2026年高考数学一轮专题训练：两个基本计数原理 含答案

/高考数学一轮复习两个基本计数原理一．选择题（共8小题）1．（2025春•广东期中）小明计划从A地到B地，途经4个旅游景点，其按照A﹣1﹣2﹣3﹣4﹣B的顺序方式出行，其中从A地到第1个景点以及第1个景点到第2个景点，他可以选择地铁或者滴滴打车这两种出行方式，从第2个景点到第3个景点以及第3个景点到第4个景点，他可以选择滴滴打车或者共享单车这两种出行方式，从第4个景点到B地可以选择巴士或者动车这两种出行方式，则小明从A地到B地用到了四种不同的出行方式的方案有（）A．12种 B．14种 C．16种 D．18种2．（2025春•邢台期中）从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（）A．12种 B．7种 C．4种 D．3种3．（2025春•兴化市期中）由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（）A．12 B．16 C．20 D．244．（2024秋•南昌期末）某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（）A．13种 B．42种 C．67种 D．7种5．（2025•全国模拟）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．1206．（2025•日照二模）将5名志愿者随机分配到3个项目（卫生、宣传、审计）服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．30种 B．60种 C．90种 D．180种7．（2025春•重庆期中）小明用3D打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则有（）种不同的涂色方法．A．320 B．360 C．420 D．4808．（2025春•崇川区期中）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选2种，不同的选法共有（）A．1000 B．60 C．30 D．10二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•朝阳区校级月考）以下结论正确的是（）A．3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是43 B．从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，有43种不同的送法 C．60有12个不同的正因数 D．从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的差（多选）10．（2025•渝水区校级模拟）在一个圆环隧道内等间距装有若干个完全一样的开关，每个开关只有“开”或“关”两种状态（这些开关总数和标记为“开”或“关”的开关个数均未知）．小郅同学位于隧道内部，从某个标记为“开”的开关开始，以下策略一定可以一次确定开关个数的选项为：（）A．从第1个开关开始，顺时针计数直至遇到下一个标记为“开”的开关 B．从第1个开关开始，顺时针计数（包括第1个开关），直至遇到下一个标记为“开”的开关，计数为m（不包括最后一个开关），将其标记为“关”后，从这个“关”的开关出发，逆时针计数（不包括第1个开关），发现第m个开关状态为“关” C．从第1个开关开始，顺时针计数（不包括第1个开关），计数发现第m（m为合数）个开关为“开”，将其标记为“关”后从这个“关”的开关出发，逆时针计数（不包括第1个开关），发现第m个开关状态为“关” D．从第1个开关开始，顺时针计数（不包括第1个开关），并将沿途的m﹣1个开关均标记为“开”，第m个开关标记为“关”，再从这个“关”的开关开始逆时针计数（不包括第1个开关），直至第一次遇到状态为“关”的开关，计数为n（包括最后1个开关），n＜m﹣1（多选）11．（2025春•湖南月考）下列说法正确的是（）A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 D．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题（多选）12．（2025春•集美区校级月考）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（）A．可组成300个不重复的四位数 B．可组成156个不重复的四位偶数 C．可组成120个能被5整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301三．填空题（共4小题）13．（2025春•潮安区校级期中）甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《侠之大者》《封神2》《哪吒之魔童闹海》三部电影中任选一部，则不同的选法有种．14．（2025春•海沧区校级期中）用两个1，两个3，一个5组成的不同的五位数有个．15．（2025春•江门校级期中）360有个不同的正因数．16．（2025春•郫都区校级期中）有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数．．四．解答题（共4小题）17．（2025春•巴楚县期中）书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同取法？（3）从书架的第1、2、3层各取1本书，并将取出的这3本书送给3名同学阅读，共有多少种不同的排列方法？18．（2025春•徐州期中）结合排列组合，解决下列问题．（结果用数字作答）（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？19．（2025春•广水市校级期中）有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（不一定六名同学都能参加）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限．20．（2025春•莎车县期中）在0，1，2，3，4，5，6中选出4个数字组成一个四位数．（1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？（3）若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？

高考数学一轮复习两个基本计数原理答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•广东期中）小明计划从A地到B地，途经4个旅游景点，其按照A﹣1﹣2﹣3﹣4﹣B的顺序方式出行，其中从A地到第1个景点以及第1个景点到第2个景点，他可以选择地铁或者滴滴打车这两种出行方式，从第2个景点到第3个景点以及第3个景点到第4个景点，他可以选择滴滴打车或者共享单车这两种出行方式，从第4个景点到B地可以选择巴士或者动车这两种出行方式，则小明从A地到B地用到了四种不同的出行方式的方案有（）A．12种 B．14种 C．16种 D．18种【考点】分步乘法计数原理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】C【分析】由题意可分析得到前4段路需要用到3种不同的出行方式，由此分类前2段路都选择地铁和选择不同的出行方式，分别计算两类所包含的方案，再根据分类加法计数原理可得答案．解：从A地到B地，一共5段路，前4段路一共有3种出行方式，最后一段路有2种出行方式，且与前3种不同，故前4段路需要用到3种不同的出行方式，由此可分类为：若从A地到第1个景点以及从第1个景点到第2个景点小明选择不同的出行方式，则有A2若从A地到第1个景点以及从第1个景点到第2个景点小明选择相同的出行方式（只能选择地铁），则共有1×A根据分类加法计数原理，则共有4+12＝16种不同的出行方式．故选：C．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．2．（2025春•邢台期中）从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（）A．12种 B．7种 C．4种 D．3种【考点】分类加法计数原理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】B【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案．解：依题意，从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，不同的选法为4+3＝7．故选：B．【点评】本题考查分类加法计数原理，属于中档题．3．（2025春•兴化市期中）由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（）A．12 B．16 C．20 D．24【考点】分步乘法计数原理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】D【分析】根据题意，直接将1，2，3，4全排列即可．解：根据题意，由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，共有A4故选：D．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．4．（2024秋•南昌期末）某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（）A．13种 B．42种 C．67种 D．7种【考点】分步乘法计数原理．【专题】整体思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】B【分析】根据分步计数原理求解．解：从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有7×6＝42种．故选：B．【点评】本题考查分步乘法计数原理，属于基础题．5．（2025•全国模拟）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．120【考点】数字问题．【专题】对应思想；分析法；排列组合；运算求解．【正确答案】C【分析】可以看作是4个空，要求个位是偶数，其它位置无条件限制，因此先从2个偶数中任选1个填入个位，其它4个数在3个位置上排列即可．解：个位数的选择有2种，其他位数的排列数为A4故选：C．【点评】本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于基础题．6．（2025•日照二模）将5名志愿者随机分配到3个项目（卫生、宣传、审计）服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．30种 B．60种 C．90种 D．180种【考点】分步乘法计数原理．【专题】分类讨论；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】A【分析】利用分步计数原理和组合数计算．解；5名志愿者随机分配到3个项目（卫生、宣传、审计）服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，先从5名志愿者选2名参加卫生项目，有C5再在剩下的3人中选2人参加宣传项目，有C3剩下的1名志愿者参加审计项目，所以共有10×3×1＝30种分配方案．故选：A．【点评】本题考查组合数的应用，属于基础题．7．（2025春•重庆期中）小明用3D打印机制作了一个底面各边边长均不相等的四棱锥模型，现将此模型的每一个面都涂上一种颜色，其中有公共边的两个面异色，现有5种颜色可供使用，则有（）种不同的涂色方法．A．320 B．360 C．420 D．480【考点】计数原理的应用．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【正确答案】C【分析】利用排列组合知识，结合计数原理求解即可．解：如图：先涂底面ABCD，有C5再涂面PAB，有C41种方法，再涂面PBC，有面PCD的颜色可以与面PAB相同，也可以不同，若面PCD的颜色与面PAB相同，则面PCD有1种方法，面PAD有C3若面PCD的颜色与面PAB不同，则面PCD有C21种方法，面PAD有所以不同的涂色方法有C51C故选：C．【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于中档题．8．（2025春•崇川区期中）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选2种，不同的选法共有（）A．1000 B．60 C．30 D．10【考点】分步乘法计数原理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】A【分析】根据分步乘法计数原理相关知识可解．解：学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选2种，则不同的选法共有C5故选：A．【点评】本题考查分步乘法计数原理相关知识，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•朝阳区校级月考）以下结论正确的是（）A．3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是43 B．从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，有43种不同的送法 C．60有12个不同的正因数 D．从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的差【考点】加法计数原理与乘法计数原理的综合应用．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】AC【分析】根据计数原理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．解：A选项，3个班分别从4个景点中选择一处游览，根据分步乘法计数原理，不同选法的种数是43，A选项正确．B选项，从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，根据分步乘法计数原理，不同选法的种数是4×3×2＝24，B选项错误．C选项，60＝22×3×5，所以正因数有（2+1）×（1+1）×（1+1）＝12个，C选项正确．D选项，根据题意，所得差有±2，±4，±6，±10，±12，共10个不相等的差，D选项错误．故选：AC．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．（多选）10．（2025•渝水区校级模拟）在一个圆环隧道内等间距装有若干个完全一样的开关，每个开关只有“开”或“关”两种状态（这些开关总数和标记为“开”或“关”的开关个数均未知）．小郅同学位于隧道内部，从某个标记为“开”的开关开始，以下策略一定可以一次确定开关个数的选项为：（）A．从第1个开关开始，顺时针计数直至遇到下一个标记为“开”的开关 B．从第1个开关开始，顺时针计数（包括第1个开关），直至遇到下一个标记为“开”的开关，计数为m（不包括最后一个开关），将其标记为“关”后，从这个“关”的开关出发，逆时针计数（不包括第1个开关），发现第m个开关状态为“关” C．从第1个开关开始，顺时针计数（不包括第1个开关），计数发现第m（m为合数）个开关为“开”，将其标记为“关”后从这个“关”的开关出发，逆时针计数（不包括第1个开关），发现第m个开关状态为“关” D．从第1个开关开始，顺时针计数（不包括第1个开关），并将沿途的m﹣1个开关均标记为“开”，第m个开关标记为“关”，再从这个“关”的开关开始逆时针计数（不包括第1个开关），直至第一次遇到状态为“关”的开关，计数为n（包括最后1个开关），n＜m﹣1【考点】计数原理的应用．【正确答案】BD【分析】利用，逻辑推理来计数．解：根据题意，依次分析选项：对于A．显然错误，例如5个灯，第1、4个为“开”，不符合题意；对于B．发现第m个开关为“关”只能是小郅手动关上的，而顺时针途经过程中没有其他“开”的开关，所以m为开关总数，符合题意；对于C．顺时针沿途可能遇到状态为“开”的开关，所以可能绕了不止一圈，例如，开关总数为5，取m＝10，绕了两圈，开关总数为10的非1因子（所以m取合数时都可能无法一次确定开关个数），不符合题意；对于D．第1～m﹣1个开关均为“开”，第m个开关为“关”，假设环绕不足一圈，则n＞m﹣1，矛盾，于是环绕数大于等于一圈；而不论环绕是否多于一圈，两个“关”的开关之间一定间隔一圈，即逆时针一定只环绕一圈，所以n为所求，符合题意．故选：BD．【点评】本题考查合情推理的应用，涉及策略的选择，属于基础题．（多选）11．（2025春•湖南月考）下列说法正确的是（）A．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题 B．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情 C．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题 D．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题【考点】分步乘法计数原理；分类加法计数原理．【专题】整体思想；定义法；排列组合；逻辑思维．【正确答案】AC【分析】根据分类加法计数原理、分步乘法计数原理的知识判断出正确答案．解：从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步乘法计数问题，A正确；分步乘法计数原理是指完成所有的步骤才是完成整件事情的问题，B错误；分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法的问题，C正确；求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分步乘法计数问题，D错误．故选：AC．【点评】本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理的定义，属于基础题．（多选）12．（2025春•集美区校级月考）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（）A．可组成300个不重复的四位数 B．可组成156个不重复的四位偶数 C．可组成120个能被5整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301【考点】数字问题．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】ABD【分析】应用分类分步原理，结合分组讨论的方法研究不同选项中的计算问题：A中6个数中选4个全排列再排除首位为0的情况或首位在1、2、3、4、5任选一个数再从剩余数中选3个数全排；B中分末位为0，为2、4两种情况分别计数再求和；B中分末位为0，为5两种情况分别计数再求和；D中分首位为1、2、•••依次计数，找到第85个数字的位置再确定数字即可．解：A选项，有C51AB选项，分为两类：0在末位，则有A50不在末位，则有C2所以共有60+96＝156种，故B正确；C选项，分为两类：0在末位，则有A55在末位，则有C4所以共有60+48＝108种，故C错误；D选项，首位为1的有A53=60个；前两位为20的有A所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•潮安区校级期中）甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《侠之大者》《封神2》《哪吒之魔童闹海》三部电影中任选一部，则不同的选法有27种．【考点】分步乘法计数原理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】27．【分析】利用分步乘法计数原理求解即可．解：甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《侠之大者》《封神2》《哪吒之魔童闹海》三部电影中任选一部，易知每个人都有3种选法，故不同的选法有27种．故27．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．14．（2025春•海沧区校级期中）用两个1，两个3，一个5组成的不同的五位数有30个．【考点】计数原理的应用．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【正确答案】30．【分析】利用排列组合知识求解．解：用两个1，两个3，一个5组成的不同的五位数有A5故30．【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．15．（2025春•江门校级期中）360有24个不同的正因数．【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【正确答案】24．【分析】把360进行质因数分解，然后结合分步乘法原理计算．解：360＝5×23×32，∴它的正因数分别为2，3，5的幂的乘积，360的正因数个数为：（1+1）×（3+1）×（2+1）＝24．故24．【点评】本题考查计数原理的应用，是基础题．16．（2025春•郫都区校级期中）有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数．2880．【考点】分步乘法计数原理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】2880．【分析】先排女生，再将男生插入到空位中可得．解：已知有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，先将女生排成一排，有A44=24由分步乘法计数原理可得，不同的排列方法总数为24×120＝2880种．故2880．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025春•巴楚县期中）书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同取法？（3）从书架的第1、2、3层各取1本书，并将取出的这3本书送给3名同学阅读，共有多少种不同的排列方法？【考点】计数原理的应用．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】（1）9；（2）24；（3）144．【分析】（1）根据分类加法计数原理可解；（2）根据分步乘法计数原理可解；（3）先从书架上各层选一本书，再送给3人，结合排列组合知识可解．解：（1）从第一层取一本计算机书，有4种方法；从第二层取一本文艺书，有3种方法；从第三层取一本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，共有4+3+2＝9种．（2）分3步完成：第一步从第一层取一本计算机书，有4种方法；第二步从第二层取一本文艺书，有3种方法；第三步从第三层取一本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24种．（3）由（2）可知，从书架的第1、2、3层各取1本书，有4×3×2＝24种不同取法．送给3名同学阅读，则为三本书的全排列，A3【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．18．（2025春•徐州期中）结合排列组合，解决下列问题．（结果用数字作答）（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？【考点】计数原理的应用．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】（1）81；（2）36；（3）8．【分析】（1）根据分步乘法计数原理可解；（2）根据题意将4封信分成1，1，2三组，再分到3个信箱即可；（3）确定一组序号相同，而其余的全部不同均有2种情况，从而可解．解：（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有34＝81种放法；（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，则将4封信分成1，1，2三组，有C41C（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，先确定一组序号相同有C4【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．19．（2025春•广水市校级期中）有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（不一定六名同学都能参加）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限