2025年湖南省高考数学模拟试题(含详解) 含答案

/2025年湖南省高考数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2x−1<4x−5}A.(−3,2] B.(2,3) C.(3,+∞) D.(−∞,−3)2.已知复数z满足z+2z−=3+iA.1+i B.1−i C.1+2i3.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=A.13b B.33b 4.把函数y=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数y=A.cos(2x−π6) B.cos(25.数列{an}中，an>0,a1an=2A.228 B.236 C.2566.已知x<y，则下列不等式一定成立的是(

)A.x3<y3 B.1x>7.已知函数f(x)=x2+2xA.(−∞,8e2) B.(8e8.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点P是四边形A1B1C1D1的内切圆上一点，O为四边形ABCD的中心，给出以下结论：

①存在点P，使AA1/​/平面A.0B.1C.2D.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.珠江源位于云南东部曲靖市以北47公里处，整个景区由马雄山珠江源、花山湖和城区部分景点组成，总面积50平方公里.珠江源风景区是森林公园、省级风景名胜区、国际水利风景名胜区.景区森林茂密，溪流淙淙，有“一水滴三江，一脉隔双盘”的奇异景观.其美景吸引着大批的游客前往参观，某旅行社分年龄段统计了前往珠江源的老、中、青旅客的人数比为5：2：3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到90人，则下列说法正确的是(

)A.被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200

B.n=300

C.中年旅客抽到40人

D.老年旅客抽到15010.若函数f(x)是定义在(0,+∞)上不恒为零的可导函数，对任意的x，y∈R∗均满足：f(A.f(1)=0 B.f(x)是偶函数

C.11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为2，过C的焦点F的直线l与C交于R，H两点，分别过R，H两点作C的准线的垂线，垂足分别为A.抛物线C的准线方程为x=−1

B.以线段RH为直径的圆与抛物线C的准线相切

C.以线段RF为直径的圆与y轴相交

D.以线段R三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(x−ax)(1−x)4的展开式中含13.已知双曲线C：x22−y214.菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=60°，CE=2EB,CF=2FD，点M在线段四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设三角形ABC的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知a=7，b2+c2−a2+bc=0．

(1)求三角形16.(本小题15分)

某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40,50)，[50,60)，…，[90,100]分组整理得到如下频率分布直方图：

(Ⅰ)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；

(Ⅱ)从B地区评分为[80,100]的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；

(Ⅲ)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为μ1，A、B两地区评分的平均值估计为μ，比较μ1与μ的大小关系.(直接写出结论)17.(本小题15分)

已知平面四边形ABCD中，AD//BC，BC⊥CD，且AD=CD=22AB=2.以AD为腰作等腰直角三角形PAD，且PA=AD，平面PAD⊥平面ABCD．

(1)证明：AB⊥平面PAC；

(2)已知点M是线段PD上一点，

①若PB/​/平面MAC，求点18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−12x2−ax(a∈R)．

(I19.(本小题17分)

已知抛物线Γ：y2=4x的焦点为F，准线为l，双曲线Γ2：x23−y26=1的左焦点为T．

(1)求l的方程和双曲线Γ2的渐近线方程；

(2)设Q为抛物线Γ1和双曲线Γ2的一个公共点，求证：直线QT与抛物线Γ1相切；

(3)设P为l上的动点，且直线PT与双曲线

答案和解析1.【正确答案】A

集合A={x|2x−1<4x−5}={x|x>2}，B={x|设z=a+bi(a,b∈R)，

则z+2z−=a+bi+2(a−bi)=3a−bi因为|2a+b|=11，所以4a2+4a⋅b+b2=11，

又|a|=1，|b|=把函数y=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的12倍可得y=cos2x，

再将图象上所有的点向右平移π6个单位长度后的函数为y=cos因为数列{an}中，an>0,a1an=215−n，

所以a12=214,a1=27，所以an=215−根据题意，依次分析选项：

对A，根据幂函数y=x3在R上单调递增得x<y时，x3<y3，故A正确；

对B，当x<0<y时，1x<1y，B错；

对C，x<y，则−x>−y，根据指数函数y=2x在R上单调递增得2−x>2−y，故C错误；

对D，令g(x)=0得f(x)=m，

函数f(x)=x2+2xex,x>2x+2,x≤2，

当x>2时，f(x8.【正确答案】D

设底面内切圆的圆心为O1，连接OO1，D1O1，

由正方体的性质可知，OO1//DD1//AA1，所以O，O1，D，D1四点共面，

又因为AA1⊄平面ODO1，所以AA1/​/平面ODO1，

所以当点P是直线D1O1与四边形A1B1C1D1的内切圆的交点时，满足AA1/​/平面DOP；故①正确．9.【正确答案】ABD

由题意从这些旅客中随机抽取n名，青年旅客抽到90人，

老、中、青旅客的人数比为5：2：3，

则35+2+3×n=90，

所以n=300，故B正确；

则中年旅客抽到25+2+3×300=60人，故C错误；

老年旅客抽到55+2+3×300=150人，故D正确；

被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和为60+150=210人超过200人，

故A正确．对于A，令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0，故A正确；

对于B，令x=y=−1，可得f(1)=−f(−1)−f(−1)，解得f(−1)=0，

令x=2，y=−1，可得f(−2)=2f(−1)−f(2)=−f(2)=−2，

所以f(x)的图象不是偶函数，故B错误；

对于C，令y=2，所以f(2x)=xf(2)+2f(x)，

所以f(2x)=2f(x)+2x，

所以对于A，因为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为2，所以p=2，

所以抛物线C的方程为y2=4x，所以抛物线C的准线方程为x=−1，故A正确；

对于B，设RH的中点为D点，过D点作准线的垂线，垂足为D1，

则|RH|=|RF|+|FH|=|RR1|+|HH1|=2|DD1|所以B正确；

对于C，设R(x1,y1)、H(x2,y2)，则由抛物线的定义可得：|RF|=x1+1，F(1,0)，

RF的中点为(x1+12,y12)，RF的中点(x1+12,12.【正确答案】3

∵(x−ax)(1−x)4的展开式中含x2项的系数为−C41−a×(−由曲线C：x22−y2=λ(λ<0)，

整理可得双曲线的标准方程y2−因为CE=2EB,CF=2FD，所以BE=13BC,DF=13DC，

所以AE=AB+BE=AB+13AD,AF=AD+DF=13AB+AD，

15.【正确答案】213；

3(1)由b2+c2−a2+bc=0，可得b2+c2−a2=−bc，

根据正弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，

结合A∈(0,π)，可知sinA=1−cos2A=32(舍负)．

所以△ABC的外接圆半径R满足2R=asinA=732=2213，可得R=213；

(2)由S△ABC=32，可得X012P3102则X的数学期望EX=0×37+1×1021+2×221=23；

(III)由于B地区的平均分估计值高于A地区，合并后的平均值将更接近样本量较大的A地区，

但17.(1)证明：以AD为腰作等腰直角三角形PAD，且PA=AD，则PA⊥AD，

由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，

所以PA⊥平面ABCD，而AB⊂平面ABCD，

则PA⊥AB，

由AD//BC，BC⊥CD，则ABCD为直角梯形，

故AD⊥CD，

由AD=CD=22AB=2，

即△ACD为等腰直角三角形，故∠ACB=45°，且AC=AB=22，

所以△ABC为等腰直角三角形，故AB⊥AC，

由PA∩AC=A都在平面PAC内，则AB⊥平面PAC．

(2)由(1)PA⊥平面ABCD，AB⊥AC，构建如图示空间直角坐标系A−xyz，

所以B(22,0,0),C(0,22,0),D(−2,2,0),P(0,0,2)，

①若PM=λPD=(−2λ,2λ,−2λ)，则M(−2λ,2λ,2−2λ)，

所以AM=(−2λ,2λ,2−2λ),AC=(0,22,0)，

令m=(x,y,z)是平面MAC的一个法向量，

则m⊥AMm⊥AC，则m⋅AM=−2λx+2λy+2(1−λ)z=0m⋅AC=22y=0，

取z=λ，则m=(2(1−λ),0,λ)，

而PB=(22,0,−2)，

由PB/​/平面MAC，

则m⋅PB18.(Ⅰ)f'(x)=ex−x−a，x∈[0,+∞)，

令u(x)=f'(x)，则u'(x)=ex−1，则u'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，仅在x=0时取等号，

所以u(x)在[0,+∞)上单调递增，即f'(x)在[0,+∞)上单调递增．

当a≤1时，f'(x)≥f'(0)=1−a≥0在[0,+∞)上恒成立，

所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)=1，符合题意；

当a>1时，f'(0)=1−a<0．

令h(x)=ex−2x，则h'(x)=ex−2，所以h(x)在(−∞,ln2)上单调递减，

在(ln2,+∞)上单调递增，所以h(x)≥h(ln2)=2−2ln2>0．

所以f'(a)=ea−a−a=ea−2a>0，又f'(x)在[