2026届高考数学一轮专题训练：2年高考1年模拟（五十二）立体几何中的综合问题 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（五十二）立体几何中的综合问题1.(2025·潍坊模拟)如图，线段AA1是圆柱OO1的母线，△ABC是圆柱下底面☉O的内接正三角形，AA1=AB=3.(1)劣弧BC上是否存在点D，使得O1D∥平面A1AB?若存在，求出劣弧BD的长度；若不存在，请说明理由.(2)求平面CBO1和平面BAA1所成角的正弦值.2.(2025·宁德模拟)图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB=12BC=1，E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD⊥平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2(1)求证：BD⊥PD；(2)求平面PAB和平面PCD夹角的余弦值.3.(2025·郑州模拟)在底面ABCD为梯形的多面体中，AB∥CD，BC⊥CD，AB=2CD=22，∠CBD=45°，BC=AE=DE，且四边形BDEN为矩形.(1)求证：BD⊥AE；(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°?若不存在，请说明理由.若存在，确定点Q的位置并加以证明.4.(2025年1月·八省高考适应性演练)在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC翻折至△ACP，其中P为动点.(1)设PC⊥AB，三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上.①证明：平面PAC⊥平面ABC；②求球O的半径.(2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.

（解析）精练（五十二）立体几何中的综合问题1.(2025·潍坊模拟)如图，线段AA1是圆柱OO1的母线，△ABC是圆柱下底面☉O的内接正三角形，AA1=AB=3.(1)劣弧BC上是否存在点D，使得O1D∥平面A1AB?若存在，求出劣弧BD的长度；若不存在，请说明理由.(2)求平面CBO1和平面BAA1所成角的正弦值.解：(1)如图，过点O作AB的平行线OD交劣弧BC于点D，连接OO1，O1D，OB，因为OO1∥AA1，AA1⊂平面AA1B，OO1⊄平面AA1B，则OO1∥平面AA1B，同理可证OD∥平面AA1B，又因为OO1∩OD=O，且OO1⊂平面OO1D，OD⊂平面OO1D，所以平面AA1B∥平面OO1D，又因为O1D⊂平面OO1D，所以O1D∥平面A1AB，故存在点D满足题意.因为△ABC为底面☉O的内接正三角形，所以∠BAC=π3，即∠ABO=∠BOD=π又因为AB=3，所以☉O的半径为32sinπ3所以劣弧BD的长度为π62π×2π×3=(2)如图，取BC的中点为M，连接MA，OO1，以M为原点，MB为x轴，MA为y轴，过M作OO1的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，又因为AA1=AB=3，设AB的中点为N.故M(0，0，0)，B32，0，0，AO0，32，0，O10，3易知ON⊥平面AA1B，所以平面AA1B的一个法向量为ON=34设平面CBO1的法向量为n=(x，y，z)，又因为MO1=0，3故n·M令y=23，得n=(0，23，-1).所以平面CBO1和平面BAA1所成角的余弦值为|cos<ON，n>|=|n·ON||故平面CBO1和平面BAA1所成角的正弦值为1−391322.(2025·宁德模拟)图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB=12BC=1，E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD⊥平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2(1)求证：BD⊥PD；(2)求平面PAB和平面PCD夹角的余弦值.解：(1)证明：如图，过点D作DF⊥BC交BC于点F，连接BD，因为AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB=12BC所以BF=FC=1，BD=2，DC=2，又BD2+DC2=BC2，所以BD⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PCD，又PD⊂平面PCD，所以BD⊥PD.(2)如图，由DC=2，得ED2+EC2=2≥(ED+EC)22，即ED+EC当△CDE周长最大时，ED=EC=1，即PD=PC=1.取DC的中点O，因为DF=FC=1，所以OF⊥DC.以O为原点，OF为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P0，0，22，B2，−2所以AP=−22，设n=(x，y，z)为平面PAB的法向量，则AP·n令x=1，则n=(1，-1，3)，易知平面PCD的一个法向量为m=(1，0，0)，则|cos<m，n>|=|m·n||所以平面PAB和平面PCD夹角的余弦值为11113.(2025·郑州模拟)在底面ABCD为梯形的多面体中，AB∥CD，BC⊥CD，AB=2CD=22，∠CBD=45°，BC=AE=DE，且四边形BDEN为矩形.(1)求证：BD⊥AE；(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°?若不存在，请说明理由.若存在，确定点Q的位置并加以证明.解：(1)证明：由题意知，AB∥CD，BC⊥CD，AB=2CD=22，∠CBD=45°，BC=AE=DE，故有BC=DC=2，易得AE=DE=2，BD=2，AD=BC2+在△ABD中，因为AD2+BD2=AB2，所以BD⊥AD.因为四边形BDEN为矩形，所以BD⊥DE，又DE∩AD=D，DE⊂平面ADE，AD⊂平面ADE，故BD⊥平面ADE.因为AE⊂平面ADE，所以BD⊥AE.(2)存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°，此时点Q为线段EN的中点或在线段EN上距离点E的114处证明如下：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，E(1，0，1)，所以DB=(0，2，0)，DA=(2，0，0)，BE=(1，-2，1)，设EQ=λEN=λDB=λ(0，2，0)，其中0≤λ≤1，解得Q(1，2λ，1)，故DQ=(1，2λ，1)，设平面QAD的法向量为n=(x，y，z)，则n·DA令y=1，则x=0，z=-2λ，故n=(0，1，-2λ).因为直线BE与平面QAD所成的角为60°，所以sin60°=|cos<BE，n>|=|=|−2−2λ1+4解得λ=12或λ=1故存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°，此时点Q为线段EN的中点或在线段EN上距离点E的114处4.(2025年1月·八省高考适应性演练)在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC翻折至△ACP，其中P为动点.(1)设PC⊥AB，三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上.①证明：平面PAC⊥平面ABC；②求球O的半径.(2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.解：(1)如图1，在△ACD中，由AC=CD=1，∠ADC=30°，得∠CAD=∠ADC=30°，所以AD=2ACcos∠DAC=2×1×cos30°=3，且∠BAC=∠DAB-∠CAD=120°-30°=90°，即AB⊥AC.①证明：因为AB⊥AC，PC⊥AB，PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又AB⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.②以A为原点，AB，AC分别为x轴和则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P0，32，32.设球心O(a，b则AO=BO=CO=PO=R，所以a2+b2+c2=(a-1)2+b2+c2=a2+(b-1)2+c2=a2+b−322+c解得a=12，b=12，c=32，R=52，所以球图1图2(2)在平面PAC中，过P作PG⊥AC于G，在平面ABC中，过G作GM⊥AC，则由(1)知AG=3cos30°=32，PG=3sin30°=32，设∠PGM=θ，θ∈(0，π)，以G为原点，GM，CG分别为图3则G(0，0，0)，A0，−32，0，B1，−32，0，C0，−12，0，P3设平面PAC和平面PBC的法向量分别为m=(x1，y1，z1)，n=(x2，y2，z2)，则m所