2026年高考数学一轮专题训练：一、二次函数及方程、不等式 含答案

/高考数学一轮复习一、二次函数及方程、不等式一．选择题（共8小题）1．（2024秋•兰州期中）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，若a＜b＜c，且a+b+c＝0，则f（x）的图象可能是（）A． B． C． D．2．（2024秋•南通月考）不等式﹣x2+2x＞0的解集为（）A．{x|x＜0或x＞2} B．{x|x＜﹣2或x＞0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜0}3．（2024秋•宝山区校级月考）设f（x）＝ax2﹣x﹣c（常数a，c∈R且a≠0），若关于x的不等式f（x）＞0的解集为区间（﹣2，1），则函数y＝f（﹣x）的大致图像为（）A． B． C． D．4．（2024秋•朝阳区校级月考）关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝a有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的说法是（）A．当a＝0时，x1＝1，x2＝4 B．当a＞0时，1＜x1x2＜4 C．当a＞0时，x1＜1＜4＜x2 D．当−945．（2024•房山区开学）已知集合A={(x，y)|(x−y)(A．1 B．98 C．2 D．6．（2024•金安区校级模拟）已知集合P＝{（x，y）|x4+ax﹣2024＝0且xy＝2024}，若P中的点均在直线y＝2024x的同一侧，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2023）∪（2023，+∞） B．（2023，+∞） C．（﹣∞，﹣2024）∪（2024，+∞） D．（2024，+∞）7．（2023秋•日照期末）已知实数x、y满足x|x|4+A．(1，5+10]C．[2，22+58．（2023秋•眉山期末）若关于x的不等式ax−2a＜0的解集为（2，+∞），则关于x的不等式2x2﹣（a+4）A．{x|x＜−C．{x|x二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•锡山区校级期中）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（﹣∞，0]，若关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），则下列选项正确的为（）A．a2+4b＝0 B．a＝m﹣3 C．4b+（2m﹣3）2＝0 D．c（多选）10．（2024秋•衢州期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（）A．方程x2+x﹣2＝0是“和谐方程” B．若关于x的方程x2+ax+8＝0是“和谐方程”，则a＝±6 C．若关于x的方程ax2﹣3ax+c＝0（a≠0）是“和谐方程”，则y＝ax2+3ax+c的函数图象与x轴交点的坐标是（﹣1，0）和（﹣2，0） D．若点（m，n）在反比例函数y=4x的图象上，则关于x（多选）11．（2024秋•沈阳期中）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，则（）A．函数y＝ax2+bx+c有最大值 B．5aC．6b＝﹣5c D．bx2+a|x|﹣c＞0的解集为(−∞，−（多选）12．（2024秋•浙江期中）已知ax2+bx+c＜0的解集为{x|α＜x＜β＜0}，则g(A．(−∞，1β) B．(1β，三．填空题（共4小题）13．（2024秋•天津期中）若不等式kx2+3kx+4＞0（x∈R）恒成立，则实数k的取值范围为．14．（2024秋•砀山县期中）已知关于x的不等式x2﹣（a+4）x+2a+5≥0在（﹣∞，2）上恒成立，则a的最小值为．15．（2024秋•巴音郭楞州校级期中）若f（x）＝x2+2ax+2在（﹣∞，4]上是减函数，则a的取值范围是．16．（2024秋•宝山区校级期中）已知f（x）＝x2+ax+b（a、b∈R），记集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f（f（x）+1）≤0}．若A＝B≠∅，则a的取值范围为．四．解答题（共4小题）17．（2025•开福区校级开学）已知函数y＝ax2+（1﹣a）x+a（a∈R）．（1）若ax2+（1﹣a）x+a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a＜3a+2．18．（2024秋•固始县期末）在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x），某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x台（x≥1，x∈N*）这种设备的收入函数为R(x)=（1）求收入函数R（x）的最小值；（2）求成本函数C（x）的边际函数MC（x）的最大值；（3）求生产x台光刻机的这种设备的的利润z（x）的最小值．19．（2024秋•广安校级期末）已知函数f（x）＝（a+1）x2﹣x+1．（1）若对∀x∈[1，3]，f（x）≥0，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）≤x2+ax的解集．20．（2024秋•西城区校级期末）在平面内，有m个椭圆和n条抛物线（m，n∈N*），任意两条曲线均存在公共点，且任意三条及以上的曲线无公共点．设所有公共点个数为V．这些公共点将椭圆和抛物线共分割为L条曲线段（或曲射线），上述图形将平面分割为S个互不连通的区域．如图，一个椭圆与一条抛物线相交，此时S＝4．已知对于任意m，n∈N*，V+S﹣L＝1成立．（Ⅰ）当m＝n＝1时，直接写出S的最大值及此时V和L的值；（Ⅱ）当m＝n＝2时，是否存在V，使得S＝25？若存在，求出V的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对于给定的m，n∈N*，设所有S的最大值为S（m，n）．当S（m，n）＝221+n时，试求出m+n的值．

高考数学一轮复习一、二次函数及方程、不等式答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2024秋•兰州期中）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，若a＜b＜c，且a+b+c＝0，则f（x）的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】二次函数的性质与图象．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【正确答案】A【分析】先由题意确定a＜0＜c，再利用二次函数性质逐项判断．解：若a＜b＜c，且a+b+c＝0，则a＜0＜c，故f（x）＝ax2+bx+c开口向下，故BD错误；又f（0）＝c＞0，故C错误，A正确．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础题．2．（2024秋•南通月考）不等式﹣x2+2x＞0的解集为（）A．{x|x＜0或x＞2} B．{x|x＜﹣2或x＞0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜0}【考点】解一元二次不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【正确答案】C【分析】求出对应方程的根，结合二次不等式的解法求解即可．解：原不等式可化为x2﹣2x＜0，由x2﹣2x＝0得x＝0或2，所以原不等式解为0＜x＜2．故选：C．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．3．（2024秋•宝山区校级月考）设f（x）＝ax2﹣x﹣c（常数a，c∈R且a≠0），若关于x的不等式f（x）＞0的解集为区间（﹣2，1），则函数y＝f（﹣x）的大致图像为（）A． B． C． D．【考点】二次函数的图象及其对称性．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】B【分析】根据题意，由不等式的解集与方程根的关系取出a、c的值，即可得f（x）的解析式，进而可得f（﹣x）的解析式，由二次函数的性质分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣x﹣c（常数a，c∈R且a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为区间（﹣2，1），即方程ax2﹣x﹣c＝0的两个为﹣2和1，且a＜0，则a＜01a=−2+1ca=(−2)×1，解可得a＝﹣1，c＝2，则f（故f（﹣x）＝﹣x2+x+2，是开口向下的二次函数，与x轴的交点为（﹣1，0）和（2，0），分析选项，B符合．故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质和应用，涉及函数图象的变换，属于中档题．4．（2024秋•朝阳区校级月考）关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝a有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的说法是（）A．当a＝0时，x1＝1，x2＝4 B．当a＞0时，1＜x1x2＜4 C．当a＞0时，x1＜1＜4＜x2 D．当−94【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．【正确答案】B【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可．解：对于A，当a＝0时，方程（x﹣1）（x﹣4）＝0的二实根为x1＝1，x2＝4，A正确；对于B，方程（x﹣1）（x﹣4）＝a，即x2﹣5x+4﹣a＝0，Δ＝25﹣4（4﹣a）＞0，解得a＞−当a＞0时，x1x2＝4﹣a＜4，B错误；对于C，令f（x）＝（x﹣1）（x﹣4），依题意，x1，x2是函数y＝f（x）的图象与直线y＝a交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数y＝f（x）的图象与直线y＝a，如图，观察图象知，当a＞0时，x1＜1＜4＜x2，C正确；对于D，当−94＜a＜0故选：B．【点评】本题考查函数与方程综合应用，属于中档题．5．（2024•房山区开学）已知集合A={(x，y)|(x−y)(A．1 B．98 C．2 D．【考点】简单线性规划．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．【正确答案】B【分析】由集合A，B的元素满足的条件，找出A∩B所对应的图形，再借助图形的对称性即可求出面积．解：集合B={(x，y)|12≤x≤2，12集合A＝{（x，y）|（x﹣y）（xy﹣1）≤0}＝{x|x−y≥0因此集合A∩B表示的平面图形为图中AEB部分和DCE部分，由图形的对称性知：所求图象可以补成图中三角形ABC，所以S=故选：B．【点评】本题主要考查了图形对称性在面积求解中的应用，属于中档题．6．（2024•金安区校级模拟）已知集合P＝{（x，y）|x4+ax﹣2024＝0且xy＝2024}，若P中的点均在直线y＝2024x的同一侧，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2023）∪（2023，+∞） B．（2023，+∞） C．（﹣∞，﹣2024）∪（2024，+∞） D．（2024，+∞）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】A【分析】依题意可得a=−x3+2024xy=2024x，令f(x)=−x3+2024解：依题意集合P即为关于x，y的方程组x4+ax所以a=−x3令f(由y=2024xy=2024即函数y＝2024x与y=又f(−x)=−x3因为y＝﹣x3与y=所以f(x)=−依题意y＝a与y=−x3+2024只需a＞f（1）或a＜f（﹣1），即a＞2023或a＜﹣2023，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2023）∪（2023，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了函数单调性和参数的计算，属于中档题．7．（2023秋•日照期末）已知实数x、y满足x|x|4+A．(1，5+10]C．[2，22+5【考点】简单线性规划．【专题】分类讨论；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【正确答案】B【分析】化简曲线x|x|4+y|y|=1的方程，并作出曲线x|x|4解：当x≥0，y≥0时，曲线方程可化为x2当x≤0，y≥0时，曲线方程可化为y2当x≤0，y≤0时，则x|x|当x≥0，y≤0时，曲线方程可化为x2作出曲线x|双曲线x24−y2=1、令z＝x+2y，其中点P（x，y）在曲线x|x|当直线z＝x+2y与椭圆x24+由z=x+2yx24+y由Δ＝4z2﹣8（z2﹣4）＝32﹣4z2＝0，因为z＞0，解得z=2所以，0＜x+2y≤22所以|x+2y+2|的取值范围是(2，2+22故选：B．【点评】本题考查了圆锥曲线的应用问题，圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．8．（2023秋•眉山期末）若关于x的不等式ax−2a＜0的解集为（2，+∞），则关于x的不等式2x2﹣（a+4）A．{x|x＜−C．{x|x【考点】一元二次不等式及其应用；其他不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式；运算求解．【正确答案】B【分析】关于α的不等式ax−2a＜0的解集为（2，+∞），得出a＝﹣1，代入2x2﹣（a+4）解：因为ax−所以ax＜由于关于x的不等式ax−所以a＜0，即x＞所以2a解得a＝﹣1，所以关于x的不等式2x2﹣（a+4）x+2a＜0，即为2x2﹣3x﹣2＜0，解得−1所以不等式的解集为{x故选：B．【点评】本题考查不等式的解法，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•锡山区校级期中）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（﹣∞，0]，若关于x的不等式f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），则下列选项正确的为（）A．a2+4b＝0 B．a＝m﹣3 C．4b+（2m﹣3）2＝0 D．c【考点】二次函数的性质与图象．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】ACD【分析】利用配方法求出函数f（x）值域可判断A；f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1）可判断B；利用韦达定理可判断CD．解：函数f(因为函数f（x）＝﹣x2+ax+b的值域为（﹣∞，0]，所以a24+b=0，即a2对于B，由f（x）＞c﹣1得x2﹣ax﹣b+c﹣1＜0，因为f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），所以m﹣4，m+1为x2﹣ax﹣b+c﹣1＝0的根，所以a＝m﹣4+m+1＝2m﹣3，故B错误；对于C，由a24+b=0，a＝2m对于D，由a＝2m﹣3得m=因为f（x）＞c﹣1的解集为（m﹣4，m+1），所以m﹣4，m+1为x2﹣ax﹣b+c﹣1＝0的根，所以（m﹣4）（m+1）＝c﹣b﹣1，得m2所以(a+32)2故选：ACD．【点评】本题主要考查了二次函数的性质的应用，二次函数性质及二次不等式关系的应用，属于中档题．（多选）10．（2024秋•衢州期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（）A．方程x2+x﹣2＝0是“和谐方程” B．若关于x的方程x2+ax+8＝0是“和谐方程”，则a＝±6 C．若关于x的方程ax2﹣3ax+c＝0（a≠0）是“和谐方程”，则y＝ax2+3ax+c的函数图象与x轴交点的坐标是（﹣1，0）和（﹣2，0） D．若点（m，n）在反比例函数y=4x的图象上，则关于x【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质与图象．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．【正确答案】BCD【分析】A，通过解方程得到该方程的根，结合“和谐方程”的定义进行判断；B，设x2＝2x1，结合方程根与系数关系判断结论；C，根据“和谐方程”的定义，结合二次函数的性质即可判断结论；D，若点（a，b）在函数y＝2x的图象上，得到b＝2a，然后解方程mx2+32x+n＝0，即可判断结论．解：A，由x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2，x2≠2x1，则方程x2+x﹣2＝0不是和谐方程，A错误；B，关于x的方程x2+ax+8＝0是和谐方程，设x2＝2x1，则x1•x2＝2x12=8，∴当x1＝2时，x2＝4，当x1＝﹣2时，x2＝﹣4，∴x1+x2＝﹣a＝±6，∴a＝±6，故B正确；C，关于x的方程ax2﹣3ax+c＝0（a≠0）是和谐方程，∴设x2＝2x1，∵抛物线y＝ax2+3ax+c（a≠0）的对称轴是直线x=−3∴x1+x2＝﹣3，解得x1＝﹣1，x2＝﹣2，∴抛物线y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）与x轴的交点的坐标是（﹣1，0）和（﹣2，0），故C正确；由点（m，n）在反比例函数y=4x关于x的方程mx2+32x+n=0中，Δ＝18﹣4则x1=−22m，x2=−2m，此时x1＝2故选：BCD．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了二次方程，二次函数性质的应用，属于中档题．（多选）11．（2024秋•沈阳期中）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，则（）A．函数y＝ax2+bx+c有最大值 B．5aC．6b＝﹣5c D．bx2+a|x|﹣c＞0的解集为(−∞，−【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【正确答案】ABD【分析】由一元二次不等式解集即可知a＜0，即函数y＝ax2+bx+c有最大值，A正确；由−1＜5＜3可知f(5)=5a+5b+c＞0，即B正确；利用韦达定理可得b＝﹣2a，c解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，所以f（x）＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣3），a＜0，函数y＝ax2+bx+c开口向下，有最大值，A正确；又−1＜5＜3，函数值f(又﹣1，3是关于x的二次方程ax2+bx+c＝0的两根，则−1+3=−b所以b＝﹣2a，c＝﹣3a，则3b＝2c，C错误；不等式bx2+a|x|﹣c＞0即为﹣2ax2+a|x|+3a＞0，即2x2﹣|x|﹣3＞0，解得|x|＜﹣1或|x|＞3x∈(−∞，−32故选：ABD．【点评】本题考查一元二次不等式的应用，属于中档题．（多选）12．（2024秋•浙江期中）已知ax2+bx+c＜0的解集为{x|α＜x＜β＜0}，则g(A．(−∞，1β) B．(1β，【考点】解一元二次不等式；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【正确答案】BD【分析】由一元二次不等式的解集得到α，β为方程ax2+bx+c＝0的两个根，再得到韦达定理，利用韦达定理和分式不等式将所求不等式化简，再利用“穿针引线法”求解即可．解：由题意可得a＞0，c＞0，且α，β为方程ax2+bx+c＝0的两个根，因为α＜β＜0，所以0＞1则α+又g(x)=(等价于g(等价于g(所以不等式的解为1β＜x故选：BD．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，韦达定理，穿根法求高次不等式的解法，是中档题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•天津期中）若不等式kx2+3kx+4＞0（x∈R）恒成立，则实数k的取值范围为[0，169【考点】一元二次不等式恒成立问题．【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】[0，16【分析】分k是否等于0进行讨论，然后结合二次函数恒成立问题依次列出不等式即可求解．解：不等式kx2+3kx+4＞0（x∈R）恒成立，①若k＝0，4＞0恒成立，故k＝0满足题意；②若k≠0，不等式kx2+3kx+4＞0（x∈R）恒成立，则当且仅当k＞0Δ=9k2−16k综合①②，实数k的取值范围为[0，16故[0，16【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．14．（2024秋•砀山县期中）已知关于x的不等式x2﹣（a+4）x+2a+5≥0在（﹣∞，2）上恒成立，则a的最小值为﹣2．【考点】二次函数的性质与图象．【专题】函数思想；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【正确答案】﹣2【分析】分离常数后，不等式可化为a≥解：由不等式x2﹣（a+4）x+2a+5≥0在上恒成立，得在上恒成立，所以，所以a≥又(2−x所以−[(2−x)+12−x所以，故的最小值为﹣2．故﹣2．【点评】本题考查了基本不等式，要合理利用基本不等式解题，注意等号成立的条件．15．（2024秋•巴音郭楞州校级期中）若f（x）＝x2+2ax+2在（﹣∞，4]上是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，﹣4]．【考点】二次函数的性质与图象．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【正确答案】见试题解答内容【分析】根据二次函数的图象和性质，可得f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，有﹣a≥4，解得答案．解：由f（x）＝x2+2ax+2＝（x+a）2+2﹣a2，所以对称轴为x＝﹣a，又f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，有﹣a≥4，所以a≤﹣4．故a的取值范围是（﹣∞，﹣4]，故（﹣∞，﹣4]．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．16．（2024秋•宝山区校级期中）已知f（x）＝x2+ax+b（a、b∈R），记集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f（f（x）+1）≤0}．若A＝B≠∅，则a的取值范围为[﹣2，2]．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；解一元二次不等式．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【正确答案】[﹣2，2]．【分析】根据题意设方程x2+ax+b＝0的两个根分别为x1、x2，得到参数之间的关系，有两个集合相等得出x2＝1，x1解：因为A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f（f（x）+1）≤0}，若A＝B≠∅，则Δ＝a2﹣4b≥0，设方程x2+ax+b＝0的两个根分别为x1、x2，且x1≤x2，则x1+x2＝﹣a，x1•x2＝b，所以A＝{x|f（x）≤0}＝{x|x1≤x≤x2}，由f（f（x）+1）≤0，得x1≤f（x）+1≤x2，即x1﹣1≤f（x）≤x2﹣1，因为A＝B，所以x2﹣1＝0且x1因为x2﹣1＝0，解得x2＝1，因为x1+x2＝﹣a，所以x1+1＝﹣a，因为x1•x2＝b，所以x1＝b＝﹣a﹣1，所以x1−1≤4bΔ＝a2﹣4b≥0，化为a2+4a+4≥0，x1≤x2，化为﹣a﹣1≤1，即a2≤4a2+4所以a的取值范围为[﹣2，2]．故[﹣2，2]．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025•开福区校级开学）已知函数y＝ax2+（1﹣a）x+a（a∈R）．（1）若ax2+（1﹣a）x+a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a＜3a+2．【考点】一元二次不等式恒成立问题；解一元二次不等式．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】（1）{a（2）当a＝0时，解集为{x|x＜2}；当a＞0时，解集为{x当−13＜a＜0时，解集为{x当a=−13时，解集为{x当a＜−13时，解集为{【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论a＝0、a≠0，结合二次函数的性质列不等式求参数范围；（2）由题设有[ax+（a+1）]（x﹣2）＜0，应用分类讨论求对应解集．解：（1）由题意，ax2+（1﹣a）x+a≥0对一切实数x恒成立，当a＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意；当a≠0时，则有a＞0Δ=(1−a故实数a的取值范围是{a（2）不等式ax2+（1﹣a）x+a＜3a+2等价于ax2+（1﹣a）x﹣2（a+1）＜0，即[ax+（a+1）]（x﹣2）＜0，当a＝0时，不等式可化为x﹣2＜0，解集为{x|x＜2}；当a≠0时，ax2+（1﹣a）x﹣2（a+1）＝0的两根为x1＝﹣1−1a，x当a＞0时，不等式解集为{x当−13＜a＜0时，不等式解集为{x当a=−13时，不等式解集为{x当a＜−13时，不等式解集为{综上所述，当a＝0时，解集为{x|x＜2}；当a＞0时，解集为{x当−13＜a＜0时，解集为{x当a=−13时，解集为{x当a＜−13时，解集为{【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，还考查了含参数二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．18．（2024秋•固始县期末）在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）＝f（x+1）﹣f（x），某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x台（x≥1，x∈N*）这种设备的收入函数为R(x)=（1）求收入函数R（x）的最小值；（2）求成本函数C（x）的边际函数MC（x）的最大值；（3）求生产x台光刻机的这种设备的的利润z（x）的最小值．【考点】二次函数的应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【正确答案】（1）48千万元；（2）MC(（3）z（x）min＝7（千万元）．【分析】（1）利用基本不等式求解函数最小值即可．（2）求出边际函数MC（x）的解析式，然后利用函数的单调性求解最值．（3）求出利润函数z（x）的解析式，根据二次函数的性质求解最值．解：（1）∵R(x)=x2+16x∴R(x)≥2x2∴当x＝2时，R（x）min＝48（千万元）．（2）MC（x）＝C（x+1）﹣C（x），1≤x≤9，x∈N*．∴MC(x)=10(x+1)+40x+1由函数单调性可知：MC（x）在1≤x≤9，x∈N*单调递增，∴当x＝9时，MC(（3）z(∴z(x)=(x+4x当x+4x=5时，即x2﹣5x﹣4＝0，解得∴当x＝4或x＝1时，z（x）min＝7（千万元）．【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19．（2024秋•广安校级期末）已知函数f（x）＝（a+1）x2﹣x+1．（1）若对∀x∈[1，3]，f（x）≥0，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）≤x2+ax的解集．【考点】解一元二次不等式；一元二次不等式恒成立问题．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【正确答案】（1）[−3（2）答案见解析．【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解，（2）根据a的取值分类讨论求解，解：（1）f（x）＝（a+1）x2﹣x+1≥0，因为x∈[1，3]，所以a+1≥−(令t=1x，则t当t=12，即x＝2时，ymax=所以实数a的取值范围为[−3（2）不等式f（x）≤x2+ax化简为ax2﹣（a+1）x+1≤0，a(当0＜a＜1时，1a＞1，当a＝1时，x＝1；当a＞1时，1a≤1，综上，当0＜a＜1时，解集为[1，1a]；当a＝1时，解集为{1}；a【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于中档题．20．（2024秋•西城区校级期末）在平面内，有m个椭圆和n条抛物线（m，n∈N*），任意两条曲线均存在公共点，且任意三条及以上的曲线无公共点．设所有公共点个数为V．这些公共点将椭圆和抛物线共分割为L条曲线段（或曲射线），上述图形将平面分割为S个互不连通的区域．如图，一个椭圆与一条抛物线相交，此时S＝4．已知对于任意m，n∈N*，V+S﹣L＝1成立．（Ⅰ）当m＝n＝1时，直接写出S的最大值及此时V和L的值；（Ⅱ）当m＝n＝2时，是否存在V，使得S＝25？若存在，求出V的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对于给定的m，n∈N*，设所有S的最大值为S（m，n）．当S（m，n）＝221+n时，试求出m+n的值．【考点】二次函数的性质与图象．【专题】阅读型；规律型；转化思想；分析法；函数的性质及应用；逻辑思维．【正确答案】（Ⅰ）Smax＝6，此时L＝9，V＝4；（Ⅱ）V＝22；（Ⅲ）m+n＝11．【分析】（Ⅰ）根据题意直接写出答案即可；（Ⅱ）（Ⅲ）根据题意进行递推即可求解．解：（Ⅰ）Smax＝6，此时L＝9，V＝4；（Ⅱ）设四条曲线分别为a1，a2，a3，a4，其中a1，a2为椭圆，a3，a4为抛物线．ai和aj的公共点个数为Vij，其中i，j∈{1，2，3，4}，且i＜j，则Vij∈{1，2，3，4}．所以V＝V12+V13+V14+V23+V24+V34，且a1，a2，a3，a4与其他三条曲线的公共点个数分别为V12+V13+V14，V12+V23+V24，V13+V23+V34，V14+V24+V34．所以a1，a2，a3，a4上的曲线段（或曲射线）条数分别为V12+V13+V14，V12+V23+V24，V13+V23+V34+1，V14+V24+V34+1．所以L＝2V+2．又因为V+S﹣L＝1，所以S＝V+3＝25，所以V＝22．其中Vab＝Vac＝Vad＝Vbc＝4，Vbd＝Vcd＝3时，上式成立．（Ⅲ）由题意，当有m个椭圆和n条抛物线时，每增加1个椭圆，至多增加ΔV＝4（m+n）个公共点，原有曲线上共增加4（m+n）条曲线段，新增椭圆被分割为4（m+n）条曲线段，所以新增ΔL＝8（m+n）条曲线段．因为V+S﹣L＝1，