2026届高考数学一轮专题训练：2年高考1年模拟（五十八）双曲线 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（五十八）双曲线1.若双曲线y22-x2m=1的焦点与椭圆x23+A.2 B.4 C.-2 D.-42.如果双曲线x24-y212=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点A.4 B.12 C.4或12 D.不确定3.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，A.x23-y2=1 B.x2-C.x22-y23=1 D.4.(2025·周口模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦距与其虚轴长之比为3A.5 B.4C.355 5.设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为5，实轴长为2，则双曲线A.25 B.C.85 D.6.(2023·全国甲卷)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，A.55 B.2C.355 7.已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足PF2A.6 B.5 C.2 D.38.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=2x，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MFA.22 B.2C.32 D.9.已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E的渐近线交于M，N两点，若S△MON≥34A.233，2C.2，3 D.[10.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，离心率e11.(2025·贵州模拟)我们把离心率为5+12的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”C：x225−2-y2b12.已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为.

13.已知双曲线y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F(1)求此双曲线的方程；(2)若点M55，m在双曲线上，求证：点M在以F114.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到(1)求双曲线C的方程；(2)若直线y=x-1与双曲线C交于M，N两点，求△MNF的面积.15.(2025·南京模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)过点(1)求双曲线C的方程；(2)过点B(1，0)的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=1于点P，Q，求|PB

（解析）精练（五十八）双曲线1.若双曲线y22-x2m=1的焦点与椭圆x23+A.2 B.4 C.-2 D.-4解析：选A椭圆x23+y24=1的长轴端点为(0，2)，(0，-2)，所以双曲线的焦点为(0，2)，(0，-2)，故2+2.如果双曲线x24-y212=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点A.4 B.12 C.4或12 D.不确定解析：选C设双曲线x24-y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，则a=2，c=4+12=4，则|PF2|=8，由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=4，即||PF1|-8|=4，所以|PF1|=4或|PF1|=12，由于c-3.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，A.x23-y2=1 B.x2-C.x22-y23=1 D.解析：选B双曲线离心率e=ca=2，故c=2a，b=3a，将点(2，3)代入双曲线方程，得2a2-33a2=1，故a=1，b4.(2025·周口模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦距与其虚轴长之比为3A.5 B.4C.355 解析：选C由题意可知2c∶2b=3∶2，则c∶b=3∶2，设c=3m(m>0)，则b=2m，所以a=c2−b2=5m，故C的离心率为e=5.设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为5，实轴长为2，则双曲线A.25 B.C.85 D.解析：选B由已知，2a=2，ca=5，所以a=1，c=5，则b=2.设M(m，n)为双曲线C上任意一点，则m2-n24=1，即4m2-n2=4.而双曲线C的渐近线方程为2x±y=0，所以点M到两条渐近线的距离之积为|2m−n6.(2023·全国甲卷)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，A.55 B.2C.355 解析：选D根据双曲线的离心率e=5=ca，得c=5a，即c2=5a2，即a2+b2=5a2，所以b2=4a2，b2a2=4，所以双曲线的渐近线方程为y=±2x，易知渐近线法一由y=2x，(x−2)2+(y−3)2=1，得5x2-16x+12=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=165，x1x2=125法二因为圆心(2，3)到渐近线y=2x的距离d=|2×2−3|22+(−1)2=55，所以|7.已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足PF2A.6 B.5 C.2 D.3解析：选D设P(x0，y0)，双曲线的半焦距为c，则有|x0|≥a，x02a2-y02b2=1，F1(-c，0)，F2(c，0)，于是PF2=(c-x0，-y0)，PF1=(-c-x0，-y0)，因此PF2·PF1=x02-c2+y02=x02+x02a2−1b2-当且仅当|x0|=a时取等号，则-2a2≥-b2，即b2a2≥2，离心率e=ca=1+b8.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=2x，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则tan∠MFA.22 B.2C.32 D.解析：选D由题意得，因为该双曲线的一条渐近线方程是y=2x，则ba=2，又由c2=a2+b2，可得bc=23，由过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，可知M的横坐标为c，代入双曲线方程即可得c2a2-y2b2=1，c2a2-1=c2−a2a2=b2a2=y2b2，又由y>0，可知M9.已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E的渐近线交于M，N两点，若S△MON≥34A.233，2C.2，3 D.[解析：选A由题意得A(a，0)，渐近线y=±bax，将x=a代入得M，N坐标为(a，±b)，所以|MN|=2b.因为MN⊥x轴，所以S△MON=12·a|MN|=ab，由已知可得ab≥34c2=34(a2+b2)，两边同时除以a2，得ba≥341+ba2，所以3ba2-4ba+3≤0，即3ba10.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，离心率e解析：∵e=ca=2，∴c=2a，又c2=a2+b2，∴4a2=a2+b2，b2=3a2，b=3a，∴双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±3答案：y=±3x11.(2025·贵州模拟)我们把离心率为5+12的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”C：x225−2-y2b解析：因为e=ca=1+b2a2=1+b225−2=答案：412.已知F1，F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为.

解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|-|PF2|=2a=22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2=PF1|∴|PF1|·|PF2|=8，∴S△F1PF2=12|PF答案：2313.已知双曲线y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F(1)求此双曲线的方程；(2)若点M55，m在双曲线上，求证：点M在以F1解：(1)依题意得ab=2，|2×0+c5=1，a(2)证明：因为点M55，m在双曲线上，所以m24-15=1.所以m2=245.又双曲线y24-x2=1的焦点为F1(0，-5)，F2(0，5)，所以MF1·MF2=−55，−5−m·−55，5−m=−14.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到(1)求双曲线C的方程；(2)若直线y=x-1与双曲线C交于M，N两点，求△MNF的面积.解：(1)设双曲线C的焦距为2c(c>0)，因为双曲线C的实轴长为2，所以2a=2，解得a=1.因为右焦点F到x=32的距离为1所以c−32=12，解得因为c>a，所以c=2.可得b2=c2-a2=4-1=3，所以双曲线C的方程为x2-y2(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立直线和双曲线y=x−1，x2−y23=1，可得3x2-(x-1)2-3=0，即x2+x-2=0，解得x=1或x=-2.不妨设x1所以S△MNF=12|MF|×|y2|=12|c-x1|×|y2|=12×1×3=32.即△15.(2025·南京模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)过点(1)求双曲线C的方程；(2)过点B(1，0)的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=1于点P，Q，求|PB解：(1)由题知16解得a2=4，b2=3，c2=7.所以双曲线C的方程为x24-(2)设直线