2026年高考数学一轮专题训练：概率 含答案

/高考数学一轮复习概率一．选择题（共8小题）1．（2025春•龙岩期中）随机变量ξ的分布列是ξ589Pp2p314则p＝（）A．14 B．910 C．252．（2025春•沧州期中）已知离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=A．16 B．13 C．23．（2025春•沧州期中）已知P(MN)=13，PA．13 B．12 C．234．（2025春•浙江期中）已知随机变量η，ξ满足η＝3ξ+1，且P（ξ≥2）＝0.9，则P（η＜7）＝（）A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.25．（2025春•浙江期中）已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜0）＝0.2，则P（X＞4）＝（）A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.16．（2025春•浙江期中）对于随机事件A、B，若P（A）=12，P（A|B）=13，P（B|A）=1A．12 B．23 C．347．（2025春•山东期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.4．设Y＝3X﹣2，则P（Y＝1）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.68．（2025春•台州期中）近年来，越来越多的周边游客来参观台州市的神仙居、长屿硐天、国清寺、大陈岛、石梁飞瀑、临海紫阳街等6处景点．现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件A＝“甲和乙至少有一个人前往神仙居”，事件B＝“甲和乙选择不同的景点”则P（B|A）＝（）A．89 B．910 C．1011二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•泰安模拟）在平面直角坐标系中，定义A（x1，y1），B（x2，y2）两点之间的折线距离为d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如图，某地有一矩形古文化街区，其内部道路间距均为1，则下列选项正确的是（）A．d（A，B）＝5 B．若C为平面内任意一点，则d（A，B）≤d（A，C）+d（B，C） C．当地政府拟沿满足d（P，A）+d（P，B）＝9的点P的轨迹修建一条街区环线公路，则公路形状为六边形 D．外卖员从A点送餐到B点，在保证路程与d（A，B）相等的前提下，左转次数X的期望为1.2（多选）10．（2025春•龙岩期中）某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球轮滑排球跳绳围棋要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项．若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用X表示四人中选择跳绳的人数之和，则（）A．每位家长选择跳绳的概率为35B．X的可能取值有4个 C．P(D．P（多选）11．（2025春•聊城期中）盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，记事件A为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是白球”，事件C为“第二次取出的是蓝球”，则（）A．P(B)=1C．P(C|（多选）12．（2025春•浙江期中）数学试题中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个是正确答案，全部选到正确答案得6分．若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分．若多选题正确答案是两个选项的概率为p（0＜p＜1），正确答案是三个选项的概率为1﹣p．某学生对其中的一道题完全不会，记X为该学生只随机选择1个选项时的得分，记Y为该学生随机选择2个选项的得分，则（）A．若p=23B．若p=23C．当12＜pD．当12三．填空题（共4小题）13．（2025•浙江模拟）人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为．14．（2025春•邢台期中）已知随机事件A，B满足P（A）=35，P（AB）=37，则P（B|15．（2025春•淮安期中）已知两个随机事件A，B，若P(A)=15，P(B)=14，P(16．（2025春•龙岩期中）已知随机事件A，B满足P(A)=23，P四．解答题（共4小题）17．（2025春•龙岩期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1～8．现从中任取4个球，以X表示所取球的最大号码．（1）求X的分布列；（2）求X＞5的概率．18．（2025春•台州期中）某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛．预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．（1）若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为X，求X的分布列并计算甲进入决赛的概率．（2）决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为p（0＜p＜1），且每次答题相互独立．（i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为f（p），求f（p）的最大值；（ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时p的取值范围．19．（2025春•邢台期中）某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球轮滑排球跳绳围棋要求每位家长结合小孩的兴趣选择其中的三项．（1）已知家长甲决定选择篮球，不选择围棋，其余三天任选两项；家长乙决定选择排球，其余四天任选两项．求家长甲选轮滑且家长乙未选轮滑的概率．（2）若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用X表示四人中选择跳绳的人数之和，求X的分布列和数学期望．20．（2025•普陀区二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“A通识过关﹣B综合拓展﹣C创新提升”三层动态题库，且A，B，C三层题量之比为7：3：2，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同．（1）现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自B层的概率；（2）现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到A层题的题数为X，求X的分布与期望E（X）．

高考数学一轮复习概率答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•龙岩期中）随机变量ξ的分布列是ξ589Pp2p314则p＝（）A．14 B．910 C．25【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】B【分析】根据题意，由分布列的性质可得p2解：根据题意，由随机变量ξ的分布列，有p2变形可得p=9故选：B．【点评】本题考查随机变量的分布列，注意分布列的性质，属于基础题．2．（2025春•沧州期中）已知离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=A．16 B．13 C．2【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】C【分析】根据题意，由P（X≥2）＝P（X＝2）+P（X＝3），结合分布列计算可得答案．解：根据题意，离散型随机变量X的分布列为P(则P（X≥2）＝P（X＝2）+P（X＝3）=1故选：C．【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题．3．（2025春•沧州期中）已知P(MN)=13，PA．13 B．12 C．23【考点】求解条件概率．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】B【分析】利用条件概率公式求解．解：因为P（N|M）=P所以P（M）=P故选：B．【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．4．（2025春•浙江期中）已知随机变量η，ξ满足η＝3ξ+1，且P（ξ≥2）＝0.9，则P（η＜7）＝（）A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】C【分析】根据题意，分析可得P（ξ＜2）＝1﹣0.9＝0.1，结合η＝3ξ+1，分析可得答案．解：根据题意，P（ξ≥2）＝0.9，则P（ξ＜2）＝1﹣0.9＝0.1，又由η＝3ξ+1，则P（η＜7）＝P（ξ＜2）＝0.1．故选：C．【点评】本题考查概率的计算，涉及随机变量的定义，属于基础题．5．（2025春•浙江期中）已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜0）＝0.2，则P（X＞4）＝（）A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】C【分析】根据正态分布曲线的对称性求解．解：因为随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜0）＝0.2，所以P（X＞4）＝P（X＜0）＝0.2．故选：C．【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．6．（2025春•浙江期中）对于随机事件A、B，若P（A）=12，P（A|B）=13，P（B|A）=1A．12 B．23 C．34【考点】求解条件概率．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】D【分析】利用条件概率公式求解．解：因为P（B|A）=P所以P（AB）＝P（B|A）P（A）=1又因为P（A|B）=P所以P（B）=P故选：D．【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．7．（2025春•山东期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.4．设Y＝3X﹣2，则P（Y＝1）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【考点】两点分布（0﹣1分布）．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】D【分析】利用两点分布的概率公式求解．解：因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝0.4，所以P（X＝1）＝1﹣P（X＝0）＝0.6，所以P（Y＝1）＝P（3X﹣2＝1）＝P（X＝1）＝0.6．故选：D．【点评】本题主要考查了两点分布的概率公式，属于基础题．8．（2025春•台州期中）近年来，越来越多的周边游客来参观台州市的神仙居、长屿硐天、国清寺、大陈岛、石梁飞瀑、临海紫阳街等6处景点．现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件A＝“甲和乙至少有一个人前往神仙居”，事件B＝“甲和乙选择不同的景点”则P（B|A）＝（）A．89 B．910 C．1011【考点】求解条件概率．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】C【分析】利用条件概率公式求解．解：由题意可知，P（A）＝1﹣P（A）＝1−5×56×6=1136，P所以P（B|A）=P故选：C．【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•泰安模拟）在平面直角坐标系中，定义A（x1，y1），B（x2，y2）两点之间的折线距离为d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如图，某地有一矩形古文化街区，其内部道路间距均为1，则下列选项正确的是（）A．d（A，B）＝5 B．若C为平面内任意一点，则d（A，B）≤d（A，C）+d（B，C） C．当地政府拟沿满足d（P，A）+d（P，B）＝9的点P的轨迹修建一条街区环线公路，则公路形状为六边形 D．外卖员从A点送餐到B点，在保证路程与d（A，B）相等的前提下，左转次数X的期望为1.2【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解；新定义类．【正确答案】ABD【分析】根据新定义判断A；根据绝对值不等式的性质判断B；根据新定义，排列，直线方程判断C；求出期望判断D．解：由定义知，d（A，B）＝3+2＝5，故A正确；平面内任意一点C（xC，yC），则d（A，C）+d（B，C）＝|xC﹣x1|+|yC﹣y1|+|x2﹣xC|+|y2﹣yC|≥|xC﹣x1+x2﹣xC|+|yC﹣y1+y2﹣yC|＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝d（A，B），故B正确；设A（0，0），B（3，2），P（x，y），则由d（P，A）+d（P，B）＝9可得|x|+|y|+|x﹣3|+|y﹣2|＝9，因为去掉绝对值x，y分别有3段取值，共可得到3×3＝9个方程，最多对应9条线段，但当0＜x＜3，0＜y＜2时，方程为x+y+3﹣x+2﹣y＝9，无解，其余分类中得到的方程含有x或y，且方程对应的线段相异，故总的线段条数为9﹣1＝8，P点轨迹图形为八边形，如图所示，故C错误；由题意，左转次数X可能为0，1，2，总的走法有C5其中P(所以P(X=1)=1−110故选：ABD．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质和离散型随机变量期望的计算，属于中档题．（多选）10．（2025春•龙岩期中）某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球轮滑排球跳绳围棋要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项．若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用X表示四人中选择跳绳的人数之和，则（）A．每位家长选择跳绳的概率为35B．X的可能取值有4个 C．P(D．P【考点】概率的应用；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】AD【分析】根据题意，由古典概型分析A，由二项分布的性质分析B、C、D，综合可得答案．解：根据题意，一位家长在五项中任选三项，有C5若其选择跳绳，有C4则每位家长选择跳绳的概率P=610=X表示四人中选择跳绳的人数之和，则X可取的值为0、1、2、3、4，有5个值，B错误；且X～B（4，35则P（X＝1）=C41×35×（1P（X＝4）＝（35）4=81625故选：AD．【点评】本题考查概率的应用，涉及二项分布的性质，属于基础题．（多选）11．（2025春•聊城期中）盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，记事件A为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是白球”，事件C为“第二次取出的是蓝球”，则（）A．P(B)=1C．P(C|【考点】求解条件概率．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】ACD【分析】根据题意，由古典概型分析A，由条件概率的性质和定义分析B、C、D，综合可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，则P（B）=23+2+5=对于B，当A发生时，盒子中有2个红球，2个白球，5个蓝球，则P（B|A）=2+52+2+5=对于C，由条件概率的性质，P（C|A）+P（C|A）＝1，C正确；对于D，当A发生时，盒子中有2个红球，2个白球，5个蓝球，P（B∪C|A）=2+52+2+5=故选：ACD．【点评】本题考查条件概率的计算，注意条件概率的定义，属于中档题．（多选）12．（2025春•浙江期中）数学试题中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个是正确答案，全部选到正确答案得6分．若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分．若多选题正确答案是两个选项的概率为p（0＜p＜1），正确答案是三个选项的概率为1﹣p．某学生对其中的一道题完全不会，记X为该学生只随机选择1个选项时的得分，记Y为该学生随机选择2个选项的得分，则（）A．若p=23B．若p=23C．当12＜pD．当12【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】ABD【分析】分别计算出X和Y不同情况下的概率，再求出数学期望，逐项进行计算即可求得．解：由条件可知，X的所有可能取值为0，2，3，P(P(P(所以E(Y的所有可能取值为0，4，6，P(P(P(所以E（Y）＝2﹣p，若p=23，则P若p=23无论p为何值，E(X)=当12＜p＜1时，E（X）＞所以该学生只随机选1个选项时得分表现更优，选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了离散型随机变量的期望计算，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•浙江模拟）人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI．是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学．某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为80243【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解；新文化类．【正确答案】80243【分析】由已知先求出样本空间的个数，然后求出获得二等奖结果数，然后结合古典概率公式即可求解．解：设一次抽奖所生成的奖券码为S，生成的5个数字中有x（0≤x≤5，x∈N）个0，y（0≤y≤5，y∈N）个1，则S＝y+2（5﹣x﹣y）＝10﹣（2x+y），由题可知0≤x+y≤5，若获得二等奖，则S为3的正整数倍，故2x+y可取的值为1，4，7；当2x+y＝1时，（x，y）的取值为（0，1），共有C5当2x+y＝4时，（x，y）的可能取值为（0，4），（1，2），（2，0），共有C5当2x+y＝7时，（x，y）的取值为（2，3），（3，1），共有C5所以获得二等奖的概率P2故80243【点评】本题考查概率的应用，涉及古典概型的计算，属于中档题．14．（2025春•邢台期中）已知随机事件A，B满足P（A）=35，P（AB）=37，则P（B|A）＝【考点】求解条件概率．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【正确答案】27【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．解：P（A）=35，P（AB）则P（AB）＝P（A）﹣P（AB）=6故P（B|A）=P故27【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．15．（2025春•淮安期中）已知两个随机事件A，B，若P(A)=15，P(B)=14，P(B|A)=【考点】求解条件概率．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【正确答案】215，7【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．解：若P(A)=P（AB）＝P（B|A）P（A）=1P（AB）＝P（B）﹣P（AB）=故P（A|B）故215，7【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．16．（2025春•龙岩期中）已知随机事件A，B满足P(A)=23，P(AB【考点】求解条件概率．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】716【分析】利用条件概率公式求解．解：因为P(所以P(故716【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•龙岩期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1～8．现从中任取4个球，以X表示所取球的最大号码．（1）求X的分布列；（2）求X＞5的概率．【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】（1）分布列见解析；（2）1314【分析】（1）由题意可知，随机变量X的有可能的取值为4，5，6，7，8，利用古典概型的概率公式求出其相应的概率，进而得到随机变量X的分布列；（2）由P（X＞5）＝P（X＝6）+P（X＝7）+P（X＝8）求解即可．解：（1）根据题意，X可取的值为4，5，6，7，8，X＝4，即取出4个球的最大号码为4，即取出标号为1、2、3、4的4个球，则P（X＝4）=CX＝5，即取出4个球的最大号码为5，即取出标号为5的球，标号为1、2、3、4的4个球中取出3个球，则P（X＝5）=CX＝6，即取出4个球的最大号码为6，即取出标号为6的球，标号为1、2、3、4、5的5个球中取出3个球，则P（X＝6）=CX＝7，即取出4个球的最大号码为7，即取出标号为7的球，标号为1、2、3、4、5、6的6个球中取出3个球，则P（X＝7）=CX＝8，即取出4个球的最大号码为8，即取出标号为8的球，则P（X＝8）=C故X的分布列为X45678P121212（2）根据题意，P（X＞5）＝P（X＝6）+P（X＝7）+P（X＝8）＝17【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题．18．（2025春•台州期中）某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛．预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．（1）若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为X，求X的分布列并计算甲进入决赛的概率．（2）决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为p（0＜p＜1），且每次答题相互独立．（i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为f（p），求f（p）的最大值；（ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时p的取值范围．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】（1）分布列见解析；1770（2）（i）49；（ii）[1【分析】（1）求出X的取值及对应的概率可得分布列，再结合分布列计算可得答案；（2）（i）由题意得f（p）＝3p2﹣3p3（0＜p＜1），利用导数求出最大值可得答案；（ii）分析每名学生获得的奖金的期望，求和解不等式即可．解：（1）若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为X，由已知X的取值为0，1，2，3，4，P(X=0)=P(X=2)=P(所以X的分布列为：X01234P1708351835835170甲进入决赛的概率为P=（2）（i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为f（p），由题意得f(令f′（p）＝6p﹣9p2＝3p（2﹣3p）＝0，解得p=当0＜p＜23时，f′（p）＞0，当23＜p＜1时，f′（p）＜0，所以f(可得f（p）的最大值为49（ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量Y，则Y的可能取值为0，50，100，200，所以P(Y=0)=P(Y=100)=所以E＝50p3+150p，可得4E（Y）≥325，即200p3+600p≥325，整理得8p3+24p﹣13≥0，由8p3+24p﹣13＝（8p3﹣1）+12（2p﹣1）＝（2p﹣1）（4p2+2p+1+12）≥0，得(2p解得12此时p的取值范围为[12【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题．19．（2025春•邢台期中）某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球轮滑排球跳绳围棋要求每位家长结合小孩的兴趣选择其中的三项．（1）已知