2025高考数学真题分类汇编-专题03导数及其应用（选填题）-专项训练 含答案

/2025高考数学真题试卷分类汇编-专题03导数及其应用（选填题）专项训练考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点1利用导数求函数单调性，极值最值2024全国甲卷Ⅰ卷2023Ⅱ卷乙甲2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷乙卷2021甲卷Ⅰ卷2020Ⅰ卷Ⅲ卷构造函数利用导数求函数单调性从而进行比较大小，利用导数求函数的极值点以及最值问题收高考必考题型考点2构造函数利用导数求单调性比较大小2023甲卷2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷2021乙卷Ⅱ卷2020ⅠⅡⅢ卷考点3导数综合应用2021上海卷Ⅱ卷2022天津卷2023天津卷2021Ⅰ卷北京卷零点含参问题的讨论是导数综合题型的重难点考点01利用导数求函数单调性，极值最值单选题1．（2024·全国·高考甲卷）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．2．（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．3．（2023年全国高考乙卷数学（文）试题）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．5．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．16．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．7．（2021年全国新高考Ⅰ卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．8．（2020年全国高考Ⅰ卷）函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．9．（2020年全国高考Ⅲ卷）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+10．（年全国高考Ⅲ卷）已知曲线在点处的切线方程为，则（）A． B． C． D．二多选题11（2024·全国·高考Ⅰ卷）设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，三填空题12．（2024·全国·高考Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.13．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.14．（2022全国乙卷）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．15．（2022年全国新高考Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．16．（2021·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为__________．17．（2021年全国新高考Ⅰ卷）函数的最小值为______.三、双空题18．（2022年全国高考Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．考点02构造函数利用导数求单调性比较大小一、单选题1．（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．2．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知，则（

）A． B． C． D．3．（2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设，则（

）A． B． C． D．4．（2021年全国高考Ⅱ卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．5．（2020年全国高考Ⅲ卷数学试题）设，，，则（

）A． B． C． D．6（2022·全国甲卷）已知，则（

）A． B． C． D．7．（2021·全国乙卷）设，，．则（

）A． B． C． D．8．（2020年全国新高考Ⅰ卷）若，则（

）A． B． C． D．9．（2020年全国高考Ⅱ卷）若，则（

）A． B． C． D．10．（2020年全国高考Ⅲ卷）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b考点03导数综合应用一、单选题1．（2024·上海·高考真题试卷）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值二、多选题2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心三填空题3．（2022·天津·统考高考真题试卷）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数的最小值为______.5．（2023·天津·统考高考真题试卷）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．6．（2021·北京·统考高考真题试卷）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是______答案与详细解析考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点1利用导数求函数单调性，极值最值2024全国甲卷Ⅰ卷2023Ⅱ卷乙甲2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷乙卷2021甲卷Ⅰ卷2020Ⅰ卷Ⅲ卷构造函数利用导数求函数单调性从而进行比较大小，利用导数求函数的极值点以及最值问题收高考必考题型考点2构造函数利用导数求单调性比较大小2023甲卷2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷2021乙卷Ⅱ卷2020ⅠⅡⅢ卷考点3导数综合应用2021上海卷Ⅱ卷2022天津卷2023天津卷2021Ⅰ卷北京卷零点含参问题的讨论是导数综合题型的重难点考点01利用导数求函数单调性，极值最值单选题1．（2024·全国·高考甲卷）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.2．（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【正确答案】C【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．3．（2023年全国高考乙卷数学（文）试题）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，，当，，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.4．（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C5．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1【正确答案】B【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D7．（2021年全国新高考Ⅰ卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.8．（2020年全国高考Ⅰ卷）函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题9．（2020年全国高考Ⅲ卷）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【正确答案】D【详解】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.10．（年全国高考Ⅲ卷）已知曲线在点处的切线方程为，则（）A． B． C． D．【正确答案】D通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．二多选题11（2024·全国·高考Ⅰ卷）设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，【正确答案】ACD【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；故选：ACD.三填空题12．（2024·全国·高考Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.【正确答案】【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故13．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.【正确答案】【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为.14．（2022全国乙卷）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【正确答案】【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，即图象在上方当时，，即图象在下方，图象显然不符合题意，所以．令，则，设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导=0的两个根为因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，设函数，则，若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.15．（2022年全国新高考Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【正确答案】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故16．（2021·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为__________．【正确答案】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故．17．（2021年全国新高考Ⅰ卷）函数的最小值为______.【正确答案】1【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故1.三、双空题18．（2022年全国高考Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【正确答案】【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.[方法三]：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故；.考点02构造函数利用导数求单调性比较大小一、单选题1．（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.2．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．3．（2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故4．（2021年全国高考Ⅱ卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【详解】，即.故选：C.5．（2020年全国高考Ⅲ卷数学试题）设，，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.【详解】因为，，所以.故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.6（2022·全国甲卷）已知，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当故，故，所以；设，，所以在单调递增，故，所以，所以，所以，故选A[方法二]：不等式放缩因为当，取得：，故，其中，且当时，，及此时，故，故所以，所以，故选A[方法三]：泰勒展开设，则，，，计算得，故选A.[方法四]：构造函数因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．7．（2021·全国乙卷）设，，．则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】[方法一]：，所以；下面比较与的大小关系.记，则，，由于所以当0<x<2时，，即，，所以在上单调递增，所以，即，即；令，则，，由于，在x>0时，，所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c；综上，，故选：B.[方法二]：令，即函数在（1，+∞)上单调递减令，即函数在（1，3)上单调递增综上，，故选：B.本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.8．（2020年全国新高考Ⅰ卷）若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.【详解】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.9．（2020年全国高考Ⅱ卷）若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.10．（2020年全国高考Ⅲ卷）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【正确答案】A【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.【详解】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.考点03导数综合应用一、单选题1．（2024·上海·高考真题试卷）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值【正确答案】B【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.二、多选题2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心【正确答案】AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD三填空题3．（2022·天津·统考高考真题试卷）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.【正确答案】【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.【详解】设，，由可得.要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.①当时，，作出函数、的图象如下图所示：此时函数只有两个零点，不合乎题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图