排列高二下数学人教A版选择性必修第三册

6.2排列与组合6.2.1排列人教A版选择性必修三【学习目标】1.理解排列的概念.2.能正确写出一些简单问题的所有排列.3.理解排列问题与计数原理的关系.【素养达成】数学抽象逻辑推理数学抽象一、排列的定义过程1从n个__________中取出m(m≤n)个元素2按照一定的______排成一列结论叫做从n个__________中取出m个元素的一个排列【点睛】(1)排列的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”,二是“按照一定的顺序排列”.(2)排列是从一些不同元素中任取部分不同元素,这里既没有重复的元素,又没有重复抽取同一元素的情况.不同元素顺序不同元素二、两个排列相同的充要条件两个排列的______完全相同,且元素的__________也相同.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)排列的特点是先取后排.()提示:由排列的定义可知此说法正确.(2)“10位同学互通一封信”是排列问题.()提示:与顺序有关,是排列问题.元素排列顺序√√(3)2024,2025,2026与2025,2024,2026为同一排列.()提示:排列顺序不同,不是同一排列.(4)从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为甲乙,乙甲,甲丙,丙甲.()提示:从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为甲乙,甲丙,乙丙,乙甲,丙甲,丙乙.××师生共研·开素养之花类型一

排列的概念问题(数学抽象)【典例1】下列哪些问题是排列问题:(1)从10名学生中抽2名学生开会.(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别为对数的底数和真数,有多少个不同对数值?(3)北京、上海、深圳三个民航站之间的直达航线的飞机票.(4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员.【解析】(1)抽2名同学开会没有顺序,不是排列问题;(2)显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系,与顺序有关,是排列问题;(3)飞机票使用时,有起点和终点之分,故飞机票的使用是有顺序的,是排列问题;(4)每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,与顺序有关,属于排列问题.【总结升华】判断一个问题是否为排列问题的方法

提醒:交换两个位置看其结果是否有变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序.【即学即练】1.从3个不同的正数中取出2个:①相加;②相减;③相乘;④相除;⑤一个为被开方数,一个为根指数.则上述问题为排列问题的个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选B.排列与顺序有关,故②④⑤是排列.√2.下列问题是排列问题的是(

)A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛,共有多少种不同的选取方法B.10个人互相通信一次,共写了多少封信C.平面上有5个点,任意三点不共线,这5个点最多可确定多少条直线D.从1,2,3,4四个数字中,任选两个相乘,其结果共有多少种【解析】选B.对于A,8名同学中选取2名,不涉及顺序问题,不是排列问题,A错误;对于B,10个人互相通信,涉及顺序问题,是排列问题,B正确;对于C,5个点中任取3个,不涉及顺序问题,不是排列问题,C错误;对于D,4个数字中任取2个,根据乘法交换律知结果不涉及顺序,不是排列问题,D错误.√类型二

排列的列举问题(逻辑推理)【典例2】(易错·对对碰)(1)若A,B,C,D四名同学站成一排照相,要求自左向右,试将所有的站法列出来.(2)若A,B,C,D四名同学站成一排照相,要求自左向右,A不排第一,B不排第四,试将所有的站法列出来.【解析】(1)画出树状图如图:

由树状图可知,所有站法为ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA,共24种.(2)因为A不排第一,排第一位的情况有3类(可从B,C,D中任选一人排),而此时兼顾分析B的排法,列树状图如图.

所以符合题意的所有排列是BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA,共14种.【总结升华】用树状图法列举排列的关注点(1)适用范围:排列元素的个数不多;(2)策略:先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列.提醒:分类时要做到不重不漏.【即学即练】用红、黄、蓝3面小旗(3面小旗都要用)竖挂在绳上表示信号,不同的顺序表示不同的信号,试写出所有的信号.【解析】根据题意,所有的信号为:红黄蓝,红蓝黄,黄红蓝,黄蓝红,蓝红黄,蓝黄红.类型三

排列问题与分步问题(逻辑推理)【典例3】(一题多变)[母题](1)一张餐桌上有5盘不同的菜,甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜,共有多少种不同的取法?(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙、丙3名同学每人从中选一种,共有多少种不同的选法?【解析】(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理,不同的取法种数为5×4×3=60.(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种,有5种选法;再让同学乙从5种菜中选1种,也有5种选法;最后让同学丙从5种菜中选1种,同样有5种选法.按分步乘法计数原理,不同的取法种数为5×5×5=125.[变式1]母题(1)中,若甲、乙、丙三人在此餐桌吃饭,则这三个人吃的第一道菜的情况有多少种?【解析】第1步,确定甲吃的哪一道菜,有5种方法;第2步,确定乙吃的哪一道菜,有5种方法;第3步,确定丙吃的哪一道菜,有5种方法;由分步乘法计数原理得,不同的情况数为5×5×5=125.[变式2]母题(2)中,若学校食堂将这5种菜的菜名由上到下写在展示牌上便于学生选择,共有多少种写法?【解析】第1步,确定写在最上面的菜,有5种方法;第2步,确定写在从上面数第2个位置的菜,有4种方法;第3步,确定写在从上面数第3个位置的菜,有3种方法;第4步,确定写在从上面数第4个位