2026年高考数学一轮专题训练：两个基本计数原理1 含答案

/两个基本计数原理一．选择题（共10小题）1．（2025春•蒸湘区校级月考）如下，用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）种．ABCDA．12种 B．24种 C．48种 D．72种2．（2025春•鼓楼区校级期中）将4个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，不同的放法种数为（）A．A43 B．34 C．43 3．（2025春•孝感期中）现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（）A．24 B．12 C．34 D．434．（2022春•浙江期中）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480 B．720 C．1080 D．12005．（2022春•西安期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不对6．（洛阳一模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．60种7．（2023春•辉南县校级月考）今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（）种A．204 B．288 C．348 D．3968．（河南模拟）某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为（）A．36 B．96 C．114 D．1309．（浙江月考）用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A．20 B．24 C．36 D．4810．（北京学业考试）我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入3×3的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（）834159672A．9 B．8 C．6 D．4二．填空题（共5小题）11．（2025春•徐州期中）在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有种．12．（2024秋•临澧县校级月考）若一个三位数M的各个数位上的数字之和为8，则我们称M是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”，那么“叔同数”的个数共有．（用数字作答）13．（2024秋•湖北月考）将仅顺序不同的方案视为一种，将100表示为每一个都不超过3的若干正整数之和有种方法．（用数字作答）14．（2023春•涪城区校级期中）由数字0，1，2，3，4组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为．15．（2023春•肇州县校级期中）将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个4×4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法．三．解答题（共5小题）16．（2022春•河北区期中）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？17．（2022春•滦南县期中）用0，1，2，3，4，5这6个数字．（1）能组成多少个物重复数的四位偶数？（2）能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数（无重复数字）？18．（2022春•江门期中）（1）从含有3件次品的40件产品中，任意抽取3件产品进行检验，抽出的产品中恰好含有2件次品的抽法有多少种？（2）从0，2中任取1个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？19．（2021春•珠海校级期中）现有9本不同的书，分别求下列情况的不同分法的种数．（1）分成三组，一组4本，一组3本，一组2本；（2）分给三人，一人4本，一人3本，一人2本；（3）平均分成三组．20．（2021春•吴江区校级月考）有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加．（1）若只需一人参加，有多少种不同方法？（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？（3）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？

两个基本计数原理答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2025春•蒸湘区校级月考）如下，用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）种．ABCDA．12种 B．24种 C．48种 D．72种【考点】分步乘法计数原理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】D【分析】先涂C区域，再涂D，涂A，涂B，根据分步乘法计数原理可得解．解：用4种不同的颜色给矩形A，B，C，D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2种涂法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法．故选：D．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．2．（2025春•鼓楼区校级期中）将4个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，不同的放法种数为（）A．A43 B．34 C．43 【考点】分步乘法计数原理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】B【分析】根据分步乘法计数原理可解．解：根据分步乘法计数原理可得不同的放法种数为34种．故选：B．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．3．（2025春•孝感期中）现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（）A．24 B．12 C．34 D．43【考点】分步乘法计数原理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】D【分析】根据分步乘法计数原理可解．解：有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，则不同选法的种数为43种．故选：D．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．4．（2022春•浙江期中）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480 B．720 C．1080 D．1200【考点】染色问题．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【正确答案】D【分析】根据两个原理，按OABCDE的字母顺序涂色，分AD同色和AD不同色两大类，再对AD不同色又分AC同色和AC不同色两小类即可求解．解：（1）当AD同色时不同涂色方法数为5×4×3×2×1×3＝360，（2）当AD不同色时分两类，①AC也同色的不同涂色方法数为5×4×3×1×3×2＝360，②AC不同色的不同涂色方法数为5×4×2×2×3×2＝480，故不同的涂法种数是360+360+480＝1200，故选：D．【点评】本题考查两个计数原理，分类讨论思想，属中档题．5．（2022春•西安期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不对【考点】几何图形中的计数问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合；运算求解．【正确答案】C【分析】根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．解：E，F，G分别有4，3，2种方法，①当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种，（1）C若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法，（2）若C与F不同，则此时D有2种方法，故此时共有：4×3×2×1×2×（1×3+1×2）＝240种方法；②当A与G相同时，A有1种方法，（1）若C与F相同，C有1种方法，同时B，D各有2种方法，（2）若C与F不同，C有2种方法，B有2种方法，D有1种方法，故此时共有：4×3×2×1×（2×2+2×2）＝192种方法；③当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，（1）若B与F相同，（I）若A与C相同，则D有2种方法，（II）若A与C不同，则C有1种方法，D有1种方法，（2）若B不同与F，则B有1种方法，（Ⅰ）若C与F相同，则C有1种方法，同时D有2种方法；（Ⅱ）若C与F不同，则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法；故此时共有：4×3×2×1×[2+1+2+2]＝168种方法；综上共有240+192+168＝600种方法．故选：C．【点评】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．6．（洛阳一模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．60种【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合；数学抽象；运算求解．【正确答案】D【分析】分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案解：分两类，第一类，有3名被录用，有A43=根据分类计数原理，共有24+36＝60（种）故选：D．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，解题时要先确定分几类，属于基础题7．（2023春•辉南县校级月考）今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（）种A．204 B．288 C．348 D．396【考点】分类加法计数原理．【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合．【正确答案】C【分析】分乘坐3辆缆车和乘坐两辆缆车讨论，①乘坐3辆缆车则4个大人被分成2，1，1三组按分步原理计算方法数即可，②若乘两辆缆车，则4个大人被分成2，2或者3，1两组，然后按计算原理处理即可，最后将两类相加即可．解：①若6人乘坐3辆缆车，则将4个大人分成2，1，1三组有C42=②若6人乘坐2辆缆车，（1）两个小孩不在一块：则大人分成2，2两组的方法有C42A22故共有3×6×2＝36种方法．（2）两个小孩在一块：则大人分成3，1两组，分组方法为C43=综上共有：288+36+24＝348种方法．故选：C．【点评】本题考查了分类加法原理，分步乘法原理，考查了排列数公式，组合数公式等知识，但是本题容易漏掉一些情况，分类时要注意．本题属于难题．8．（河南模拟）某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A校，乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为（）A．36 B．96 C．114 D．130【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合．【正确答案】D【分析】按照其余5人是否都去A校分类计数．解：甲去A校，再分配其他5个人，①如果都不去A校，则分配方法有A2②如果5人分成1，1，3三组，则分配方法有（C53−③如果5人分成1，2，2三组，则分配方法有（C52C由加法原理可得不同分配方法有16+42+72＝130种．故选：D．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于中档题．9．（浙江月考）用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A．20 B．24 C．36 D．48【考点】数字问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合．【正确答案】A【分析】根据题意，由能被3整除的三位数的特点是各位数字之和被3整除，分4种情况讨论，进而由加法原理计算可得答案．解：根据题意，能被3整除的三位数，即各位数字之和被3整除，分4种情况讨论：①、取出的3个数字为0、1、2，此时三位数的百位数字为1或2，有2种情况，将其他的2个数字，全排列，安排在后2位，有A22＝2种情况，此时可以组成2×2＝4个符合条件的三位数，②、取出的3个数字为0、2、4，同理①有4种情况，即可以组成4个符合条件的三位数；③、取出的3个数字为1、2、3，将三个数字全排列，有A33＝6种情况，即可以组成6个符合条件的三位数；④、取出的3个数字为2、3、4，同理③，可以组成6个符合条件的三位数，综合可得：一共可以组成4+4+6+6＝20个三位数；故选：A．【点评】本题考查排列组合的应用，关键是依据能被3整除的数字的特点，进行分类讨论．10．（北京学业考试）我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入3×3的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（）834159672A．9 B．8 C．6 D．4【考点】几何图形中的计数问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合．【正确答案】B【分析】列举所有排法，即可得出结论．解：三阶幻方，是最简单的幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9．其中有8种排法492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276；816、357、492；618、753、294；672、159、834；834、159、672．故选：B．【点评】九宫格幻方．有口诀：先摆好，对角调，转一转，就好了．如“1”在四个角上向不同的两个方向按顺序摆就可以．二．填空题（共5小题）11．（2025春•徐州期中）在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有84种．【考点】计数原理的应用．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】84．【分析】根据题意可分若A和C相同，B和D相同时，若种三种花，若种四种花，三种情况讨论即可．解：现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则四个区域最少两种花，最多4种花．所以分三类：若A和C相同，B和D相同时，有A4若种三种花，分A和C相同与不同两种情况，此时有C43（若种四种花，则有A4则不同的种植方法有12+48+24＝84种．故84．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．12．（2024秋•临澧县校级月考）若一个三位数M的各个数位上的数字之和为8，则我们称M是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”，那么“叔同数”的个数共有36．（用数字作答）【考点】分类加法计数原理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】36．【分析】先写出三位数各位数的和为8的所有情况，再求出每种情况的“叔同数”的个数，最后相加即可求解．解：由题意可知，“叔同数”中各个数位上的数字有8，0，0；7，1，0；6，2，0；6，1，1；5，3，0；5，2，1；4，4，0；4，3，1；4，2，2；3，3，2情况，其中8，0，0三个数字组成的三位数只有1个；7，1，0三个数字组成的三位数只有C26，2，0三个数字组成的三位数只有C26，1，1三个数字组成的三位数只有3个；5，3，0三个数字组成的三位数只有C25，2，1三个数字组成的三位数只有A34，4，0三个数字组成的三位数只有2个；4，3，1三个数字组成的三位数只有A34，2，2三个数字组成的三位数只有3个；3，3，2三个数字组成的三位数只有3个；则共有1+4+4+3+4+6+2+6+3+3＝36个．故36．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．13．（2024秋•湖北月考）将仅顺序不同的方案视为一种，将100表示为每一个都不超过3的若干正整数之和有884种方法．（用数字作答）【考点】数字问题；简单排列问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明；运算求解．【正确答案】884．【分析】根据题意，要求将100表示为若干个1、2、3的和，设其中有x个“1”、y个“2”和z个“3”，其中x、y、z都是非负整数，则有100＝x+2y+3z，分情况讨论方程解的组数，相加可得答案．解：根据题意，将100表示为每一个都不超过3的若干正整数之和，即将100表示为若干个1、2、3的和，设其中有x个“1”、y个“2”和z个“3”，其中x、y、z都是非负整数，则有100＝x+2y+3z①，当z＝0时，有x+2y＝100，y可取的值为0、1、2、……、50，此时①式有51组解，即有51种拆分方法，当z＝1时，有x+2y＝97，y可取的值为0、1、2、……、48，此时①式有49组解，即有49种拆分方法，当z＝2时，有x+2y＝94，y可取的值为0、1、2、……、47，此时①式有48组解，即有48种拆分方法，当z＝3时，有x+2y＝91，y可取的值为0、1、2、……、45，此时①式有46组解，即有46种拆分方法，当z＝4时，有x+2y＝88，y可取的值为0、1、2、……、44，此时①式有45组解，即有45种拆分方法，……当z＝32时，有x+2y＝4，y可取的值为0、1、2，此时①式有3组解，即有3种拆分方法，当z＝33时，有x+2y＝1，y可取的值为0，此时①式有1组解，即有1种拆分方法，则共有51+49+48+46+45+……+3+1＝（51+48+45+……+3）+（49+46+……+1）=(51+3)×17故884．【点评】本题考查合情推理的应用，注意将原问题转化为方程解组数的判断，属于中档题．14．（2023春•涪城区校级期中）由数字0，1，2，3，4组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为42130．【考点】数字问题．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【正确答案】42130．【分析】利用排列数公式求得由数字0，1，2，3，4组成的各位上没有重复数字的五位数的各种情况，进而得到从小到大排列第88个数．解：由数字0，1，2，3，4组成的各位上没有重复数字的五位数中，1在万位的有A44=243在万位的有A44=24则从小到大排列第88个数为4在万位的五位数，4在万位0在千位的有A33=64在万位2在千位的有A3则从小到大排列第88个数为4在万位2在千位的五位数，4在万位2在千位的五位数从小到大排列依次为42013，42031，42103，42130，42301，42310，则从小到大排列第88个数为42130．故42130．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．15．（2023春•肇州县校级期中）将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个4×4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有441000种填法．【考点】计数原理的应用．【专题】整体思想；分析法；排列组合；运算求解．【正确答案】441000．【分析】先确定第一行有两个偶数时有多少种填法，再根据这两个偶数所在的列，还需要再填一个偶数，分别设为a，b，接下来分a，b位于同一行和位于不同行，利用分步计数原理进行求解．解：第一行有两个偶数的填法有C4两偶数所在列还需要再填一个偶数，分别设为a，b，若a，b位于同一行，其位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填位置唯一确定，若a，b位于不同行，其位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择，所以偶数位置的情况种数为C4因此总的填法种数为90×C故441000．【点评】本题主要考查分步计数原理，属中档题．三．解答题（共5小题）16．（2022春•河北区期中）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？【考点】计数原理的应用．【专题】概率与统计．【正确答案】见试题解答内容【分析】（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，利用分类计数原理求得结果．（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，利用分步计数原理求得结果．（3）首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择．（1）N＝5+6+4＝15；（2）N＝5×6×4＝120；（3）N＝5×6+6×4+4×5＝74．解：（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N＝5+6+4＝15种；（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N＝5×6×4＝120种；（3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择：N＝5×6+6×4+4×5＝74种．【点评】本题主要考查分类计数原理和分步计数原理的应用，是一道综合性较强的题目，分类中有分步，要求有清晰的思路，属于基础题．17．（2022春•滦南县期中）用0，1，2，3，4，5这6个数字．（1）能组成多少个物重复数的四位偶数？（2）能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数（无重复数字）？【考点】数字问题．【专题】计算题；整体思想；数学模型法；排列组合．【正确答案】见试题解答内容【分析】（1）组成不同的四位偶数有两种情况，当0在个位的四位偶数有A53个，当0不在个位时，先从2，4中选一个放在个位，再从余下的四个数选一个放在首位，应有A21A41A42，相加得到结果，（2）利用间接法和插空法，即可求出．解：（1）组成不同的四位偶数有两种情况，当0在个位的四位偶数有A53个，当0不在个位时，先从2，4中选一个放在个位，再从余下的四个数选一个放在首位，应有A21A41A42，共有A53+A21A41A42＝156，（2）先排偶数，形成了4个空，再把3个奇数插入，得到A33A43＝144，其中0在首位的有A22A33＝12，∴奇数数字互不相邻的六位数有144﹣12＝132．【点评】本题考查排列组合的实际应用，本题是一个数字问题，解题的关键是注意0不能在首位，注意分类和分步的应用．18．（2022春•江门期中）（1）从含有3件次品的40件产品中，任意抽取3件产品进行检验，抽出的产品中恰好含有2件次品的抽法有多少种？（2）从0，2中任取1个数字，从1，3，5中任取2个数字，