2∵f（x）的极小值点为2，∴x＝2是方程﹣ax2+（2a+3）x﹣b﹣3＝0的一个根，则﹣4a+4a+6﹣b﹣3＝0，得b＝3．由f′（x）＝0，得﹣ax2+（2a+3）x﹣6＝0，解得x＝2或x=3由a为正整数，且3a＞2，可得a＝1，则∵f（x）的极小值点为2，∴f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，∴f（x）的极大值点为3．故3．14．（2025春•高邮市期中）设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数y＝f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x＝x0，则称（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f（x）图象的对称中心．若函数f(x)=x3−3解：因为函数f(则f'（x）＝3x2﹣3x，f''（x）＝6x﹣3，令f''（x）＝0，解得x=12由题意可知，f（x）的拐点为(1故f（x）的对称中心为(1所以f（1﹣x）+f（x）=−1所以f（12025）+f（22025）+f（32025）+⋯+f（20242025）+f（20252025）＝（又f(1)=1−所以f（12025）+f（22025）+f（32025）+⋯+f（20242025）+f（故−1013四．解答题（共5小题）15．（2025春•南京期中）已知函数f（x）＝x﹣2lnx，g（x）=ax−（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．解：（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）＝1−2令f'（x）＞0得x＞2，令f'（x）＜0得0＜x＜2，所以f（x）的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2）．（2）因为x﹣2lnx≥ax−3lnx+3（x＞0），所以ax即a≤x•lnx+x2﹣3x．令h（x）＝x•lnx+x2﹣3x，那么h'（x）＝lnx+2x﹣2，因为h'（x）在（0，+∞）单调递增且h'（1）＝0．所以当0＜x＜1时，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）单调递减；当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增；故当x＝1时，h（x）min＝h（1）＝﹣2．所以a∈（﹣∞，﹣2]．16．（2025•武进区校级一模）已知函数f(（1）当a＝1时，求y＝f（x）的单调减区间；（2）若0＜a≤13，x∈[（3）若x＞1，恒有f(x)≥2解：（1）令2x−1xa＝1时，函数f(导函数f′(令f′（x）＜0，得x∈(0，12)∪(1，32)，因此函数y＝f（2）证明：导函数f′(x)=函数y=(2所以y∈[1，3]，1y≥13，又因为0＜a≤13，因此f′（f(由于e32=从而函数f(（3）导函数f′(x)=当a≤0时，导函数f′（x）＜0，函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，当x→+∞时，ln2x−1a＞0时，根据f′（x）＝0，可得2x记函数g(x)=2那么g（x）＝0有两个实根，一根大于1，一根小于1，大于1的根为x0=3+又因为y＝（2x﹣1）（x﹣1）＝2x2﹣3x+1在（1，+∞）上是增函数，且y＞0，即x＞x0时，(2x−1)(x−1)＞1a，1＜x因此x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，1＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，因此f（x）min＝f（x0），a＝1时，x0=3记函数h(x)=ln2x−1x−1+且h(3所以当0＜a＜1时，x0＞3当a＞1时，x0＜3综上所述，a≥1时，f(x)≥217．（2025春•江苏校级期中）已知函数f（x）＝sinx﹣xcosx+ax，x∈（0，π）．（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点(π（2）若f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a＝﹣1，判断f（x）在（0，π）上的零点个数并说明理由．解：（1）当a＝0时，函数f（x）＝sinx﹣xcosx，那么导函数f′（x）＝xsinx，f′(因此在点(π2，1)处的切线方程为y（2）由于x∈（0，π），且f（0）＝0，根据函数f（x）＝sinx﹣xcosx+ax，得导函数f′（x）＝xsinx+a，当a≥0时，导函数f′（x）＝xsinx+a≥0在（0，π）上恒成立，因此函数f（x）在（0，π）单调递增，f（x）＞f（0）＝0恒成立，当a＜0时，f′（0）＝a＜0，又由于0＜sinx≤1，因此导函数f′（x）＝xsinx+a≤x+a，那么当x∈（0，﹣a）时，导函数f′（x）＝xsinx+a≤x+a＜0，记I＝（0，﹣a）∩（0，π），那么x∈I时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，f（x）＜f（0）＝0，与f（x）＞0恒成立不符，综上所述，f（x）＞0恒成立，a∈[0，+∞）．（3）当a＝﹣1时，函数f（x）＝sinx﹣xcosx﹣x，令函数F（x）＝sinx﹣x，那么F（0）＝0，导函数F′（x）＝cosx﹣1，当x∈(0，π2]时，F′（x）＜0，因此在(0，π2]上，sinx﹣x＜0，xcosx＞0，易得f因此在(0，π2]，f令函数g（x）＝f′（x）＝xsinx﹣1，函数h（x）＝g′（x）＝sinx+xcosx，导函数h′（x）＝2cosx﹣xsinx，当x∈(π2，π)时，导函数h′（x）＝2cosx﹣xsinh(π2)=1，h（π）＝﹣π，因此存在x1∈(π当x∈（x1，π）时，函数h（x）＜0，当x∈(π2，x所以函数g（x）在（x1，π）上单调递减，在(π因此g(x1)＞g因此存在x2∈（x1，π），使得g（x2）＝0，因此当x∈（x2，π）时，g（x）＜0，当x∈(π2，x因此函数f（x）在（x2，π）上单调递减，在(π且f(π2)=1−π2＜0，f（所以在区间(π2，x2)，存在唯一的x0，使得f（