【江苏专用 真题汇编】函数应用考前专题特训2025年高考数学 含答案

/【江苏省各地区真题试卷汇编】函数应用考前专题特训-2025年高考数学一．选择题（共8小题）1．（2025春•广陵区校级期中）下列区间中包含函数y＝x3+3x﹣5的零点的是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（3，4）2．（2025春•南京校级期中）在用二分法求方程lnx+2x﹣4＝0在[1，2]上的近似解时，先构造函数f（x）＝lnx+2x﹣4，再依次计算得f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，f（1.625）＜0，则该近似解所在的区间可以是（）A．（1，1.5） B．（1.5，1.625） C．（1.625，1.75） D．（1.75，2）3．（2024秋•苏州期末）已知函数f(x)=x+1x，g(x)=2x，若存在实数x1，x2，x3（0＜x1＜x2＜x3），使得f（x1）＝g（x2）＝f（x3），则f（xA．2 B．6 C．22 D．4．（2025•徐州校级模拟）已知函数f（x）=|lnx|x，x＞0−exx，xA．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）5．（2025春•南通校级月考）已知函数f（x）＝sinωx+3cosωx−3（ω＞0）在[0，πA．（103，143） B．[103，143] C．[4，1436．（2025春•广陵区校级期中）已知函数f(x)=|logA．f（x）的值域为（﹣1，+∞） B．若g（x）有2个零点，则k＝0或k＝1 C．若g（x）的3个零点分别为：x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1x2x3的取值范围为（2，3） D．若g（x）有1个零点，则k＜0或k＞17．（2025春•高邮市月考）已知函数f(x)=x3+2x2+2120x，x≤0lnxxA．(120，14e) B．8．（2025•江苏三模）已知A(2，1)，B(23，0)，C，D四点均在函数f（A．265 B．263 C．525二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025•金坛区校级二模）设函数f(A．存在实数x0使得f（x0）＝f'（x0） B．方程f（x）＝3有唯一正实数解 C．方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解 D．f（x）＝1有负实数解（多选）10．（2025春•邗江区校级期中）下列说法正确的是（）A．方程ex=8−B．函数f（x）＝x2﹣x﹣6的零点是（3，0），（﹣2，0） C．函数y＝2x﹣x2有两个不同的零点 D．用二分法求函数f（x）＝3x+3x﹣8在区间（1，2）内零点近似值的过程中得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则零点近似值在区间（1.25，1.5）上（多选）11．（2025春•南京校级月考）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将y＝f（x）的图象上所有点向右平移2π3个单位长度，然后横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．若g（xA．y＝f（x）的图象关于(π12B．f（x）在(0，5πC．g(x)≥D．方程f(x)=三．填空题（共3小题）12．（2024秋•常州期末）若函数f（x）＝ax2﹣cosx+a﹣1在（﹣1，1）上恰有一个零点，则实数a的值为．13．（2023春•苏州校级月考）已知函数f(x)=ex−kx，x≥0，kx2−x+1，x14．（2025•江苏校级三模）设函数f(x)=8x+1，#160;x≤0|log6x|，四．解答题（共5小题）15．（2025春•工业园区校级期中）如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成θ角，该铁棒欲通过该直角走廊，求：（1）铁棒长度L（用含θ的表达式表示）；（2）当a＝b＝2米时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值．16．（2025春•盐城期中）设函数f(x，（1）若f（3，y）＝a0+a1y+a2（2）当m＝﹣3时，求f（6，y）展开式中系数最大的项；（3）当m＞0时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足f（n，1）＝mnf（n，t），求证：f(2025，100017．（2023春•江苏校级期中）如图，有一块空地△OAB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°．当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上方便建造景观，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM＝θ，（1）当AM=32（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，求：△OMN面积的最小值．18．（2024秋•阜宁县期末）已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x2+2x+3，函数g（x）=f（1）求函数f（x）的解析式；（2）若不等式g（log2x）﹣klog2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程2g（|lnx|）+6m−7|lnx19．（2024秋•苏州期末）已知函数f（x）＝loga（1﹣x）+mloga（1+x）（a＞0且a≠1）．请从以下两个条件中选择一个作为已知．解答下面的问题．条件①：f（x）+f（﹣x）＝0；条件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（1）求实数m的值；（2）当a＝2时，判断函数g（x）＝f（x）+xm+1在区间（﹣1，0）上的零点个数，并说明理由；（3）已知x∈（0，1），若f（x）＞2，当且仅当x∈(12，n

【江苏省各地区真题试卷汇编】函数应用考前专题特训-2025年高考数学答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CCCADDDB二．多选题（共3小题）题号91011答案ABCADACD一．选择题（共8小题）1．（2025春•广陵区校级期中）下列区间中包含函数y＝x3+3x﹣5的零点的是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（3，4）解：设f（x）＝x3+3x﹣5，则该函数的定义域为R，因为函数y＝x3、y＝3x﹣5在R上均为单调递增函数，所以函数f（x）在R上为单调递增函数，因为f（0）＝﹣5＜0，f（1）＝1+3﹣5＝﹣1＜0，f（2）＝8+6﹣5＝9＞0，则f（1）•f（2）＜0，由零点存在定理可知，函数y＝x3+3x﹣5的零点在区间（1，2）内．故选：C．2．（2025春•南京校级期中）在用二分法求方程lnx+2x﹣4＝0在[1，2]上的近似解时，先构造函数f（x）＝lnx+2x﹣4，再依次计算得f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，f（1.625）＜0，则该近似解所在的区间可以是（）A．（1，1.5） B．（1.5，1.625） C．（1.625，1.75） D．（1.75，2）解：f（x）＝lnx+2x﹣4，且f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＜0，f（1.75）＞0，f（1.625）＜0，则由二分法可得近似解所在的区间为（1.625，1.75）．故选：C．3．（2024秋•苏州期末）已知函数f(x)=x+1x，g(x)=2x，若存在实数x1，x2，x3（0＜x1＜x2＜x3），使得f（x1）＝g（x2）＝f（x3），则f（xA．2 B．6 C．22 D．解：由f(结合对勾函数的性质可知函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减，根据题意可知0＜x1＜1＜x3，根据f（x1）＝f（x3），可得x1所以(x由于0＜x1＜1＜x3，那么x1﹣x3＜0，因此x1x3＝1，由于f（x1）＝g（x2），那么x1因此f=1由于0＜x1＜1，y＝﹣x1，y=因此y=1x1−x1因此f(当且仅当2(1x1因此f（x3﹣x1）+g（x2﹣x1）的最小值为22故选：C．4．（2025•徐州校级模拟）已知函数f（x）=|lnx|x，x＞0−exx，xA．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）解：先证明：y＝ex在x＝0处切线方程为y＝x+1，且整个函数图象都在切线上方．因为y′=所以切线方程为y﹣e0＝1（x﹣0），即为y＝x+1．令u（x）＝ex﹣x﹣1，u′（x）＝ex﹣1，当x＜0时，u′（x）＜0，u（x）单调递减，当x＞0时，u′（x）＞0，u（x）单调递增，所以u（x）≥u（x）min＝u（0）＝0，当且仅当x＝0时取等号．所以ex﹣x﹣1≥0，即ex≥x+1；再证明：y＝lnx在x＝1处切线方程为y＝x﹣1，且整个函数图象都在切线下方．因为y′=所以切线方程为y﹣ln1＝1（x﹣1），即为y＝x﹣1，令v（x）＝lnx﹣（x﹣1），则v′(当0＜x＜1时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，当x＞1时，v′（x）＜0，v（x）单调递增，所以v（x）≤v（x）max＝v（1）＝0，当且仅当x＝1时取等号．即lnx﹣（x﹣1）≤0，即lnx≤x﹣1，根据上述结论，在下面的讨论中可以采用数形结合方式研究函数g(设g（x）＝0，即f(当x＞0时：方程化简为|lnx即|lnx|＝|x﹣k|，即lnx＝x﹣k和lnx＝k﹣x．分情况讨论：当k＞1时，方程|lnx|＝|x﹣k|在x＞0时有3个解；（分别来自lnx＝x﹣k（两个）、lnx＝k﹣x（一个））．当k＝1时，lnx＝x﹣1和lnx＝1﹣x的解都是x＝1．当k＜1时，方程在x＞0时仅有1个解（来自lnx＝k﹣x）．当x＜0时，方程化简为−e即ex＝|x﹣k|，即ex＝x﹣k和ex＝k﹣x．分情况讨论：当k＜﹣1时，方程ex＝x﹣k和ex＝k﹣x各有1个解．当﹣1≤k＜0时，方程ex＝x﹣k无解，ex＝k﹣x有一个解．当0≤k＜1时，方程ex＝x﹣k无解，ex＝k﹣x有1个解．当k≥1时，方程ex＝x﹣k和ex＝k﹣x都没有解．综上，当k＞1，x＞0时，函数g（x）有3个零点；当x＜0时，函数g（x）无零点，此时共有3个零点；当k＜﹣1，x＜0时，函数g（x）有2个零点；当x＞0时，函数g（x）有1个零点，此时总有3个零点；其他区间：g（x）的零点个数不足3个，不符合条件．故选：A．5．（2025春•南通校级月考）已知函数f（x）＝sinωx+3cosωx−3（ω＞0）在[0，πA．（103，143） B．[103，143] C．[4，143解：函数f（x）＝sinωx+3cosωx−3=2sin（函数f（x）＝sinωx+3cosωx−3（ω就是sin（ωx+π3）=32在[0，π2]上有且仅有三个解，则ωx+π∴π3+2π故选：D．6．（2025春•广陵区校级期中）已知函数f(x)=|logA．f（x）的值域为（﹣1，+∞） B．若g（x）有2个零点，则k＝0或k＝1 C．若g（x）的3个零点分别为：x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1x2x3的取值范围为（2，3） D．若g（x）有1个零点，则k＜0或k＞1解：作出函数f(对于A，当0＜x≤2时，f（x）∈[0，+∞），当x＞2时，f（x）∈（﹣1，1），所以f（x）的值域为（﹣1，+∞），故A正确；令g（x）＝f（x）﹣k＝0，则f（x）＝k，对于B，若g（x）有2个零点，则f（x）的图象与y＝k有两个交点，则k＝0或k＝1，故B正确；对于C，若g（x）的3个零点，则f（x）的图象与y＝k有三个交点，则0＜k＜1，因为x1＜x2＜x3，所以0＜x1＜1＜x2＜2＜x3＜3，且1−lo则x1x2＝1，x1x2x3＝x3＝3﹣log2（k+1）∈（2，3），故C正确；对于D，若g（x）有1个零点，则f（x）的图象与y＝k有一个交点，则﹣1＜k＜0或k＞1，故D错误．故选：D．7．（2025春•高邮市月考）已知函数f(x)=x3+2x2+2120x，x≤0lnxxA．(120，14e) B．解：由题意，可知：①当x＝0时，g（0）＝f（0）﹣0＝0，故x＝0为g（x）的1个零点．②当x≠0时，由g（x）＝f（x）﹣2ax＝0，可得2a=f即y＝2a与y=当x＜0时，x2设h(x)=lnx则h′(x令h′（x）＝0，得x=e则函数h（x）在(0，e12又h(e作出y=则必有120＜2a所以实数a的取值范围为（140，1故选：D．8．（2025•江苏三模）已知A(2，1)，B(23，0)，C，D四点均在函数f（A．265 B．263 C．525解：∵函数f（x）＝log2axx由f（2）＝1可得2a2+b=2，∴由f（23）＝0可得23a23解得：a＝4，b＝2，∴f（x）=lo设点C，D的横坐标分别为x1，x2，由题意可知BA→=CD→，则由f（x2）﹣f（x1）＝1得：log∴x2∴x1x2＝2x2﹣4x1，把x2=x又∵点C不与B重合，∴x1＝﹣4，∴C（﹣4，3），∴BA→=(4故平行四边形ABCD的面积S＝|43×3−1×(−14故选：B．二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025•金坛区校级二模）设函数f(A．存在实数x0使得f（x0）＝f'（x0） B．方程f（x）＝3有唯一正实数解 C．方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解 D．f（x）＝1有负实数解解：由题意可知，函数f(f'（x）=32x2﹣4x+2=12（3对于A，当x＝2时，f（x）＝f'（x）＝0，故正确；令12x3﹣2x2+2x=32x2因为f'（x）=12（3x﹣2）（所以当x∈（﹣∞，23）∪（2，+∞）时，f'（x当x∈（23，2）时，f'（x所以函数y＝f（x）的单调递增区间为（﹣∞，23），（2，+∞），单调递减区间为（2如图所示：所以f（x）极大值＝f（23）=1627，f（x）极小值所以方程f（x）＝3有唯一正实数解，故B正确；方程f（x）＝﹣1有唯一负实数解，故C正确；f（x）＝1有唯一正数解，故D错误．故选：ABC．（多选）10．（2025春•邗江区校级期中）下列说法正确的是（）A．方程ex=8−B．函数f（x）＝x2﹣x﹣6的零点是（3，0），（﹣2，0） C．函数y＝2x﹣x2有两个不同的零点 D．用二分法求函数f（x）＝3x+3x﹣8在区间（1，2）内零点近似值的过程中得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则零点近似值在区间（1.25，1.5）上解：对于A，设g(x)=ex+x又g(1)=则函数g（x）在（1，2）上存在零点，即方程ex=8−x对于B，零点不是点，选项B错误；对于C，作出函数y＝2x和y＝x2的图象如下所示，由图象可知，函数y＝2x﹣x2有三个不同的零点，选项C错误；对于D，函数f（x）＝3x+3x﹣8在区间（1，2）上单调递增，由零点存在性定理可得，零点近似值在区间（1.25，1.5）上，选项D正确．故选：AD．（多选）11．（2025春•南京校级月考）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将y＝f（x）的图象上所有点向右平移2π3个单位长度，然后横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．若g（xA．y＝f（x）的图象关于(π12B．f（x）在(0，5πC．g(x)≥D．方程f(x)=解：将函数f（x）＝sin（ωx+φ）的图象上所有点向右平移2π可得y=sin[ω(x−2然后横坐标缩短到原来的12可得g(因为g（x）的最小正周期为π2，所以2π2即g(因为g（x）为偶函数，所以−4解得φ=又因为0＜φ＜π，当k＝﹣1时，可得φ=所以f(g(对于A，当x=π12所以y＝f（x）的图象关于(π12，0)对于B，因为0＜x所以5π因为函数y＝sinx在[5π6，3π2]上单调递减，在（所以f（x）在(0，5π12对于C，由g(x)≥12，得即2π解得π6所以g(x)≥12对于D，由f(x)=即sin(2所以32cos2x−32sin2x即sin(2所以2x−π又因为x∈(0，所以x=所以方程f(x)=g(故选：ACD．三．填空题（共3小题）12．（2024秋•常州期末）若函数f（x）＝ax2﹣cosx+a﹣1在（﹣1，1）上恰有一个零点，则实数a的值为2．解：因为f（﹣x）＝ax2﹣cosx+a﹣1＝f（x），所以函数y＝f（x）为偶函数，所以函数在（﹣1，1）上的零点必成对出现，又因为函数在（﹣1，1）上只有一个零点，所在此零点必为x＝0，所以f（0）＝﹣1+a﹣1＝0，解得a＝2．故2．13．（2023春•苏州校级月考）已知函数f(x)=ex−kx，x≥0，kx2−x+1，x＜0.若k＝0，则不等式解：k＝0时，f（x）=ef（x）＜2等价为x≥0ex解得0≤x＜ln2或﹣1＜x＜0，所以﹣1＜x＜ln2；由f（x）恰有两个零点等价为ex＝kx（x≥0）和kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数的和为2．当k＝0时，ex＝kx（x≥0）的解的个数为0，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数为0，不符题意；当k＜0时，ex＝kx（x≥0）无解，kx2﹣x+1＝0（x＜0）的实根的个数为1，不符合题意；当k＞0时，kx2﹣x+1＝0（x＜0）没有实数解，则ex＝kx（x≥0）有两解，设g（x）=exx（x＞0），g′（x可得g（x）在（1，+∞）递增，在（0，1）递减，可得g（x）的最小值为g（1）＝e，当k＞e时，y＝g（x）与y＝k有两个交点．故（﹣1，ln2）；（e，+∞）．14．（2025•江苏校级三模）设函数f(x)=8x+1，#160;x≤0|log6x|，解：因为[f（x）]2﹣3f（x）+2＝0，即[f（x）﹣1][f（x）﹣2]＝0，解得f（x）＝1或2，当f（x）＝1时，若x≤0，则8x+1＝1，无解；若x＞0，|log6x|＝1，故log6x＝1或log6x＝﹣1，解得x＝6或16当f（x）＝2时，若x≤0，则8x+1＝2，解得x＝0，若x＞0，|log6x|＝2，故log6x＝2或log6x＝﹣2，解得x＝36或136所以方程[f（x）]2﹣3f（x）+2＝0的解的个数有5个．故5．四．解答题（共5小题）15．（2025春•工业园区校级期中）如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成θ角，该铁棒欲通过该直角走廊，求：（1）铁棒长度L（用含θ的表达式表示）；（2）当a＝b＝2米时，能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值．解：（1）由图形可得L=acosθ+b（2）当a＝b＝2米时，L=2设t＝sinθ+cosθ=2sin（θ+由0＜θ＜π4，可得π4＜θ+π4则1＜t≤2又t2＝1+2sinθcosθ，即有sinθcosθ=t则L=2由y＝t−1t在t∈（1，2]上递增，可得t=2，即θ=π4时，所以能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值为42．16．（2025春•盐城期中）设函数f(x，（1）若f（3，y）＝a0+a1y+a2（2）当m＝﹣3时，求f（6，y）展开式中系数最大的项；（3）当m＞0时，设n是正整数，t为正实数，实数t满足f（n，1）＝mnf（n，t），求证：f(2025，1000解：（1）由题可得f(3，所以a2则m2＝9，故m＝±3，令y＝1可得各项系数之和为i=0（2）当m＝﹣3时，f(6，其展开式的通项为Tr+1=设展开式的系数为ar=cr为偶数时系数为正，r为奇数时系数为负，又a0＝1，a2=c62(−3)2=15×9＝135，a所以f（6，y）展开式中系数最大的项为T5＝1215y﹣4；（3）证明：由f（n，1）＝mnf（n，t），可得（1+m）n=m即1+m=m所以m=t所以f（2025，1000t）＝（1+m1000＝（1+11000＞1+＞1+2+＝7，而7f（﹣2025，t）＝7×(1+mt)所以原不等式f(2025，100017．（2023春•江苏校级期中）如图，有一块空地△OAB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°．当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上方便建造景观，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM＝θ，（1）当AM=32（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，求：△OMN面积的最小值．解：（1）因为空地△OAB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°，所以OB=33km，AB＝6km所以根据余弦定理可求出OM=又AMsin∠AOM所以sin∠AOM=12，又∠AOM所以∠AON＝∠AOM+∠MON＝60°＝∠A，所以△OAN是等边三角形，所以△OAN的周长＝3OA＝9km，即防护网的总长度为9km．（2）设∠AOM＝θ（0°＜θ＜60°），则∠AON＝θ+30°，∠OMA＝120°﹣θ，∠ONA＝90°﹣θ．则OMsinA所以OM32=又ONsinA=OAsin∠所以S=27当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△OMN的面积取得最小为278+418．（2024秋•阜宁县期末）已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x2+2x+3，函数g（x）=f（1）求函数f（x）的解析式；（2）若不等式g（log2x）﹣klog2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程2g（|lnx|）+6m−7|lnx解：（1）因为f（x）+2f（﹣x）＝3x2+2x+3，所以f（﹣x）+2f（x）＝3x2﹣2x+3，故联立上述方程组，解得f（x）＝x2﹣2x+1．（2）由（1）知，f（x）＝x2﹣2x+1，g(因为不等式g（log2x）﹣klog2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，所以log2x+设t＝log2x，则t∈[2，3]，所以t+1t−2−所以k≥1+1t2因为r∈[2，3]，所以1t∈[13，12所以k≥1+1t2−2所以k的取值范围是[4（3）方程2g(|lnx|)+即2|lnx|2﹣（4m+6）|lnx|+6m﹣5＝0，|lnx|≠0，令|lnx|＝t，则2t2﹣（4m+6）t+（6m﹣5）＝0（t≠0），因为方程2g所以2t2﹣（4m+6）t+（6m﹣5）＝0