2025年湖北省荆州市沙市中学高考数学模拟试题（4月） 含答案

/2025年湖北省荆州市沙市中学高考数学模拟试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x|y=lnx+(A.[0,1)∪(1,+∞) B.(0,1)∪(1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞)2.若z∈C，i为虚数单位，|z+2iA.2 B.10−1 C.4 3.学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为(

)A.20 B.25 C.225 D.4504.已知向量a，b满足|a|=2，a⋅(2a+A.3 B.4 C.6 D.75.已知数列{an}中，a2=1，记Sn为{an}A.2023 B.2024 C.2025 D.20266.已知点M(a,0)，N(2,3)到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则A.(−2,0) B.(−2,6) C.(0,6) D.(2,6)7.函数f(x)=|A.6 B.2+2e C.6−2ln28.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，C的准线与其对称轴交于点D，过D的直线l与C交于A，B两点，且AB=2BD，若射线FB为∠A.43 B.4 C.5 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=3A.2π是f(x)的一个周期

B.f(x)在(π8,5π8)10.下列说法正确的是(

)A.数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9

B.若0<P(C)<1，0<P(D)<1，且P(D−)=1−P(D|C)，则C，D相互独立

C.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2)，σ越大，该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)11.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长相等，且均为2，A.存在点N，使得C1N⊥平面A1B1C

B.若C1N=5，则动点N的轨迹长度为π3

C.E为A1C三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x2−1x)613.在某抽奖活动中，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球2个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球3个，黄球1个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个.要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品.若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为______．14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点为F1，F2，过F2的直线l1交C的右支于点A，B(点A在点B上方)，|AF2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23acsinB=(a+b+c)(a+b−c)．16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB．

(1)已知O为PC中点，求证：AO⊥平面PBD；

(2)17.(本小题15分)

已知椭圆C：x22+y2=1，直线l：x=2与x轴交于点P，过点P的直线与C交于A，B两点(点A在点B的右侧)．

(1)若点A是线段PB的中点，求点A的坐标；

(2)过B作18.(本小题17分)

已知f(x)=xax−ex+1(a>1)．

(1)当a=e时，求函数f(x19.(本小题17分)

设n维向量a=(x1,x2,…,xn)，b=(y1,y2,…,yn)，定义运算：a⋅b=x1y1+x2y2+…+xnyn．

(1)当n=2时，若c=(y2,y1)且x1<x2，y1<y2，试比较a⋅b与答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.B

6.B

7.A

8.A

9.ACD

10.BD

11.BCD

12.15

13.132814.2115.解：(1)由余弦定理，可得cosC=a2+b2−c22ab，

即a2+b2−c2=2abcosC，

又23acsinB=(a+b+c)(a+b−c)=a2+b2−c2+2ab，

所以3csinB=bcosC16.解：(1)证明：取PB中点E，连接AE，OE，AC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，BC⊥AB，

∵PA⊥平面ABCD，BD，BC⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD，PA⊥BC，

∵AB∩PA=A，AC∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，AC，PA⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAB，BD⊥平面PAC，又O，E为PC，PB中点，

∴OE//BC，

∴OE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，AO⊂平面PAC，

∴PB⊥OE，AO⊥BD，

∵PA=AB，E为PB中点，

∴AE⊥PB，

∵AE∩OE=E，AE，OE⊂平面AOE，

∴PB⊥平面AOE，

又AO⊂平面AOE，

∴PB⊥AO，

∵PB∩BD=B，PB，BD⊂平面PBD，

∴AO⊥平面PBD．

(2)以A为坐标原点，AD,AB,AP正方向为x，y，z轴正方向，可建立如图空间直角坐标系：

不妨设PA=AB=1，则P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)，B(0,1,0)，17.解：(1)因为椭圆C：x22+y2=1，直线l：x=2与x轴交于点P，过点P的直线与C交于A，B两点(点A在点B的右侧)，

所以P(2,0)，

设点A(x0,y0)，由点A是线段PB的中点，得B(2x0−2,2y0)，

由点A，B都在椭圆C上，得x022+y02=1(2x0−2)22+4y02=1，解得x0=54y0=±148，

所以点A的坐标为(54,±148)；

(2)依题意，过B作x轴的垂线交椭圆于点D，连AD，可得直线AB的斜率存在且不为0，

设直线AB的方程为y=k(x−2)，k≠0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x3,y3)，

由点A在点B的右侧，得−18.解：(1)根据题目已知：f(x)=xax−ex+1(a>1)

当a=e时，f(x)=xex−ex+1，f′(x)=(x+1)ex−ex=xex，

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(0,+∞)为增函数；

当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(−∞,0)为减函数；

所以当a=e时，函数f(x)的减区间为(−∞,0)，增区间内为(0,+∞)．

(2)证明：因为a≥e，当x≥0时，ax≥ex，所以xax≥xex，

当x<0时，ax≤ex，所以xax≥xex，所以xax−ex+1≥xex−ex+1，

设p(x)=xex−ex+1，由(1)可知p(x)≥p(0)=0，所以不等式f(x)≥0成立．

(3)解法一：f′(x)=(lna⋅x+1)ax−ex=ax((lna⋅x+1)−(ea)x)，

设φ(x)=(lna⋅x+1)−(ea)x，此时φ(0)=0，

则φ′(x)=lna−(1−lna)⋅(ea)x，

因为1<a≤e，所以0<lna≤12,ea>1，

则φ′(x)在R为减函数，φ′(0)=2lna−1，

①当a=e时，φ′(0)=0，结合φ′(x)在R为减函数，

当x∈(−∞,0)时，φ′(x)>0，φ(x)在(−∞,0)为增函数；

当x∈(0,+∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0,+∞)为减函数；

所以φ(x)≤φ(0)=0，所以f′(x)≤0，即f(x)在R上为减函数，

又因为f(0)=0，所以f(x)只有一个零点；

②当1<a<e时，φ′(0)=2lna−1<0，

所以存在x0<0，使得φ′(x0)=0，

当x∈(−∞,x0)时，φ′(x)>0，所以φ(x)在(−∞,x0)上增函数；

当x∈(x0,+∞)时，φ′(x)<0，所以φ(x)<0在(x0,+∞)上减函数．

因为φ(0)=0，则φ(x0)>0，当x→−∞，φ(x)→−∞，

∃x1∈(−∞,x0)使得φ(x1)=0，

所以x∈(−∞,x1)时，φ(x)<0，即f′(x)<0，即f(x)在(−∞,x1)为减函数；

当x∈(x1,0)时，φ(x)>0，即f′(x)>0，即f(x)在(x1,0