2026年高考数学一轮专题训练：相等关系与不等关系 含答案

/相等关系与不等关系一．选择题（共8小题）1．（2025春•浙江期中）设a，b∈R，若﹣1＜b＜a＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．a2＜b2 B．1a＜1b C．ab＜b2 D．2．（2025春•莲湖区期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R，且ab≠0），若z−2z+2A．9 B．4 C．1 D．93．（2025•邯郸模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|log2（x+2）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|﹣1＜x≤2} D．{x|﹣1＜x＜2}4．（2025•广东模拟）若x＞0，y＞0，且x+y＝xy，则1xA．2 B．22 C．3 D．5．（2025春•琼山区校级月考）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（）A．ab＞abC．ab+m6．（2025•辽宁二模）若a+i1+i=x+yi（i为虚数单位，a，A．−14 B．14 C．−7．（2025春•雁塔区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|3x﹣1＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，0） B．（0，2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣1，2）8．（2025•延平区校级模拟）已知3x×9y＝3xy，且x，y＞0，则x+2y的最小值是（）A．22 B．4 C．42二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•内江三模）设正实数m、n满足m+n＝2，则（）A．mn的最大值为1 B．m2+n2的最小值为2 C．m+n的最小值为2 D．1（多选）10．（2025春•北仑区校级期中）下列说法正确的有（）A．a+1B．已知a＞0，b＞0，ab＝a+b+3，则ab的取值范围是[9，+∞） C．已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2+1D．已知a＞b＞0，1a−b+1（多选）11．（2025•聊城二模）已知实数a，b满足ab＞0，则（）A．a+b＜ab B．baC．若a＞b，则1aD．若a＜b，m＞0，则a（多选）12．（2025•山东模拟）已知实数a，b满足a＞|b+1|，则下列不等关系一定成立的是（）A．2a＞2b+1 B．a2＞4b C．a2＞b2+1 D．a2＞b|b+1|三．填空题（共4小题）13．（2025•平凉校级模拟）已知m＞0，n＞0，且m+n＝1，则33m+214．（2025•西峰区校级二模）设a，b为正实数，若a+4b＝4，则a+2bab的最小值为，此时a15．（2025春•徐州期中）在△ABC中，O是BC边上靠近B的四等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设AB→=mAM→，AC→=nAN→，其中m＞0，n＞0，则16．（2025春•宝山区校级期中）已知a、b∈R，若不等式4x2≤ax+b的解集为[l，+∞），则|a+四．解答题（共4小题）17．（2024秋•合肥期末）已知集合A={x|13≤3x−4（1）求A∪B；（2）已知C＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}，若x∈C是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（2025春•东港区校级月考）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．（1）用AB→和AC→分别表示AM→，AN（2）若直线EF交AB于点E，交AM于点G，交AC于点F，AE→=λAB→，AF→=μAC→（λ，19．（2025•泉州模拟）已知正实数a，b满足1a+1b=m，若20．（2025•虹口区二模）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝2x，x∈R．（1）解不等式：log2[f（x）﹣1]+log2[f（x）]≤1；（2）若存在实数x0∈[0，π2]，使得f（msinx0），f（2+sin2x0），f（mcos

相等关系与不等关系答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2025春•浙江期中）设a，b∈R，若﹣1＜b＜a＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．a2＜b2 B．1a＜1b C．ab＜b2 D．【考点】等式与不等式的性质．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【正确答案】D【分析】结合特殊值法，以及作差法，即可求解．解：﹣1＜b＜a＜0，则a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＜0，即a2＜b2，故A正确；1a−1b=ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，故C正确；令b＝﹣0.6，a＝﹣0.5，满足﹣1＜b＜a＜0，但a+b＜﹣1，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查不等式大小的比较，属于基础题．2．（2025春•莲湖区期中）已知复数z＝a+bi（a，b∈R，且ab≠0），若z−2z+2A．9 B．4 C．1 D．9【考点】运用基本不等式求最值；纯虚数．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；不等式；运算求解．【正确答案】D【分析】结合复数的基本运算及概念先求出a，b的关系，然后结合基本不等式即可求解．解：因为复数z＝a+bi（a，b∈R，且ab≠0），若z−2则a2+b2＝4，1a2+4b当且仅当b2＝2a2，即a2=43，故选：D．【点评】本题主要考查了复数的基本运算及概念，还考查了基本不等式求解最值，属于基础题．3．（2025•邯郸模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|log2（x+2）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤1} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|﹣1＜x≤2} D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【正确答案】D【分析】利用对数函数的性质得到B＝{x|﹣2＜x＜2}，再利用交集的定义求解即可．解：由log2（x+2）＜2可得﹣2＜x＜2，则B＝{x|﹣2＜x＜2}，所以A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．4．（2025•广东模拟）若x＞0，y＞0，且x+y＝xy，则1xA．2 B．22 C．3 D．【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．【正确答案】B【分析】由题意可得y的表达式，由基本不等式可得1x解：因为x＞0，y＞0，且x+y＝xy，可得y=xx−1所以y﹣1=xx−1所以1x−1+2y−1=当且仅当1x−1=2（x﹣1），即x所以1x−1+故选：B．【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．5．（2025春•琼山区校级月考）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（）A．ab＞abC．ab+m【考点】等式与不等式的性质．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【正确答案】D【分析】加糖前糖的浓度ab，加入m克糖之后糖的浓度a+m解：这一事实表示为一个不等式为ab下面证明不等式成立：∵a=m又∵b＞a＞0，m＞0，∴b（b+m）＞0，m（a﹣b）＜0即m(∴ab−a故选：D．【点评】本题考查不等式应用，利用作差的方法比较代数式的大小，属于基础题．6．（2025•辽宁二模）若a+i1+i=x+yi（i为虚数单位，a，A．−14 B．14 C．−【考点】运用基本不等式求最值；复数的相等．【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．【正确答案】B【分析】由复数的运算性质可得x，y的表达式，进而可得xy的表达式，再由二次函数的性质可得xy的最大值．解：因为a+i1+i=x所以(a+i)(1−即a+12+1−a2所以x=a+12，所以xy=14（1﹣a2）≤1所以xy的最大值为14故选：B．【点评】本题考查复数的运算性质的应用及二次函数的最值的求法，属于基础题．7．（2025春•雁塔区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|3x﹣1＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，0） B．（0，2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣1，2）【考点】指、对数不等式的解法；求集合的并集．【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．【正确答案】C【分析】由一元二次不等式解出集合A，由指数函数的运算解出集合B，再求并集．解：B＝{x|3x﹣1＞0}＝{x|x＞0}，A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，所以A∪B＝（﹣1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．8．（2025•延平区校级模拟）已知3x×9y＝3xy，且x，y＞0，则x+2y的最小值是（）A．22 B．4 C．42【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【正确答案】D【分析】条件3x×9y＝3xy结合指数函数性质可得x+2y＝xy，再利用基本不等式求x+2y的最小值．解：由3x×9y＝3x+2y＝3xy，且x，y＞0，可得x+2y＝xy，故x+2即x+2y≥8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号．故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•内江三模）设正实数m、n满足m+n＝2，则（）A．mn的最大值为1 B．m2+n2的最小值为2 C．m+n的最小值为2 D．1【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【正确答案】ABD【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．解：因为正实数m、n满足m+n＝2，所以mn≤(m+n2)2=因为m2+n2≥2×(m+m+n≤2×m+n21m+4n=12（1m+4n）（m+n当且仅当n＝2m，即m=23，n=4故选：ABD．【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）10．（2025春•北仑区校级期中）下列说法正确的有（）A．a+1B．已知a＞0，b＞0，ab＝a+b+3，则ab的取值范围是[9，+∞） C．已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2+1D．已知a＞b＞0，1a−b+1【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【正确答案】BD【分析】举出反例检验选项A，结合基本不等式及相关结论检验选项BCD．解：当a＜0时，A显然错误；因为a＞0，b＞0，ab＝a+b+3≥2ab+3，当且仅当a＝则ab≥9，B正确；a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2+1a+4b2+12b=a＝1+2+2ba+a2b≥3+22ba⋅a因为a＞b＞0，1a令m＝a﹣b，n＝a+b，则1m+1n=则5a﹣4b=9m+n2=18（9m+n）（1m当且仅当n＝3m，即m=13，n＝1时取等号，故选：BD．【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（2025•聊城二模）已知实数a，b满足ab＞0，则（）A．a+b＜ab B．baC．若a＞b，则1aD．若a＜b，m＞0，则a【考点】等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．【正确答案】BC【分析】由已知结合不等式性质及基本不等式检验各选项即可判断．解：因为实数a，b满足ab＞0，当a＜0，b＜0时，A显然错误；ba+ab≥2ab当a＞b，ab＞0时，1a−1b=若a＝﹣2，b＝﹣1，m＝2时，满足a＜b，m＞0，但ab=2，a+故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式性质及基本不等式的应用，属于基础题．（多选）12．（2025•山东模拟）已知实数a，b满足a＞|b+1|，则下列不等关系一定成立的是（）A．2a＞2b+1 B．a2＞4b C．a2＞b2+1 D．a2＞b|b+1|【考点】不等关系与不等式．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；不等式；运算求解．【正确答案】ABD【分析】由题意整理不等式，两边平方，由不等式的性质判断出A，B，C的真假；分b为非负数和负数两种情况讨论，判断出D的真假．解：对于非零实数a，b满足a＞|b+1|，则a2＞（b+1）2，即a2＞b2+2b+1，当b＞0时，a2＞b2+1不成立，故C不一定成立；因为a＞|b+1|≥b+1，则2a＞2b+1，故A一定成立；因为a＞|b+1|，所以a2＞b2+2b+1≥2b+2b＝4b，即a2＞4b，故B成立；对于D：因为a＞|b+1|，显然a≥0，当b≥0时，可得a＞b，所以a2＞b|b+1|，当b＜0时，则a2≥0＞b|b+1|，综上所述：a2＞b（|b+1|），故D一定成立．故选：ABD．【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025•平凉校级模拟）已知m＞0，n＞0，且m+n＝1，则33m+2n+【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【正确答案】135【分析】利用代换1法来，结合基本不等式，即可求解．解：m＞0，n＞0，且m+n＝1，设m+n+k＝λ（3m+2n）+μ（1+3n），可得1=3λ解得λ=所以m+n+所以3=1=2+1当且仅当3(1+3n)3故135【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．14．（2025•西峰区校级二模）设a，b为正实数，若a+4b＝4，则a+2bab的最小值为22，此时a【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．【正确答案】22；2．【分析】由题意及基本不等式ab的范围，再由二次函数的性质可得a+2bab解：由a，b为正实数，a+4b＝4，得4＝a+4b≥2a⋅4b=4ab，当且仅当a因此0＜ab≤1，又因为a+2bab设x＝ab∈（0，1]，令y=1x+1x=因为该函数在（0，1]上单调递减，所以当x＝1时，y取得最小值，ymin=2所以当ab＝1，且a+4b＝4，即a＝2，b=12时，a+2故22；2．【点评】本题考查基本不等式的性质的应用及二次函数的性质的应用，换元法的应用，属于中档题．15．（2025春•徐州期中）在△ABC中，O是BC边上靠近B的四等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设AB→=mAM→，AC→=nAN→，其中m＞0，n＞0，则lnm+lnn【考点】运用基本不等式求最值；用平面向量的基底表示平面向量．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；不等式；运算求解．【正确答案】ln43【分析】由已知结合向量线性运算及向量共线定理可求得3m+n＝4，然后结合对数运算性质及基本不等式即可求解．解：O是BC边上靠近B的四等分点，AB→=mAM→，AC→=nAN则AO=3因为M，O，N共线，所以3m4+nm因为3mn≤(3m+n2)2=4，当且仅当3m所以mn的最大值为43则lnm+lnn＝lnmn的最大值为ln43故ln43【点评】本题主要考查了向量共线条件及基本不等式求解最值，属于基础题．16．（2025春•宝山区校级期中）已知a、b∈R，若不等式4x2≤ax+b的解集为[l，+∞），则|a+bi|（【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；综合法；数系的扩充和复数；不等式；运算求解．【正确答案】[22，+∞）．【分析】根据题意，由不等式解集与方程根的关系可得a+b＝4，则有a2+b2＝a2+（4﹣a）2，结合二次函数的性质求出a2+b2的最小值，结合复数模的定义分析可得答案．解：根据题意，若不等式4x2≤ax+b的解集为[l，+∞），则方程4则有a+b＝4，则a2+b2＝a2+（4﹣a）2＝2a2﹣8a+16＝2（a﹣2）2+8≥8，当且仅当a＝2时等号成立，故|a+bi|=a2+b2的最小值为22，即|a故[22，+∞）．【点评】本题考查不等式的解法，涉及复数的性质和应用，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•合肥期末）已知集合A={x|13≤3x−4（1）求A∪B；（2）已知C＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}，若x∈C是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法；解一元二次不等式；充分不必要条件的应用．【专题】集合思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解．【正确答案】（1）{x|x≥3}；（2）{m|m＞5}．【分析】（1）化简集合A、B，根据并集的定义求解即可；（2）化简集合C，根据题意知C是B的真子集，由此求解即可．解：（1）不等式13≤3x﹣4≤9，等价于﹣1≤x﹣4≤2，解得3≤x≤6，即A＝{x|3≤不等式log3（1+2x）＞2，等价于1+2x＞9，解得x＞4，即B＝{x|x＞4}，所以A∪B＝{x|x≥3}；（2）因为C＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|m﹣1≤x≤m+1}，且x∈C是x∈B的充分不必要条件，所以C是B的真子集，即m﹣1＞4，解得m＞5，所以实数m的取值范围是{m|m＞5}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．18．（2025春•东港区校级月考）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．（1）用AB→和AC→分别表示AM→，AN（2）若直线EF交AB于点E，交AM于点G，交AC于点F，AE→=λAB→，AF→=μAC→（λ，【考点】运用基本不等式求最值；用平面向量的基底表示平面向量．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【正确答案】（1）AN→=34AB（2）1+2【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；（2）先将AG→用AE→，AF→表示，再根据E，F，G解：（1）在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点，AM→