2026年高考数学一轮专题训练：幂函数、指数函数、对数函数1 含答案

/高考数学一轮复习幂函数、指数函数、对数函数一．选择题（共8小题）1．（2025春•顺庆区校级期中）已知a＝log23，b＝eln2，c＝2﹣0.1则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c2．（2025春•顺庆区校级期中）已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），g(x)=logA．0 B．1 C．3 D．53．（2025春•衢州期中）已知函数f（x）＝ln（kx2+2kx+2）的定义域为R，则实数k的取值范围（）A．k≤0或k≥2 B．0≤k＜2 C．0≤k≤2 D．0＜k≤24．（2025春•浙江期中）已知A＝{x|y＝log2（x+1）}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，2] B．（﹣1，2] C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，2）5．（2025春•湖南期中）已知集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．[0，1） B．（0，3） C．（1，6] D．（1，3）6．（2025春•温州期中）若直线y＝t（0＜t＜1）与幂函数y＝x3，y=x，y=1x的图象依次交于不同的三点AA．|AB|=1tC．|AC|=7．（2025春•金溪县校级期中）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝ln（x﹣2）}，则A∩∁RB＝（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{2，3} D．（2，3）8．（2025春•金溪县校级期中）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合y=c1ec2x类型的模型，假设某种细胞的初始数量为c1，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过x个单位时间后，细胞总数y（万个）会呈指数增长．设z＝A．e0.596 B．0.596 C．e0.206 D．0.206二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•益阳期中）已知实数a，b满足log1A．(12)aC．（a﹣b）（a+b﹣4）＜0 D．2a﹣2b＜3﹣a﹣3﹣b（多选）10．（2025•安徽模拟）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线y＝3x上两个不同的点，则（）A．y1B．y1C．logD．lo（多选）11．（2025•四川校级三模）若4a＝3b＝24，则（）A．2＜a＜52 B．2＜b＜3 C．（多选）12．（2025•锦江区校级模拟）如图，由函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）的部分图象可得一条封闭曲线Γ，则（）A．Γ有对称轴 B．Γ的弦长的最大值为22C．对Γ内任意一点P，均存在过P且平分Γ围成区域的面积的直线 D．Γ的面积大于17三．填空题（共4小题）13．（2025春•湖南期中）函数y＝loga（3x﹣5）+1（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标为．14．（2025•宝安区模拟）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转π4后得到的曲线仍为一个函数的图象的有①f（x）=3x②f（x）＝x2；③f（x）＝ln（x+1）（x≥0）；④f(15．（2024秋•合肥期末）若幂函数f(x)=(m2−3m+3)16．（2025•四川校级三模）记函数f(x)=2−x+3x+1的定义域为A，g（x）＝lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]（a＜1）的定义域为B．若四．解答题（共4小题）17．（2024秋•铜陵期末）已知集合A={（1）若0∈B，3∉B，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．18．（2025春•宜春月考）已知函数f(x)=lg(x+1)+116−x2的定义域为集合（1）若a＝﹣4，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．19．（2025春•重庆月考）已知函数f（x）＝xa，g（x）＝logax，（a＞0，且a≠1）．（1）p（x）＝f（x）g（x），讨论p（x）的单调性；（2）a＞1，h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）恰有一个零点，求aa的值．20．（2025春•广东月考）已知函数f(（1）用定义法证明f（x）在（﹣4，+∞）上的单调性；（2）若函数g（x）＝logaf（x），且g（x）在区间[﹣1，2]上的最小值为﹣1，求a．

高考数学一轮复习幂函数、指数函数、对数函数答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•顺庆区校级期中）已知a＝log23，b＝eln2，c＝2﹣0.1则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】B【分析】根据指数、对数的运算及对数函数和指数函数的性质，对各式进行分析．解：因为log22＜log23＜log24，所以1＜a＜2，又b＝eln2＝2，c＝2﹣0.1＜20＝1，所以c＜a＜b．故选：B．【点评】本题主要考查对数值比较大小，属于基础题．2．（2025春•顺庆区校级期中）已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），g(x)=logA．0 B．1 C．3 D．5【考点】求对数型复合函数的值域；由值域求解函数或参数；指数函数的值域．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】A【分析】结合指数函数及对数函数的性质可求a，b，进而可求．解：当x≥2时，f（x）＝2x+1≥5，由题意可得a＝5，因为g(所以y＝x2﹣8x+5b＝（x﹣4）2+5b﹣16的值域为[9，+∞），所以5b﹣16＝9，即b＝5，则a﹣b＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数值域的求解，属于基础题．3．（2025春•衢州期中）已知函数f（x）＝ln（kx2+2kx+2）的定义域为R，则实数k的取值范围（）A．k≤0或k≥2 B．0≤k＜2 C．0≤k≤2 D．0＜k≤2【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】B【分析】根据已知条件，结合二次函数的判别式法，即可求解．解：当k＝0时，符合题意，当k≠0时，由题意可知，Δ=(2k)2综上所述，实数k的取值范围为0≤k＜2．故选：B．【点评】本题主要考查对数函数的应用，属于基础题．4．（2025春•浙江期中）已知A＝{x|y＝log2（x+1）}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，2] B．（﹣1，2] C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，2）【考点】对数函数的定义域；求集合的交集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【正确答案】B【分析】结合交集的定义，即可求解．解：A＝{x|y＝log2（x+1）}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（﹣1，2]．故选：B．【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．5．（2025春•湖南期中）已知集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．[0，1） B．（0，3） C．（1，6] D．（1，3）【考点】指数函数的值域；求集合的交集．【专题】集合思想；综合法；函数的性质及应用；集合；运算求解．【正确答案】C【分析】根据指数函数的值域可求出集合B，从而得到A∩B．解：由已知，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}＝{y|1＜y＜8}，A＝{x|0≤x≤6}，所以A∩B＝（1，6]．故选：C．【点评】本题主要考查指数函数的值域以及求集合的交集，属于基础题．6．（2025春•温州期中）若直线y＝t（0＜t＜1）与幂函数y＝x3，y=x，y=1x的图象依次交于不同的三点AA．|AB|=1tC．|AC|=【考点】幂函数的图象．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】D【分析】根据题意，求出A、B、C三点的坐标，由此分析选项，综合可得答案．解：根据题意，函数y＝x3，若y＝t，则x=3t，即A（3ty=x，若y＝t，则x＝t2，则B（t2，y=1x，若y＝t，则x=1t，即C又由0＜t＜1，则t2＜3t＜1t，则|AB|=3t−t2，|BC|=1t−t2故选：D．【点评】本题考查幂函数的图象，注意幂函数图象的性质，属于基础题．7．（2025春•金溪县校级期中）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝ln（x﹣2）}，则A∩∁RB＝（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{2，3} D．（2，3）【考点】求对数函数的定义域；集合的交并补混合运算．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【正确答案】B【分析】求出集合B，利用补集和交集的定义可求得集合A∩（∁RB）．解：因为B＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，所以∁RB＝{x|x≤2}，集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，因此A∩（∁RB）＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．【点评】本题主要考查交集、补集的运算，属于基础题．8．（2025春•金溪县校级期中）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合y=c1ec2x类型的模型，假设某种细胞的初始数量为c1，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过x个单位时间后，细胞总数y（万个）会呈指数增长．设z＝A．e0.596 B．0.596 C．e0.206 D．0.206【考点】对数运算求值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】A【分析】由题意得1.42=0.206×4+â，求出â解：由题意把点（4，1.42）代入回归方程：ẑ=0.206x则1.42=0.206×4+â，解得因此ẑ对函数y=c1ec2x两边取对数，得lny＝又ẑ=lny，所以lnc1＝0.596，即故选：A．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025春•益阳期中）已知实数a，b满足log1A．(12)aC．（a﹣b）（a+b﹣4）＜0 D．2a﹣2b＜3﹣a﹣3﹣b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【正确答案】ACD【分析】由题干条件，可得b＞a＞2，再结合对数函数的单调性、不等式的性质、指数函数的单调性，对各选项进行逐项分析．解：因为log1所以log3（b﹣2）﹣log3（a﹣2）＞0，即log3所以b−2a−2＞1，且b＞2，a＞2，所以A选项，因为y=(12)xB选项，由前述分析，知3b﹣1＞3a﹣1＞0，所以13b−1C选项，因为b＞a＞2，所以a﹣b＜0，b+a﹣4＞0，所以（a﹣b）（b+a﹣4）＜0，C正确；D选项，令g(x)=2x所以2b﹣3﹣b＞2a﹣3﹣a，即2a﹣2b＜3﹣a﹣3﹣b，D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查对数值比较大小，属于中档题．（多选）10．（2025•安徽模拟）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线y＝3x上两个不同的点，则（）A．y1B．y1C．logD．lo【考点】指数函数的图象．【专题】转化思想；数形结合法；构造法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】ACD【分析】设点M（x1+x22，3x1+3x22），N（x构造PM→=2MQ→，得M（x1+2x23，1⋅3x1+2构造PM→=3MQ→，得M（x1+3x24，1⋅3x1+3解：对于A、B，设点M（x1+x22，3x1则点M恒在点N的上方，所以3x1+3x2对于C，构造PM→=2MQ→，则M（x1+2x23点M恒在点N的上方，即y1+2对于D，构造PM→=3MQ→，则M（x1+3x24点M恒在点N的上方，即y1+3故选：ACD．【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．（多选）11．（2025•四川校级三模）若4a＝3b＝24，则（）A．2＜a＜52 B．2＜b＜3 C．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式化简运算求值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】ABC【分析】由对数运算和对数函数的单调性进行比较大小即可．解：因为4a＝3b＝24，所以a=所以2＜a＜52，2＜32因为123＞242，所以1a+1b=故选：ABC．【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，是中档题．（多选）12．（2025•锦江区校级模拟）如图，由函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）的部分图象可得一条封闭曲线Γ，则（）A．Γ有对称轴 B．Γ的弦长的最大值为22C．对Γ内任意一点P，均存在过P且平分Γ围成区域的面积的直线 D．Γ的面积大于17【考点】反函数；利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解．【正确答案】ACD【分析】根据反函数的定义及求法可判断A；根据函数图象的交点方程的根的关系，分析h（x）＝ex﹣x﹣e+1的零点情况，得到两交点A、B间的距离情况，可判断B；根据反函数的性质可判断C；考虑其中一曲线到直线y＝x的距离最大值，求出该点处的切线与y＝x平行时的点的坐标，再求S△P0解：对于A项，由题意，由y＝ex﹣e+1⇒ex＝y+e﹣1，∴x＝ln（y+e﹣1），∴y＝ex﹣e+1的反函数为y＝ln（x+e﹣1），两者关于y＝x对称，故A正确；对于B项，由A选项分析，两函数的交点为它们与y＝x的交点，故联立y＝ex﹣e+1与y＝x，y=令h（x）＝ex﹣x﹣e+1，h'（x）＝ex﹣1，当x＞0时，h（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，h（x）＜0；h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，因为h（﹣2）＞0，h(−1)=1所以h（x）在（﹣2，﹣1）内有一个零点x0（﹣2＜x0＜﹣1），另一个零点为1，所以A（1，1），B（x0，y0），且|AB|=2对于C项，如图，设A（1，1），B（x0，y0）的中点为C(设y＝ex﹣e+1上存在一点D（x1，y1），点D关于点C的对称点为E（x0﹣x1+1，y0﹣y1+1），因为函数y＝ex﹣e+1与y＝ln（x+e﹣1）互为反函数，所以E（x0﹣x1+1，y0﹣y1+1）在y＝ln（x+e﹣1）上，所以在封闭图形Γ上，D，E关于中点C对称，即在封闭图形Γ中，总存在与任意一点P关于中点C对称的点P'，使得直线PP'平分封闭图形，对T内任意一点P，均存在过P且平分Ⅰ围成区域的面积的直线，C正确；对于D项，如图，先考虑曲线y＝ex﹣e+1上P到y＝x距离的最大值，只需找出过P与曲线相切且与AB平行的点P0即可，令f（x）＝ex﹣e+1，令f'（x）＝ex＝1，得x＝0，此时P（0，2﹣e），P0到y＝x的距离d=SΓ＞2S△P0AB=2×12|AB|d＝2•12（＝（e﹣2）（1﹣x0）＞2（e﹣2）＞1710（e﹣2），（﹣2＜x0＜﹣1），故故选：ACD．【点评】本题主要考查反函数、利用导数求曲线上某点处的切线方程以及点到直线距离公式，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025春•湖南期中）函数y＝loga（3x﹣5）+1（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标为（2，1）．【考点】对数函数图象特征与底数的关系．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】（2，1）．【分析】由已知结合对数函数的性质即可求解．解：结合对数函数的性质，令3x﹣5＝1，则x＝2，此时f（2）＝1，即恒过定点（2，1）．故选：（2，1）．【点评】本题主要考查了对数函数性质的应用，属于基础题．14．（2025•宝安区模拟）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转π4后得到的曲线仍为一个函数的图象的有①③④①f（x）=3x②f（x）＝x2；③f（x）＝ln（x+1）（x≥0）；④f(【考点】指数函数的图象；对数函数的图象．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；逻辑思维．【正确答案】①③④【分析】结合对数函数和指数函数图象变换的性质判断即可．解：对于①，f(x)=3x的图象与直线y＝x+b对于②，f（x）＝x2的图象与y＝x有两个交点（0，0），（1，1），故②错误；对于③，f（x）＝ln（x+1），f′(x)=1x+1，f′（0）＝1，所以f（x）＝ln（f（x）＝ln（x+1）（x≥0）的图象与直线y＝x+b（b∈R）最多只有一个交点，故③正确；对于④，f(x)=(12)x的图象与直线y＝x故①③④．【点评】本题考查对数函数和指数函数图象的性质及图象变换，属于基础题．15．（2024秋•合肥期末）若幂函数f(x)=(m2−3m+3)【考点】由幂函数的单调性求解参数．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】2．【分析】根据幂函数的定义与性质，列式求解即可．解：幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm2−m所以m2−3m故2．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质应用问题，是基础题．16．（2025•四川校级三模）记函数f(x)=2−x+3x+1的定义域为A，g（x）＝lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]（a＜1）的定义域为B．若B⊆【考点】求对数函数的定义域；集合的包含关系的应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】(−∞，−2]∪[1【分析】由2−x+3x+1≥0x+1≠0，得A＝{x|x＜﹣1或x≥1}，根据其数大于零，求出函数g（x）的定义域，再由B解：由2−x+3x+1≥0x+1≠0，解得x＜﹣1或x≥1，即A∵a＜1，∴a+1＞2a，由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，得2a＜x＜a+1，即B＝（2a，a+1），∵B⊆A，∴a+1≤﹣1或2a≥1，解得a≤﹣2或a≥12∴a≤﹣2或12即实数a的取值范围是(−∞，−2]∪[1故(−∞，−2]∪[1【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查集合间关系的应用，是中档题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•铜陵期末）已知集合A={（1）若0∈B，3∉B，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【考点】求对数函数的定义域；集合交集关系的应用．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【正确答案】（1）a∈[1，2）；（2）a∈（0，2）．【分析】（1）根据0∈B，3∉B得到不等式，求出答案；（2）解不等式，得到A，B，根据交集结果得到B⊆A，从而得到不等式，求出答案．解：（1）由题可得：a＞0解得a∈[1，2）；（2）由题意得3−xx+1x2﹣2x+1﹣a2≤0，a＞0，解得1﹣a≤x≤1+a，故A＝（﹣1，3），B＝[1﹣a，1+a]，又A∩B＝B，则B⊆A，则a＞01−a＞−1【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．18．（2025春•宜春月考）已知函数f(x)=lg(x+1)+116−x2的定义域为集合（1）若a＝﹣4，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围．【考点】对数函数的定义域；求集合的交集；必要不充分条件的应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】（1）A∩B＝（﹣1，0]；（2）（﹣2，8）．【分析】（1）由x+1＞016−x（2）由B是A的真子集．，分类讨论构造不等式求解即可；解：（1）函数f(则x+1＞016−x2＞0若a＝﹣4，则B＝{x|2x2+4x≤0}＝[﹣2，0]，所以A∩B＝（﹣1，0]．（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B是A的真子集．因为B＝{x|2x2﹣ax≤0}＝{x|（2x﹣a）x≤0}，当a＞0时，B=[0，a2]，又所以a2＜4，又a＞0，所以0＜当a＜0时，B=[a2，0]，又所以a2＞−1，又a＜0，所以﹣2＜当a＝0时，B＝{0}，此时B是A的真子集，符合题意；综上，a的取值范围是（﹣2，8）．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．19．（2025春•重庆月考）已知函数f（x）＝xa，g（x）＝logax，（a＞0，且a≠1）．（1）p（x）＝f（x）g（x），讨论p（x）的单调性；（2）a＞1，h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）恰有一个零点，求aa的值．【考点】求指数函数及指数型复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；运算求解．【正确答案】（1）答案见解析；（2）e1【分析】（1）求函数p（x）＝f（x）g（x）的导数，利用导数讨论p（x）的单调性即可；（2）求h（x）＝f（x）﹣g（x）的导数，利用导数判断函数的单调性，求出h（x）恰有一个零点时aa的值即可．解：（1）由p（x）＝xalogax，x＞0，得p′（x）＝axa﹣1logax+xa−1lna=xa﹣1（a当0＜a＜1时，x∈（0，a−1alna），p'（x）＞0，px∈（a−1alna，+∞），p'（x）＜0，p当a＞1时，x∈（0，a−1alna），p'