【江苏专用 真题汇编】平面解析几何考前专题特训2025年高考数学 含答案

/【江苏省各地区真题汇编】平面解析几何考前专题特训2025年高考数学一．选择题（共8小题）1．（2025•武进区校级一模）若直线l：y＝kx（k＞0）与双曲线C：y2A．(0，32) B．(32，+∞)2．（2025•滨海县校级模拟）已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，且|FA→|+|A．3 B．4 C．5| D．613．（2025•江苏一模）圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（）A．2 B．2 C．22 4．（2025•南通模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AF1A．2 B．22 C．3 D．5．（2024秋•无锡校级期中）已知圆C1：x2+y2−2x−4y=0，圆CA．4 B．6 C．8 D．96．（2025•江苏三模）已知点A（0，2），若圆（x﹣a）2+（y﹣a+4）2＝1上存在点P，使得|PO|2+|PA|2＝34（O为坐标原点），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]∪[5，+∞） B．[0，5] C．[−41+32，﹣3]∪[0，D．(−∞，−7．（2025•如皋市模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，称点P（x0，y0）和直线l：x0xa2+y0yb2=1是椭圆C的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系．当P在椭圆外时，其极线l是椭圆从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．结合阅读材料回答下面的问题：已知P是直线y=−A．x+2y﹣4＝0 B．x+2y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+y﹣4＝08．（2025春•海安市校级月考）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在P点处的切线垂直于法线（即∠F1PF2的角平分线）．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上点P处的法线l交A．74 B．477 C．4二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025•南通校级模拟）已知圆Γ：x2+y2﹣2ax﹣2by＝0（ab≠0），直线l：xcosθ+ysinθ＝0，则（）A．对任意满足条件的实数a，b与θ，直线l与圆Γ始终相切 B．对任意满足条件的实数a，b与θ，直线l与圆Γ有公共点 C．对任意实数θ，必存在满足条件的实数a，b，使得直线l与圆Γ相切 D．对任意满足条件的实数a，b，必存在实数θ，使得直线l与圆Γ相切（多选）10．（2024秋•海州区校级期末）已知椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，抛物线Γ以F为焦点，过F的直线l交抛物线Γ于A（x1，y1），BA．若x1+x2＝8，则|AB|＝10 B．当BF→=4FA→C．若M（4，2），P为抛物线Γ上一点，则|PM|+|PF|的最小值为13 D．4|AF|+|BF|的最小值为9（多选）11．（2024秋•新吴区校级月考）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若：p＝2，则（）A．开口向上的抛物线的方程为y＝4x2 B．|AB|＝8 C．直线x+y＝t截第一象限花瓣的弦长最大值为2 D．阴影区域的面积不大于32三．填空题（共3小题）12．（2024秋•玄武区校级月考）若直线y＝k（x﹣3）与双曲线x24−y213．（2024秋•江苏月考）设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点A是C右支上一点，若△AF1F2的内切圆的圆心为14．（2010•连云港模拟）直线x+2y﹣2＝0经过椭圆x2a2+y2b四．解答题（共5小题）15．（2025•南通校级模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（1）求双曲线C的方程；（2）若等腰直角三角形ABC的三个顶点均在双曲线C上，求△ABC面积的最小值．16．（2024秋•南京期末）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为−33且过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△F117．（2024秋•邗江区校级月考）已知⊙C的圆心在直线3x﹣y﹣3＝0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2．（1）求⊙C的方程；（2）设点D在⊙C上运动，且点T满足DT→=2TO→，（O为原点）记点①求曲线E的方程；②过点M（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2025•江苏校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），若点Q满足OQ→=λOP→+(1−λ)OM→(λ∈R)（1）已知点A（1，0），B（0，1），若点C是点A关于点B的“λ相关点”，且∠AOC=π（2）已知圆O：x2+y2＝1，点M（2，0），点P是圆O上的动点，点Q是点P关于点M的“λ相关点”，若点Q的轨迹与圆O有公共点，求正数λ的取值范围．19．（2025•秦淮区校级二模）已知点F（1，0）和直线l：x＝2，点P到l的距离d=2|PF|，记点P的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）过点Q（2，0）作斜率不为0的直线与曲线E交于A，B不同的两点，再过点F（1，0）作直线AB的平行线与曲线E交于不同的两点C，D．①证明：|QA②求△QCD面积的取值范围．

【江苏省各地区真题试卷汇编】平面解析几何考前专题特训-2025年高考数学答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BBBCDBAD二．多选题（共3小题）题号91011答案BDADBCD一．选择题（共8小题）1．（2025•武进区校级一模）若直线l：y＝kx（k＞0）与双曲线C：y2A．(0，32) B．(32，+∞)解：因为C：y2C：y23−x24=1又直线l过原点，则k则k的取值范围是(3故选：B．2．（2025•滨海县校级模拟）已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，且|FA→|+|A．3 B．4 C．5| D．61解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F(不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），此时|FA→|+|FB→|+|FC→|=x1+p2+x2+p2+因为F为△ABC的重心，所以x1+x则|AF|+|BF|+|CF|＝3p＝12，解得p＝4．故选：B．3．（2025•江苏一模）圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（）A．2 B．2 C．22 解：由x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0知，圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，如下图：其中O为坐标原点，圆心为M（1，1），AB是过原点的一条弦，所以MB=当AB⊥MO时，AB是所有经过坐标原点的弦中最短的弦，此时|AB故选：B．4．（2025•南通模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AF1A．2 B．22 C．3 D．解：已知|AF2|＝|F1F2|＝2c，设|AF1|＝m，由双曲线定义可得|AF2|﹣|AF1|＝2a，所以m＝2c﹣2a，由于AF1与渐近线平行，可得tan∠AF1F2=b则cos∠在△AF1F2中，由余弦定理可得cos∠整理得c2﹣4ac+3a2＝0，双曲线离心率为e=则e2﹣4e+3＝0，解得e＝3，因此，双曲线的离心率为3．故选：C．5．（2024秋•无锡校级期中）已知圆C1：x2+y2−2x−4y=0，圆CA．4 B．6 C．8 D．9解：∵方程x2+y2+mx+ny＝0表示圆，∴m2+n2﹣4×0＞0，即m2+n2＞0．圆C2：x两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线l的方程：（m+2）x+（n+4）y＝0．若圆C2平分圆C1的周长，则圆C1的圆心在直线l上，∵圆C1∴（m+2）+2（n+4）＝0，即m＝﹣2n﹣10，∴n2﹣m＝n2+2n+10＝（n+1）2+9，当n＝﹣1时，n2﹣m取最小值9．故选：D．6．（2025•江苏三模）已知点A（0，2），若圆（x﹣a）2+（y﹣a+4）2＝1上存在点P，使得|PO|2+|PA|2＝34（O为坐标原点），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]∪[5，+∞） B．[0，5] C．[−41+32，﹣3]∪[0，D．(−∞，−解：设P（x，y），点A（0，2），使得|PO|2+|PA|2＝34（O为坐标原点），可得P的轨迹方程为：x2+y2+x2+（y﹣2）2＝34，即：x2+（y﹣1）2＝16，由题意可得：4﹣1＝3≤a解得a∈[0，5]．故选：B．7．（2025•如皋市模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，称点P（x0，y0）和直线l：x0xa2+y0yb2=1是椭圆C的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系．当P在椭圆外时，其极线l是椭圆从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．结合阅读材料回答下面的问题：已知P是直线y=−A．x+2y﹣4＝0 B．x+2y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+y﹣4＝0解：设P(x0，−1整理得x0（x﹣2y）+16y﹣16＝0，由x−2y=016yMT→=TN→，则T为MN中点，MN：y−1=−12故选：A．8．（2025春•海安市校级月考）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在P点处的切线垂直于法线（即∠F1PF2的角平分线）．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上点P处的法线l交A．74 B．477 C．4解：由F1Q→=3QF2→由角平分线的性质可得：|F所以|PF1|＝3|PF2|，设|PF1|＝3|PF2|＝3x，由题意，因为∠F所以∠F由余弦定理可得cos∠解得x=又|PF1|+|PF2|＝2a，所以213得：e=故选：D．二．多选题（共3小题）（多选）9．（2025•南通校级模拟）已知圆Γ：x2+y2﹣2ax﹣2by＝0（ab≠0），直线l：xcosθ+ysinθ＝0，则（）A．对任意满足条件的实数a，b与θ，直线l与圆Γ始终相切 B．对任意满足条件的实数a，b与θ，直线l与圆Γ有公共点 C．对任意实数θ，必存在满足条件的实数a，b，使得直线l与圆Γ相切 D．对任意满足条件的实数a，b，必存在实数θ，使得直线l与圆Γ相切解：因为圆Γ的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝a2+b2，圆心为（a，b），半径为a2又圆心到直线l：xcosθ+ysinθ＝0的距离为d=|acosθ+因为d=a2+b若直线与圆相切，则有d=得到θ+则φ=对于C，当θ＝0，显然不存在实数a，b，使φ=π2对于D，因为对任意满足条件的实数a，b，总有确定的角φ，使tanφ=则必然实数存在θ，使θ+φ=故选：BD．（多选）10．（2024秋•海州区校级期末）已知椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，抛物线Γ以F为焦点，过F的直线l交抛物线Γ于A（x1，y1），BA．若x1+x2＝8，则|AB|＝10 B．当BF→=4FA→C．若M（4，2），P为抛物线Γ上一点，则|PM|+|PF|的最小值为13 D．4|AF|+|BF|的最小值为9解：对于A选项，由题意得F（1，0），故抛物线方程为y2＝4x，过F的直线l交抛物线Γ于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由抛物线定义得|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+2＝8+2＝10，A正确；对于B选项，由于直线l的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，设直线AB：x＝my+1，联立y2＝4x，得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y2＝﹣4y1，由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，故−3y1=4故直线l的斜率为±43，倾斜角不为45°，对于C选项，由题意得，准线方程为x＝﹣1，过点P作PG⊥准线（x＝﹣1）于点G，由抛物线定义得|PM|＝|PG|，故|PM|+|PF|＝|PG|+|PF|，要想求得|PM|+|PF|的最小值，则过点M作MQ⊥准线（x＝﹣1）于点Q，故|PM|+|PF|的最小值为|MQ|，最小值为4+1＝5，C错误；对于D选项，由题意得|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1，由于y1y2＝﹣4，故x14|AF|+|BF|＝4x1+4+x2+1＝4x1+x2+5，因为x1，x2＞0，由基本不等式得4|AF当且仅当4x1＝x2时，等号成立，故4|AF|+|BF|的最小值为9，D正确．故选：AD．（多选）11．（2024秋•新吴区校级月考）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若：p＝2，则（）A．开口向上的抛物线的方程为y＝4x2 B．|AB|＝8 C．直线x+y＝t截第一象限花瓣的弦长最大值为2 D．阴影区域的面积不大于32解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，对于选项A，开口向右的抛物线方程为C：y2＝4x，顶点在原点，焦点为F1（1，0），将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为F2（0，1），则其方程为x2＝4y，即y=14对于选项B，根据A选项分析，由y2=4xx2=4y可解得，代入可得yA＝4，由图象的对称性，可得A（4，4）、B（4，﹣4），故|AB|＝8，即B选项正确；对于选项C，设直线y＝x+m1与抛物线y2＝4x相切，联立y=x+m1y2=4x由Δ＝16﹣16m1＝0可得m1＝1，且方程y2﹣4y+4m1＝0即为y2﹣4y+4＝0，解得y＝2，x＝1，此时，切点坐标为（1，2），设直线y＝x+m2与抛物线x2＝4y相切，联立y=x+m2x2=4y由Δ＝16+16m2＝0可得m2＝﹣1，此时方程x2﹣4x﹣4m2＝0即为x2﹣4x+4＝0，解得x＝2，y＝1，此时，切点坐标为（2，1），两切点连线的斜率为1−22−1=−1，即切点的连线与直线x+y＝故当M（1，2）、N（2，1）时，|MN|取最大值，且其最大值为|MN|=(1−2)对于选项D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求18如图，对函数y=14x2求导得y′=1所以，抛物线y=14x2在点A处的切线方程为y﹣4＝2（x该切线交x轴于点E（2，0），所以，半个花瓣的面积必小于S△故原图中的阴影部分面积必小于8S△AOE＝8×4＝32，故D选项正确．故选：BCD．三．填空题（共3小题）12．（2024秋•玄武区校级月考）若直线y＝k（x﹣3）与双曲线x24−y2=1只有一个公共点，则解：双曲线x2则双曲线的渐近线方程为y=±1直线y＝k（x﹣3）过定点（3，0），因为点（3，0）在双曲线开口之内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，即该直线与双曲线的渐近线平行，故k=±1故1213．（2024秋•江苏月考）设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点A是C右支上一点，若△AF1F2的内切圆的圆心为解：不妨设点A在第一象限，此时点M也在第一象限，设A（x1，y1），M（xM，a），F2（c，0），因为AM→所以（xM﹣x1，a﹣y1）+2（xM，a）＝λ（c，0），解得3a＝y1，此时S△因为S△所以12解得|AF1|+|AF2|＝4c，易知|AF1|﹣|AF2|＝2a，所以|AF1|＝a+2c，|AF2|＝2c﹣a，因为|=(又x1＞a，所以cx则|A因为|AF2|＝2c﹣a，所以x1a=2，x1即A（2a，3a），因为点A在双曲线上，所以4−9解得b2则双曲线C的离心率为1+b故2．14．（2010•连云港模拟）直线x+2y﹣2＝0经过椭圆x2a2+y2b2=解：由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x+2y﹣2＝0与x轴、y轴的交点分别为（2，0）、（0，1），它们分别是椭圆的焦点与顶点，∴b＝1，c＝2，∴a=5，e=故答案为2四．解答题（共5小题）15．（2025•南通校级模拟）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（1）求双曲线C的方程；（2）若等腰直角三角形ABC的三个顶点均在双曲线C上，求△ABC面积的最小值．解：（1）设双曲线C的焦距为2c，因为双曲线的离心率为2，所以ca=2，c2＝a2+解得a＝b，因为双曲线经过点(2所以1a则双曲线C的方程为x2﹣y2＝1；（2）若等腰直角三角形ABC的三个顶点均在双曲线C上，设A（x0，y0）为等腰直角三角形的直角顶点，易知直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k（k＞0且k≠1），此时直线AC的斜率为−1联立y=k(x−此时Δ=4k所以k2即k2可得ky0≠x0，因为xB所以xB则|AB同理得|AC因为△ABC为等腰直角三角形，所以|AB|＝|AC|，所以|ky0﹣x0|＝|y0+kx0|，对等式两边平方可得k2因为x0所以4k此时S=2(=(令t=1k+此时t∈(0，设f（t）＝2t﹣8t3，t∈(0，可得f′（t）＝2（1+23t）（1﹣23t），当t∈(0，123)时，f′（t当t∈(123，12)时，所以f(所以S△当且仅当k=当k=由x0可得x0同理得k=3+当k=故△ABC面积的最小值为3316．（2024秋•南京期末）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为−33且过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△F1解：（1）由题意可知：2a＝4，则a＝2，∵e=ca=3∴椭圆C：（2）由已知可得：F1(−3∴直线l：y=−联立方程组x24+y2解得x＝0或x=837，所以所以|PQ又点F1到直线PQ的距离d=∴S△17．（2024秋•邗江区校级月考）已知⊙C的圆心在直线3x﹣y﹣3＝0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2．（1）求⊙C的方程；（2）设点D在⊙C上运动，且点T满足DT→=2TO→，（O为原点）记点①求曲线E的方程；②过点M（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）不妨设圆C的圆心C的坐标为（1，b），因为圆C的圆心C在直线3x﹣y﹣3＝0上，所以3﹣b﹣3＝0，解得b＝0，则圆心为（1，0），而圆心到直线l的距离为d=2不妨设圆C的半径为r，易知弦长为2r解得r2＝9，所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2＝9；（2）①不妨设T（x，y），D（x′，y′），易知DT→此时DT→可知x−解得x′=3因为D在圆C上运动，（3x﹣1）2+（3y）2＝9，整理得点T的轨迹方程E为(x②当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，不妨设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），联立(x−13)此时Δ=(−2不妨设N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得x1若x轴平分∠ANB，此时kAN+kBN＝0，所以y1因为y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），所以2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0，可得2⋅k整理得k2即−8解得t=则当N(116，0)时，能使18．（2025•江苏校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），若点Q满足OQ→=λOP→+(1−λ)OM→(λ∈R)（1）已知点A（1，0），B（0，1），若点C是点A关于点B的“λ相关点”，且∠AOC=π（2）已知圆O：