2026年高考数学一轮专题训练：概率1 含答案

/概率一．选择题（共8小题）1．（2025春•杏花岭区校级期中）运动员甲和乙进行男子羽毛球单打比赛，比赛规则是3局2胜制．假设甲每局获胜的概率为23A．23 B．49 C．16272．（2025春•赣州期中）某篮球队参加一项国际邀请赛，比赛分为两个阶段．小组赛阶段：进行3场小组赛，至少赢得2场才能晋级排名赛，否则淘汰．若晋级，进入排名赛阶段：进行3场比赛，每赢一场可额外获得奖金．已知该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为0.8，若能晋级，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6．该球队参加小组赛能获得出场费50万元，排名赛每赢一场比赛，获得100万元奖金．设该球队参加这项赛事获得的总奖金为随机变量X（单位：万元），则随机变量X的数学期望是（）A．166.48 B．211.28 C．216.48 D．2303．（2025春•泉州期中）考察下列两个问题：①已知随机变量X～B（n，p），且E（X）＝4，D（X）＝2，记P（X＝1）＝a；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记P（A|B）＝b，则（）A．a=123C．a=124．（2025•山东模拟）现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（）A．15 B．19 C．1135．（2025春•和平区校级期中）下列说法中正确的是（）①10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为13②已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝0.4；③设随机变量ξ表示发生概率为P的事件在一次随机试验中发生的次数，则D(④若X是随机变量，则E（2X+1）＝2E（X）+1，D（2X+1）＝4D（X）+1．A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②6．（2025春•海安市月考）将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为（）A．13 B．16 C．1127．（2025春•徐州期中）已知随机变量X的概率分布如表所示，且E(X)=X123Pnm13A．112 B．16 C．148．（2025•西安校级模拟）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（）A．E（X）＜E（Y），DX＞DY B．E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y） C．E（X）＜E（Y），DX＜DY D．E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）二．多选题（共4小题）9．（2025•泰安模拟）在平面直角坐标系中，定义A（x1，y1），B（x2，y2）两点之间的折线距离为d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如图，某地有一矩形古文化街区，其内部道路间距均为1，则下列选项正确的是（）A．d（A，B）＝5 B．若C为平面内任意一点，则d（A，B）≤d（A，C）+d（B，C） C．当地政府拟沿满足d（P，A）+d（P，B）＝9的点P的轨迹修建一条街区环线公路，则公路形状为六边形 D．外卖员从A点送餐到B点，在保证路程与d（A，B）相等的前提下，左转次数X的期望为1.210．（2025春•浙江期中）数学试题中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个是正确答案，全部选到正确答案得6分．若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分．若多选题正确答案是两个选项的概率为p（0＜p＜1），正确答案是三个选项的概率为1﹣p．某学生对其中的一道题完全不会，记X为该学生只随机选择1个选项时的得分，记Y为该学生随机选择2个选项的得分，则（）A．若p=23B．若p=23C．当12＜pD．当1211．（2025春•德惠市校级期中）若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X），DA．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4 C．D（3X+2）＝4 D．D12．（2025春•淮安期中）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件A1为“取出的是红球”，事件A2为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（）A．P(B|AC．P(B)=三．填空题（共4小题）13．（2025春•怀宁县校级期中）如图，一点从正方形的顶点A处出发在各顶点间移动，每次移动要么以13的概率沿平行于BC方向（正、反方向均可）移动一步；要么以23的概率沿平行于AB方向（正、反方向均可）移动一步．设移动2n（n∈N*）步后回到点A的概率为An，到达点C的概率为∁n，An﹣∁n＝14．（2025春•青岛期中）盒子中有大小形状完全相同的1个白球，2个黑球．每次从该盒中取出1个球，若取出的是白球，则把它放回盒中；若取出的是黑球，则该黑球不放回，并且另外补1个白球放入盒中，则第2次从盒中取出白球的概率是；重复上述过程n次后，盒中白球个数的数学期望是．15．（2025春•建邺区校级期中）某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大．16．（2025春•临潼区期中）若小张计划在下周一到周三中选一天去打羽毛球，已知他下周一、周二、周三去打羽毛球的概率分别为0.2，0.3，0.5，则他下周一不去打羽毛球的概率为，在他下周一不去为打羽毛球的前提下，他周三去打羽毛球的概率为．四．解答题（共4小题）17．（2025春•邢台期中）某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球轮滑排球跳绳围棋要求每位家长结合小孩的兴趣选择其中的三项．（1）已知家长甲决定选择篮球，不选择围棋，其余三天任选两项；家长乙决定选择排球，其余四天任选两项．求家长甲选轮滑且家长乙未选轮滑的概率．（2）若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用X表示四人中选择跳绳的人数之和，求X的分布列和数学期望．18．（2025春•大祥区校级期中）某初级中学为了响应国家提倡的素质教育，积极组织学生参加体育锻炼，并定期进行成绩测试．在某次测试中，该校随机抽取了初二年级50名男生的立定跳远成绩和50米短跑成绩，在立定跳远成绩大于等于210cm的26名男生中，50米短跑成绩小于等于7.9s的有18人，在立定跳远成绩小于210cm的男生中，50米短跑成绩大于7.9s的有14人．单位：人立定跳远成绩50米短跑成绩合计小于等于7.9s大于7.9s大于等于210cm小于210cm合计50（1）完成上面列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析立定跳远成绩是否与50米短跑成绩有关；（2）“立定跳远成绩小于210cm”且“50米短跑成绩小于等于7.9s”的人数为m，已知这m人中有3人喜爱运动，若从中任取2人进行调研，设X表示取出的喜爱运动的人数，求X的分布列和数学期望．下面附临界值表及参考公式：α0.100.050.01xα2.7063.8416.635χ219．（2025春•杏花岭区校级期中）2025年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分；多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选择或不选择得0分，具体得分的规则为：若正确答案为三个，那么选对一个得2分，选对两个得4分，选对三个得6分：若正确答案有两个选项，那么选对一个得3分，选对两个得6分．（1）已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X．（i）求P（X＝3）；（ii）求使得P（X＝k）取最大值时的整数k；（2）若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两个选项与三个选项的概率均为12（i）求该同学只选A时得分Y的分布列和数学期望．（ii）求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．20．（2025•永州三模）某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示：等级不及格及格良优分数1234人数3953（1）若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率；（2）用样本估计总体，以频率代替概率，若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X．（i）若n＝3，求X的分布列与数学期望；（ii）若n＝20，当k为何值时，P（X＝k）最大？

概率答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•杏花岭区校级期中）运动员甲和乙进行男子羽毛球单打比赛，比赛规则是3局2胜制．假设甲每局获胜的概率为23A．23 B．49 C．1627【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】D【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲以2：1获胜，②甲以2：0获胜，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①甲以2：1获胜，其概率P1=C21×2②甲以2：0获胜，其概率P2=2则甲获得冠军的概率P＝P1+P2=8故选：D．【点评】本题考查概率的计算，涉及互斥事件的概率性质，属于基础题．2．（2025春•赣州期中）某篮球队参加一项国际邀请赛，比赛分为两个阶段．小组赛阶段：进行3场小组赛，至少赢得2场才能晋级排名赛，否则淘汰．若晋级，进入排名赛阶段：进行3场比赛，每赢一场可额外获得奖金．已知该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为0.8，若能晋级，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6．该球队参加小组赛能获得出场费50万元，排名赛每赢一场比赛，获得100万元奖金．设该球队参加这项赛事获得的总奖金为随机变量X（单位：万元），则随机变量X的数学期望是（）A．166.48 B．211.28 C．216.48 D．230【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】B【分析】先求出晋级排名赛的概率，可知排名赛该球队赢的场次Y～B（3，0.6），结合二项分布的期望公式，根据期望的概念及性质求解即可．解：因为该篮球队小组赛阶段每场获胜的概率均为0.8，所以晋级排名赛的概率为c3设排名赛该球队赢了Y场，排名赛阶段每场比赛获胜的概率均是0.6，排名赛获得的奖金数为Z（万元），则Y～B（3，0.6），Z＝100Y，E（Y）＝3×0.6＝1.8，所以随机变量λ的数学期望是E（X）＝50+0.896×（0×C×0.43+100×Cl×0.6×0.42+200×C2×0.62×0.4+300×C3×0.63）＝50+0.896E（Z）＝50+0.896×100E（Y）＝211.28（万元）．故选：B．【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．3．（2025春•泉州期中）考察下列两个问题：①已知随机变量X～B（n，p），且E（X）＝4，D（X）＝2，记P（X＝1）＝a；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记P（A|B）＝b，则（）A．a=123C．a=12【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】C【分析】由二项分布的期望、方差公式得p=12，n＝8，进而得a=1解：问题①，由E(X)=np=4则a=问题②，根据题意，事件B的可能情况有n(事件AB发生的可能情况为n(所以b=故选：C．【点评】本题主要考查二项分布的期望和方差，条件概率公式，考查运算求解能力，属于中档题．4．（2025•山东模拟）现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（）A．15 B．19 C．113【考点】求解条件概率；排列组合的综合应用．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【正确答案】D【分析】根据条件概率相关知识可解．解：设事件M为“两根筷子都是红色”，则P（M）=1设事件N为“取到筷子中有红色”，则P（N）＝1−C则已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为P(故选：D．【点评】本题考查条件概率相关知识，属于中档题．5．（2025春•和平区校级期中）下列说法中正确的是（）①10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为13②已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝0.4；③设随机变量ξ表示发生概率为P的事件在一次随机试验中发生的次数，则D(④若X是随机变量，则E（2X+1）＝2E（X）+1，D（2X+1）＝4D（X）+1．A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】A【分析】对于选项①：据题意利用公式算概率即可判断；对于选项②：根据正态分布的对称性即可判断；对于选项③：计算方差D（ξ）＝p（1﹣p）即可判断；对于选项④：根据期望和方差的性质即可判断．解：对于选项①：从10件产品中任取2件，恰好取到1件次品的概率为1645，并非1对于选项②：已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，根据正态分布的对称性，可得P（0＜X＜2）＝0.4，故正确；对于选项③：随机变量ξ表示发生概率为P的事件在一次随机试验中发生的次数，其方差D（ξ）＝p（1﹣p），最大值为14对于选项④：根据期望和方差的性质，E（2X+1）＝2E（X）+1，但D（2X+1）＝4D（X），并非4D（X）+1，故错误．故选：A．【点评】本题考查了概率统计中的多个知识点，属于中档题．6．（2025春•海安市月考）将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率为（）A．13 B．16 C．112【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】A【分析】根据题意，由排列数公式计算“4个小球放入4个盒子”的放法数目，分析符合题意的放法数目，由古典概型公式计算可得答案．解：根据题意，将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的小盒中，每个小盒放一个小球，有A4要要使得恰有1个小球与所在盒子编号相同，先确定唯一一个编号相同的盒子，有4种情况，假设选的是1号球，后面三个小球都没有放进对应盒子里，其情形有（3，2，4），（3，4，2），共2种，所以一共有4×2＝8种符合题意的放法，则恰有1个小球与所在盒子编号相同的概率P=8故选：A．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及排列组合的应用，属于中档题．7．（2025春•徐州期中）已知随机变量X的概率分布如表所示，且E(X)=X123Pnm13A．112 B．16 C．14【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；整体思想；概率与统计；运算求解．【正确答案】B【分析】利用分布列的性质及期望公式即可求解．解：由分布列的性质可得，n+m+又因为E(X)=13即n+2m=56所以m=故选：B．【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．8．（2025•西安校级模拟）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（）A．E（X）＜E（Y），DX＞DY B．E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y） C．E（X）＜E（Y），DX＜DY D．E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】B【分析】根据二项分布求E（X），D（X），根据超几何分布求E（Y），D（Y），即可得结果．解：盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，则X∼所以E(随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则Y的所有可能取值为0，1，2，则P(所以E(D(所以E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y）．故选：B．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．二．多选题（共4小题）9．（2025•泰安模拟）在平面直角坐标系中，定义A（x1，y1），B（x2，y2）两点之间的折线距离为d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如图，某地有一矩形古文化街区，其内部道路间距均为1，则下列选项正确的是（）A．d（A，B）＝5 B．若C为平面内任意一点，则d（A，B）≤d（A，C）+d（B，C） C．当地政府拟沿满足d（P，A）+d（P，B）＝9的点P的轨迹修建一条街区环线公路，则公路形状为六边形 D．外卖员从A点送餐到B点，在保证路程与d（A，B）相等的前提下，左转次数X的期望为1.2【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解；新定义类．【正确答案】ABD【分析】根据新定义判断A；根据绝对值不等式的性质判断B；根据新定义，排列，直线方程判断C；求出期望判断D．解：由定义知，d（A，B）＝3+2＝5，故A正确；平面内任意一点C（xC，yC），则d（A，C）+d（B，C）＝|xC﹣x1|+|yC﹣y1|+|x2﹣xC|+|y2﹣yC|≥|xC﹣x1+x2﹣xC|+|yC﹣y1+y2﹣yC|＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝d（A，B），故B正确；设A（0，0），B（3，2），P（x，y），则由d（P，A）+d（P，B）＝9可得|x|+|y|+|x﹣3|+|y﹣2|＝9，因为去掉绝对值x，y分别有3段取值，共可得到3×3＝9个方程，最多对应9条线段，但当0＜x＜3，0＜y＜2时，方程为x+y+3﹣x+2﹣y＝9，无解，其余分类中得到的方程含有x或y，且方程对应的线段相异，故总的线段条数为9﹣1＝8，P点轨迹图形为八边形，如图所示，故C错误；由题意，左转次数X可能为0，1，2，总的走法有C5其中P(所以P(X=1)=1−110故选：ABD．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质和离散型随机变量期望的计算，属于中档题．10．（2025春•浙江期中）数学试题中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个是正确答案，全部选到正确答案得6分．若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分．若多选题正确答案是两个选项的概率为p（0＜p＜1），正确答案是三个选项的概率为1﹣p．某学生对其中的一道题完全不会，记X为该学生只随机选择1个选项时的得分，记Y为该学生随机选择2个选项的得分，则（）A．若p=23B．若p=23C．当12＜pD．当12【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】ABD【分析】分别计算出X和Y不同情况下的概率，再求出数学期望，逐项进行计算即可求得．解：由条件可知，X的所有可能取值为0，2，3，P(P(P(所以E(Y的所有可能取值为0，4，6，P(P(P(所以E（Y）＝2﹣p，若p=23，则P若p=23无论p为何值，E(X)=当12＜p＜1时，E（X）＞所以该学生只随机选1个选项时得分表现更优，选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了离散型随机变量的期望计算，属于中档题．11．（2025春•德惠市校级期中）若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X），DA．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4 C．D（3X+2）＝4 D．D【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量的方差与标准差；两点分布（0﹣1分布）．【专题】计算题；整体思想；概率与统计；运算求解．【正确答案】AB【分析】根据两点分布可得期望与方差，再结合期望、方差的性质运维求解．解：由题意可知：P(随机变量X的分布列为：X01P1323由两点分布可知：E(X)=23所以E（3X+2）＝3E（X）+2＝4，D（3X+2）＝9D（X）＝2，故B正确，C错误．故选：AB．【点评】本题考查数学期望，属于中档题．12．（2025春•淮安期中）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件A1为“取出的是红球”，事件A2为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（）A．P(B|AC．P(B)=【考点】概率的应用；条件概率；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】ACD【分析】根据题意，由条件概率公式分析A和B，由全概率公式分析C和D，综合可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，若事件A1发生，从甲罐中随机取出的球为红球，此时乙罐中有6个红球，3个白球．故P（B|A1）=C62对于B，若事件A2发生，从甲罐中随机取出的球为白球，此时乙罐中有5个红球，4个白球．故P（C|A2）=C51对于C，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=46×对于D，P（C）＝P（A1）P（C|A1）+P（A2）P（C|A2）=46×故选：ACD．【点评】本题考查条件概率的计算，涉及全概率公式，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•怀宁县校级期中）如图，一点从正方形的顶点A处出发在各顶点间移动，每次移动要么以13的概率沿平行于BC方向（正、反方向均可）移动一步；要么以23的概率沿平行于AB方向（正、反方向均可）移动一步．设移动2n（n∈N*）步后回到点A的概率为An，到达点C的概率为∁n，An﹣∁n＝(【考点】概率的应用；全概率公式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】(1【分析】根据相互独立事件及互斥事件的概率公式求出A1，C1，再由An+1=59An+49Cn、Cn+1=解：根据题意，第2步时，若回到A点，要么向左、右移动2次或向上、向下移动2次，A1第2步时，到达C点，必须向下移动1次，向右移动一次，则C1又An同理：Cn①﹣②，可得An又A1则数列{An﹣∁n}是以19为首项，19为公比的等比数列，故故(1【点评】本题考查数列与概率的应用，涉及等比数列的性质以及数列的递推公式，属于中档题．14．（2025春•青岛期中）盒子中有大小形状完全相同的1个白球，2个黑球．每次从该盒中取出1个球，若取出的是白球，则把它放回盒中；若取出的是黑球，则该黑球不放回，并且另外补1个白球放入盒中，则第2次从盒中取出白球的概率是59；重复上述过程n次后，盒中白球个数的数学期望是En【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；整体思想；概率与统计；运算求解．【正确答案】59：E【分析】设相应事件，结合全概率公式列式求解即可．解：首先考虑第2次取出白球的概率．第一次取球有两种情况：1．第一次取出白球概率13，此时盒中仍为1白2黑，第二次取出白球的概率为12．第一次取出黑球概率23，此时盒中变为2白1黑，第二次取出白球的概率为2由全概率公式，第二次取出白球的概率为：P=接下来分析n次操作后白球数的数学期望．设Ek为第k次操作后的白球数期望，总球数始终为3．每次操作：﹣取出白球的概率为Wk取出黑球的概率为3−W由此可得递推关系：Ek初始条件E0＝1，解得通解为：En【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．15．（2025春•建邺区校级期中）某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有7个学生选择前往北京或上海研学的概率最大．【考点】概率及其性质．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【正确答案】7．【分析】设有X个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得X服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可．解：某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动，每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择），若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，设有X个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率P=则X～设有k个学生选择前往北京或上海研学的概率最大，则P(即C30即30!(30−解得274又k∈N*，所以k＝7，所以有7个学生选择前往北京或上海研学的概率最大．故7．【点评】本题考查了二项分布的概率公式和组合数的计算公式，属于中档题．16．（2025春•临潼区期中）若小张计划在下周一到周三中选一天去打羽毛球，已知他下周一、周二、周三去打羽毛球的概率分别为0.2，0.3，0.5，则他下周一不去打羽毛球的概率为0.8，在他下周一不去为打羽毛球的前提下，他周三去打羽毛球的概率为0.5．【考点】求解条件概率．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【正确答案】0.8；0.5．【分析】根据对立事件知识可解第一空，根据条件概率知识可解第二空．解：已知他下周一、周二、周三去打羽毛球的概率分别为0.2，0.3，0.5，则他下周一不去打羽毛球的概率为1﹣0.2＝0.8；设事件A为“周三去打羽毛球”，事件B为“下周一不去为打羽毛球”，则P（AB）＝0.8×0.5＝0.4，则在他下周一不去为打羽毛球的前提下，他周三去打羽毛球的概率为P(故0.8；0.5．【点评】本题考查条件概率相关知识，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•邢台期中）某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球轮滑排球跳绳围棋要求每位家长结合小孩的兴趣选择其中的三项．（1）已知家长甲决定选择篮球，不选择围棋，其余三天任选两项；家长乙决定选择排球，其余四天任选两项．求家长甲选轮滑且家长乙未选轮滑的概率．（2）若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用X表示四人中选择跳绳的人数之和，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【正确答案】（1）13（2）分布列见解析，数学期望为125【分析】（1）由题意，记“家长甲选轮滑”为事件A，“家长乙选轮滑”为事件B，代入公式求解即可；（2）求出X的所有可能取值和相对应的概率，列出分布列，代入公式求解即可．解：（1）记“家长甲选轮滑”为事件A，“家长乙选轮滑”为事件B，此时P(A)=因为事件A，B相互独立，所以家长甲选轮滑且家长乙未选轮滑的概率为P(（2）每人选择跳绳的概率P=易知X所有的可能取值为0，1，2，3，4，此时P(X=0)=(1−P(X=2)=C4则X的分布列为：X01234P169621621681故E（X）＝0×16625+1×96625+2【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．18．（2025春•大祥区校级期中）某初级中学为了响应国家提倡的素质教育，积极组织学生参加体育锻炼，并定期进行成绩测试．在某次测试中，该校随机抽取了初二年级50名男生的立定跳远成绩和50米短跑成绩，在立定跳远成绩大于等于210cm的26名男生中，50米短跑成绩小于等于7.9s的有18人，在立定跳远成绩小于210cm的男生中，50米短跑成绩大于7.9s的有14人．单位：人立定跳远成绩50米短跑成绩合计小于等于7.9s大于7.9s大于等于210cm小于210cm合计50（1）完成上面列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析立定跳远成绩是否与50米短跑成绩有关；（2）“立定跳远成绩小于210cm”且“50米短跑成绩小于等于7.9s”的人数为m，已知这m人中有3人喜爱运动，若从中任取2人进行调研，设X表示取出的喜爱运动的人数，求X的分布列和数学期望．下面附临界值表及参考公式：α0.100.050.01xα2.7063.8416.635χ2【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；独立性检验．【专题】计算题；整体思想；概率与统计；运算求解．【正确答案】（1）表格见解析，有关；（2）分布列见解析，35【分析】（1）根据题意补充完整列联表，然后求出卡方，结合参考表格下结论即可；（2）由（1）可得m＝10，分析得到X的取值，然后求出X取值对应的概率，得到变量X的分布列，即可求出期望．解：（1）列联表如图．单位：人立定跳远成绩50米短跑成绩合计小于等于7.9s大于7.9s大于等于210cm18826小于210cm101424合计282250零假设为H0：立定跳远成绩与50米短跑成绩无关，计算得χ2根据小概率α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为立定跳远成绩与50米短跑成绩有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．（2）由（1）可知m＝10，X的可能取值为0，1，2，则P(P(P(其分布列为：X012P715715115所以数学期望为E(【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题..19．（2025春•杏花岭区校级期中）2025年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分；多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选择或不选择得0分，具体得分的规则为：若正确答案为三个，那么选对一个得2分，选对两个得4