哈工大材料力学教案

PAGEPAGE6引论——材料力学教案教学学时2学时基本内容材料力学的基本任务、变形固体的基本假设、弹性体受力与变形应满足的三个关系、杆件受力与变形的基本形式教学目的掌握构件强度、刚度和稳定性的概念，明确材料力学这门课的基本任务和学习目的。深入理解变形固体基本假设的内涵和意义。准确理解分布内力的概念、弹性体受力与变形应满足的3个关系。掌握杆件四种基本变形的受力和变形特点。重点、难点重点：1、强度、刚体、稳定性的概念。2、变形固体的基本假设。3、分布内力应满足的静力平衡、变形协调与物理关系。难点：1、分布内力应满足的静力平衡、变形协调与物理关系。特别是变形协调关系。2、静力学原理与概念在材料力学中的可用性与限制性。教学思路重点1涉及材料力学的研究内容和任务，重点2表明材料力学的研究对象是理想弹性体（杆件），重点3是材料力学由外力系求分布内力（应力）这种静不定问题的基本研究方法。它们在材料力学理论系统中具有重要地位，并在实际应用中起重要作用。难点1属于概念上的难，应讲清概念及其相互联系。难点2属于应用上的难，其可用性与限制性与研究的具体内容有关。课外作业材料力学材料力学是应用力学的一个分支，是一门技术基础课，是以数学、物理、理论力学为基础的课，又是某些课的基础，如机械零件、结构力学、机床设计——主要研究构件在外力作用下的应力和变形。第一章引论§1-1材料力学概述材料力学的任务：材料的研究内容分属于两个学科。第一个学科是固体力学，既研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析。第二个学科是材料中的力学行为，即研究材料在外力和温度作用下所表现出的变形和失效行为，统称为材料的力学行为。以上两方面的结合使材料力学成为工程设计的重要组成部分，即设计出杆状构件或零部件的合理形状和尺寸，以保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。强度是指构件或零部件在确定的外力作用下，不发生破裂或过量的塑性变形；刚度是指构件或零部件在确定的外力作用下，其弹性变形或位移不超过工程允许范围；稳定性是指构件或零部件在某种受力形式（例如轴向压力）下，其平衡形式不会发生突然转变。材料力学研究方法：根据材料力学的研究任务，它的研究方法是理论研究和实验分析想结合的方法，缺一不可。§1-2变形体及其理想化在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体，而构件一般均由固体材料制成，所以构件一般都是变形固体。由于变形固体种类繁多，工程材料中有金属与合金，工业陶瓷，聚合物等，性质是多方面的，而且很复杂，因此在材料力学中通常省略一些次要因素，对其作下列假设：1．连续性假设：认为整个物体所占空间内毫无空隙地充满物质。2．均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同。3．各向同性假设：认为物体内在各个不同方向上的力学性能相同。4．小变形假设：在载荷作用下，构件的形状及尺寸发生变化称为变形，小变形：绝大多数工程构件的变形都极其微小，比构件本身尺寸要小得多，以至在分析构件所受外力（写出静力平衡方程）时，通常不考虑变形的影响，而仍可以用变形前的尺寸，此即所谓“原始尺寸原理”。符合假设1、2、3的构件称为理想变形体，符合小变形假设的理想变形体称为理想弹性体。这就是材料力学的研究对象。外力是外部物体对构件的作用力，包括外加载荷和约束反力。1.按外力的作用方式分为：体积力和表面力1）体积力：连续分布于物体内部各点上的力，如物体的自重和惯性力。2）表面力：作用于物体表面上的力，又可分为分布力和集中力。分布力是连续作用于物体表面的力，如作用于船体上的水压力等；集中力是作用于一点的力，如火车轮对钢轨的压力等。2.按外力的性质分为：静载荷和动载荷1）静载荷：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变动很不显著，称为静载荷。2）动载荷：载荷随时间而变化。动载荷可分为使构件具有较大加速度的载荷、交变载荷和冲击载荷三种情况。交变载荷是随时间作周期性变化的载荷；冲击载荷是物体的运动在瞬时内发生急剧变化所引起的载荷。§1-3弹性体受力与变形特征1．内力由于构件变形，其内部各部分材料之间因相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料间因力图恢复原有形状而产生的相互作用力，称为内力。注意：材料力学中的内力，是指外力作用下材料反抗变形而引起的内力的变化量，也就是“附加内力”，它与构件所受外力密切相关。2．截面法假想用截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。如图（图1-1）所示：（1）截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的内力；（2）被假想截开的任一部分上的内力必定与外力相平衡。FF1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布内力图1-1在外力作用下，如果弹性体变形仍然是弹性的，则应使弹性体各相邻部分，既不能断开，也不能发生重叠的现象，图1-2a中为从一弹性体中取出的变形前两相邻的部分，其中图1-2b、c所示两种情形是不正确的，只有图1-2d中所示的情形是正确的。这表明弹性体受力后发生的变形也不是任意的，而必须满足协调一致的要求。此外，弹性体受力后发生的变形还与物性有关，这表明受力与变形之间存在确定的关系，称为物性关系。图1-2a.变形前图1-2b.图1-2a.变形前图1-2b.变形不协调图1-2c.变形不协调图1-2d.变形协调一致图1-2§1-4工程结构与构件弹性体的几何分类：根据几何形状以及各个方向上尺度的差异，弹性体大致可分为杆、板、壳、体四大类。杆——一个方向的尺度远大于其他两个方向的尺度，这种弹性体称为杆(图1-3)。板——一个方向的尺度远小于其他两个方向的尺度，且各处曲率均为零，这种弹性体称为板（plate）(图1-4)。壳——一个方向的尺度远小于其他两个方向的尺度，且至少有一个方向的曲率不为零，这种结构称为壳（shell）(图1-4)。体——三个方向具有相同量级的尽度，这种弹性体称为体（body）(图1-4)。图1-3a.悬臂吊车架图1-3b.杆件的种类图1-3a.悬臂吊车架图1-3b.杆件的种类§1-5杆件受力与变形的几种形式杆件受力有各种情况，相应的变形就有各种形式，在工程结构中，杆件的基本变形只有以下四种：1．拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的，表现为杆件长度的伸长或缩短。如托架的拉杆和压杆受力后的变形（图1-5）。拉拉伸压缩图1-5剪切图1-62．剪切剪切图1-6扭转图1-73．扭转扭转图1-74．弯曲：变形形式是由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶引起的，表现为杆件轴线由直线变为受力平面内的曲线。如单梁吊车的横梁受力后的变形（图1-8）。弯弯曲图1-85.组合受力与变形：杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。组合受力组合受力图1-9小结本章主要介绍了：材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，最经济地为确定构件的合理形状和尺寸，选择合适材料，为构件设计提供必要的理论基础和计算方法。材料力学的研究方法根据材料力学的任务，材料力学的研究方法必然是理论分析与实验研究相结合的方法，缺一不可。材料力学的研究对象抓住事物的主要因素，撇开次要因素，对工程构件进行了抽象和理想化，提出了合理的力学模型，即材料力学的研究对象是理想弹性杆件。工程杆件的受力和几种基本变形的形式轴向拉压、剪切、扭转和弯曲是工程构件受力与变形的几种基本形式，本书将从一般到特殊再从特殊到一般的进行研究。

第二章杆件内力分析——材料力学教案教学学时8基本内容内力与内力分量，外力与内力的相依关系。内力图的绘制教学目的深入理解横截面上内力的概念，内力分量对应的基本变形,掌握根据变形规定的内力正负号规则。熟练掌握由截面法导出的由截面——侧外力求指定截面上的FN、Mx、FQ、、M的方法（截面—侧外力法）以及由M(x)、FQ(x)、q(x)的积分关系，求指定截面上FQ、、M的面积法。了解控制面的概念，熟练掌握基于平衡微分方程非无限接近两相邻控制面间内力图变化规律以及无限接近两控制面间内力图突变的规律。能熟练运用内力图变化的“两个规律”和求指定截面上内力的“两个方法”正确绘制内力图。重点、难点重点：1、求指定截面上内力的两个方法：侧面—侧外力法和面积法。内力图变化的两个规律：非无限接近两相邻控制面间内力图变化规律和无限接近的两控制面间内力图的突变规律。内力图的正确绘制。难点：1、内力符号规则。2、两无限接近控制面间内力图的突变规律。教学思路理论讲授与习题讨论相结合。课外作业第二章杆件内力分析§2-1内力与内力分量1.内力主矢与主矩无论杆件横截面上的内力分布如何复杂，总可以将其向该截面某一简化中心简化，得到一主矢和一主矩，二者分别称为内力主矢和内力主矩。2.内力分量图2-1a中所示以截面形心为简化中心的主矢和主矩。FRFR图2-1a分布内力向截面形心简化的主矢与主矩与几种基本变形对应的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量。图2-1b中所示的和分别为主矢和主矩在x、y、z轴三个方向上的分量。其中：或称为轴力，它与杆产生的轴向变形（伸长或缩短）相对应。、称为剪力，二者均与杆件产生的剪切变形相对应。称为扭矩,它与杆件产生的绕杆轴转动的扭转变形相对应。、称为弯矩,二者与杆件产生的弯曲变形相对应。FFRFNFQ图2-1b内力与内力分量MMxMMMMB3.内力分量的正负好规定为了保证杆件同一处左、右两侧截面上具有相同的正负号，不仅要考虑内力分量的方向，而且要看它作用在哪一侧截面上。于是，上述内力分量的正负号规则约定如下：轴力或————无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。剪力或————使杆件截开部分产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。弯矩或————作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。扭矩————扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。图2-2为 轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定的方向。FFQ(–)FQ(–)FQ(+)FQ(+)M(+)M(+)M(–)M(–)图2-2 轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定MM(–)§2-2外力与内力之间的相依关系1.弹性体的平衡原理弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用于弹性杆件而且适用于所有的弹性体，因而称为弹性体平衡原理。2.截面法确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法。图2-3（a）所示为任意受平衡力系作用的构件.为了显示并计算某一截面上的内力,可在该截面处用一假想截面将构件一分为二并弃去其中一部分.将弃去部分对保留部分的作用以力的形式表示,此即该截面上的内力。FP1FP2FRMMxMyMzyzFP1FP2FRMMxMyMzyzFQzFQyFN图2-3(b)x3.控制面为了表明杆件内力的一般规律,特引入,一段杆的两个端截面称为控制面。下列截面均可为控制面：如图2-4所示。集中力作用点两侧无限接近的截面。集中力偶作用点两侧无限接近的截面。分布荷载（集度相同）的起点和终点处截面。图2-4图2-44.杆件内力变化的一般规律应用截面法，不难证明，集中力作用点两侧两个无限接近的控制面剪力将发生突变，集中力偶作用点两侧无限接近的截面弯矩将发生突变。杆件两个相邻的非无限接近的控制面间的内力将分别按不同的函数规律变化。5.杆件内力变化的一般规律、和间的微分关系，将进一步揭示载荷、剪力图和弯矩图三者间存在的某些规律，在不列内力方程的情况下，能够快速准确的画出内力图。图2-5FQ+dFQFQMz(x)+dMz(x)Mz(x图2-5FQ+dFQFQMz(x)+dMz(x)Mz(x)xyOdxq(x)(b)C由解得(2-1)由略去二阶微量解得(2-2)将式(2-2)代入式(2-1)得(2-3)式(7-1)、(7-2)和(7-3)就是荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系。由此可知和分别是剪力图和弯矩图的斜率。根据上述各关系式及其几何意义，可得出画内力图的一些规律如下：q=0：剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。q=常数：剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。集中力FP作用处：剪力图在FP作用处有突变，突变值等于FP。弯矩图为一折线，P作用处有转折。集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图在力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。§2-3内力图1.轴力图当所有外力均沿杆的轴线方向作用时,杆的横截面上只有轴力一种内力分量FNo表示轴力沿杆轴线方向变化的图形,称为轴力图。用截面法求截面上的内力,为了无论取哪段，均使求得的同一截面上的轴力FN有相同的符号，则规定：轴力FN方向与截面外法线方向相同为正，即为拉力；相反为负，即为压力。例2-1图2-6a中所示直杆，B、C两处作用集中荷载F1和F2，其中B、C两处作用集中荷载F1和F2，已知F1=5KN,F2=10KN。作AC杆件的轴力图。图2-图2-6(a)(b)(c)(d)(e)解A处为固定端约束，作用有约束力。由0求得FA=5kN,方向向上。于是,A、C截面以及B处上、下两侧截面均为控制面，如图中虚线所示。A截面：截面：截面：C截面：建立FN-x坐标系，并将控制控制面上的轴力标在其中，得到a、b“、b‘、和c四点。因为AB以及BC之间，没有其他外力作用，故这两段轴力，各段分别各自相同。表面a点与b“点及b‘点与c点之间的轴力平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力图如图2-6e所示。由例子可见，杆的不同截面上有不同的轴力，而对杆进行强度计算时，要以杆内最大的轴力为计算依据，所以必须知道各个截面上的轴力，以便确定出最大的轴力值。这就需要画出轴力图。1.扭矩图对于受扭的轴，用截面法来求n—n截面上的内力，作用于其上的外力仅有轴向力偶矩矢，因其平衡，则作用于截面上的内力必合成为一力偶。杆件受到外力偶矩作用而发生扭转变形时，在杆的横截面上产生的内力称扭矩（Mx）或T单位：N·m或KN·m。符号规定：按右手螺旋法则将T表示为矢量，矢量方向与截面外法线方向相同为正；反之为负。例2-2图2-7（a）所示的传动轴的转速=300r/min，主动轮A的功率=400kW，3个从动轮输出功率分别为=120kW,=120kW,=160kW，试求指定截面的扭矩（N•m）图2-7图2-7解由,得=kN•m=kN•mkN•m如图2-7（b）。由Σ，解得kN•m如图2-7（c）。由Σ，解得kN•m如图2-7（d）。由Σ，解得kN•m由上述扭矩计算过程推得：任一截面上的扭矩值等于对应截面一侧所有外力偶矩的代数和，且外力偶矩应用右手螺旋定则背离该截面时为正，反之为负。例2-3试作出例7-2中传动轴的扭矩图。图2-8

图2-8解BC段：kN·mkN·mCA段:kN·mkN·mAD段:kN·mkN·m根据、、、、、的对应值便可作出图7-17(c)所示的扭矩图。及分别对应横截面右侧及左侧相邻横截面的扭矩。由例子可见，轴的不同截面上有不同的扭矩，而对轴进行强度计算时，要以轴内最大的扭矩为计算依据，所以必须知道各个截面上的扭矩，以便确定出最大的扭矩值。这就需要画扭矩图来解决。1.剪力图与弯矩图根据作用于梁上的已知载荷，应用有关平衡方程求出支座反力，然后将梁分段，并由各段内载荷的情况初步确定剪力图和弯矩图的形状，根据平衡条件，求出控制面上的内力值，便可画出全梁的剪力图和弯矩图。这种绘图方法称为简捷法。例2-4简支梁受力如图2-6a所示。试画出其剪力图和弯矩图，并确定二者绝对值的最大值和的值。解：1.确定支座处的约束力FFy=1.11kN(↑)FAy=0.89kN(↓)2.建立坐标系建立FQ-x、M-x坐标，分别如图2-9b和c所示。IKNm（a）（a）（b）（c）图2-93．选择控制面,并确定其上剪力和弯矩值在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，即图2-9a中所示A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。应用截面法和平衡方程,求得这些控制面上的剪力和弯矩值分别为：A截面：FQ=-0.89KN，M=0B截面：FQ=-0.89KN，M=-1335KNmC截面：FQ=-0.89KN，M=-0335KNmD截面：FQ=-0.89KN，M=-1.665KNmE截面：FQ=1.11KN，M=-1.665KNmF截面：FQ=1.11KN，M=0将这些值分别标在FQ-x和M-x坐标系中，便得到a、b、c、d、e、f各点，如图2-9b、c所示。4．根据平衡微分方程连图线因为梁上无分布荷载作用，所以FQ(x)图形均为平行于z轴的直线；M(x)图形均为斜直线。于是；顺序连接FQ-x和M-x坐标系中的a、b、c、d、e、f各点，便得到梁的剪力图与弯矩图，分别如图2-96b、c所示。从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为=1.11KN(在EF段)=1.65KNm(在D、E截面上)例2-5外伸梁受力如图2-7所示。试画出其剪力图与弯矩图，并确定和的值。图2-10解首先，由整体梁的平衡确定支座处约束力,如图所示。图2-101．确定控制面及其上的、M数值由于AB段上作用有连续分布荷载，故A、B两个截面为控制面，约束力右侧的C截面，以及集中力左侧的D截面，也都是控制面。应用截面法和平衡方程求得A、B、C、D四个控制面上的、M数值分别为：A截面：B截面：C截面：D截面：将其分别标在FQ-x和M-x坐标系中，得到相应的a、b、c、d各点，如图2-9c、d所示。2．根据平衡微分方程连图线对于剪力图：在AB段，因有均布荷载作用，剪力图为一斜直线,于是连接a、b两点，即得这一段的剪力图；在CD段，因无分布荷载作用，故剪力图为平行于x轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得。对于弯矩图：在AB段，因有均布荷载作用，图形为二次抛物线。又因为q向下为负，所以有<0，弯矩图为凸向坐标正方向的曲线。这样：AB段内弯矩图的形状便大致确定。为了确定曲线的位置，除AB段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有无极值点，以及极值点的位置和弯矩值。从剪力图上可以看出，在e点剪力为零。根据dM/dz=0，弯矩图在e点有极值点。利用FQ=0。这一条件，可以确定极值点e的位置xE。为了求xE，由图2-9b所示隔离体的平衡方程，可得由此解得将其标在M-x坐标系中，得到e点，根据a、b、c三点，以及图形为凸曲线并在e点取极值，即可画出AB段的弯矩图。在CD段因无分布载荷作用，故弯矩图为一斜直线，它由c、d两点直接连得。从图中可以看出：,注意到在右边支座处，由于约束力的作用，该处剪力图有突变(支座两侧截面剪力不等)弯矩图在该处出现折点(曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线的斜率)。由上述内力图可见，集中力作用处的横截面，轴力图及剪力图均发生突变，突变的值等于集中力的数值;集中力偶作用的横截面，剪力图无变化，扭矩图与弯矩图均发生突变，突变的值等于集中力偶的力偶矩数值。小结1、弹性杆横截面上的内力分量FN，Mx（或T），FQy，FQZ、My、Mz是横截面上分布内力向其形心简化的结果。2、指定截面上的内力主要用内截面法导出的截面一侧外力法，如对于梁，（截面外法线顺时针旋转900时与剪力方向相同为正，反之为负）（使梁向下凸为正，反之为负）还有所谓面积法：式中，A，B为梁内由左到右的两相邻截面。、分别为A、B两截面间分布载荷与剪力图的面积。力图、扭矩图可用“矢量顺时针转900法”、剪力图可用“矢量法”直接快速画出如例2－1：FA顺时针旋转900向右，从零开始沿FN轴突变5KN至a，再沿轴线画平行线至。F1顺时针旋转900向右，从突变5KN至。再沿轴线画平行线至c。F2顺时针旋转900向左，从c左突变10KN到x轴上，即为轴力图。又如例2-3，只需用右手定则将MB、MC、MA和MD表为矩矢，再都顺时针旋转900，再从坐标原点开始画图，直至在D截面向下突变MD=5.09KN·m线段落在x轴上为正，即完成了扭矩的绘制。再如例2-4，建立x－FQ坐标系后，从坐标原点（即A－截面）向下突变FAy值至a，力偶对FQ无影响，从a画与x平行的线至d（即D截面），向上突变2KN至+1.11KN的e点，再画水平行线至B－截面，再向下突变1.11KN到x轴上，剪力图绘制结束。最后看例2－5，只要注意从A－至B－间是连续分布的方向向下的载荷，便是一条向下的斜线，只要求出FQ（B）连线即可，其余同上例。4、有了载荷图、剪力图，由“两个变化规律”FQ＝0的截面处M图有极值以及求指定截面上M的“两个方法”，则不难正确绘制出弯矩图。

第三章弹性杆横截面上的正应力分析——材料力学教案学时6学时基本内容应力、应变及其相互关系；杆件横截面上的正应力分析，正应力公式的应用（拉压杆横截面上的正应力，平面弯曲正应力，斜弯曲正应力）。教学目的深入理解应力、应变的概念；熟练掌握虎克定律。理解从变形协调、物性与静力学三方面分析由内力求应力的材料力学基本方法。掌握横截面上正应力的一般表达式。熟练掌握拉压杆横截面上正应力、平面弯曲正应力、斜弯曲正应力的计算与分布规律。深入理解中性层和中性轴的概念。重点和难点重点：1）应力与应变的概念；虎克定律。2）正应力的一般表达式。3）、的分布规律与计算。4）中性层与中性轴的概念。难点：1）平面假设与变形协调方程。2）正应力一般表达式的应用。教学方法利用简单模型教具演示平面假设以建立变形协调方程。讲清正应力一般表达式中各代数量符号按坐标系确定，或根据由、、的实际方向在应力点所产生的的拉压性质确定。应安排习题讨论课。作业1，7，9，11，15，16弹性杆横截面上的正应力分析应用平衡原理可以确定静定问题中杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是杆件横截面上连续分布内力的简化结果。仅仅确定了内力分量并不能确定横截面上各点内力的大小。这是因为,在一般情形下分布内力在各点的数值是不相等的，因此，只有当内力在横截面上的分布规律确定之后，才能由内力分量确定横截面上内力在各点的数值。内力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间通过材料的物性关系相联系。因此，为了确定内力的分布规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法。§3-1应力、应变及其关系考察图3-1中杆件横截面上的微小面积ΔA。假设分布内力在这一面积上的合力为ΔFR则称ΔFR/ΔA为这一微小面积上的平均应力。当所取的面积趋于无穷小时，上述平均应力趋于一极限值。这一极限值称为横截面上一点处的应力)。这表明：应力实际上是分布内力在截面上某一点处的强弱程度，简称集度。工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。yyxzΔFQyΔFNFP1FP2FRΔFQzΔA图3-1ΔΔFQz1．正应力与切应力若将ΔFR分解为x、y、z三个方向上的分量ΔFRx、ΔFQy和ΔFQz，则根据应力定义，有（3-1），（3-2）式中，正应力σ垂直于横截面，称为正应力；τ位于横截面内，称为切应力。应力单位为Pa，工程上常用Mpa。2．正应变与切应变若围绕受力弹性体中的任意点截取一微元体(通常为六面体)，一般情形下微元体的各个面上均有应力作用。下面考察两种最简单的情形，分别如图3-2a、b所示。不难发现，在正应力作用下，微元沿着正应力方向和垂直于正应力方向将产生伸长和缩短，这种变形称为线变形。描写弹性体在各点处线变形程度的量，称为正应变或线应变，用表示：（3-3）式中，u为微元受力后相距dx的两截面沿正应力方向的相对位移。的下标表示应变方向。约定：拉应变为正；压应变为负。在切应力作用下，微元将发生剪切变形，剪切变形程度用微元直角的改变量度量。微元直角改变量称为切应变，用表示。在图3-2b中,。的单位为rad。3.线弹性材料的物性关系对于工程中常用材料制成的杆件，实验结果表明：若在弹性范围内加载(应力小于某一极限值)，对于只承受单方向正应力或承受切应力的微元，正应力与正应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系：（3-4）（3-5）E和G与材料有关的常数：分别为弹性模量，和切变模量。式（3-4）和(3-5)即为描述线弹性材料物性关系的方程，均可称为胡克定律。所谓线弹性材料是指弹性范围内加载时应力-应变满足线性关系的材料。§3-2杆件横截面上的正应力分析考察杆件横截面上只有轴力FN、弯矩My和Mz作用的情形（为导出横截面上的正应力一般表达式，FN、My和Mz的指向与相应坐标轴正向相同），如图3-3a所示。对应于这些内力分量，杆件横截面上将有什么应力？这种应力在截面上又是怎样分布的？不难看出，只有垂直于横截面的分布内力，经过简化才能得到上述内力分量。这表明此时横截面上只有正应力而没有切应力，并且正应力不会是均匀分布的。平面假设与变形谐调方程在FNx、My、Mz的共同作用下，杆件上dx微段的两截面将发生相对运动，产生位移。假定杆横截面位移后依然保持平面。这一假定称为平面假定。设微段一侧截面不动，根据平面假定，另一侧截面将发生三种位移：在FNx作用下沿x方向平行移动；在My和Mz作用下分别绕y、z轴转动。如图3-3b所示。三种位移的结果，横截面上任意点(y、z)的位移可以表示为（3-6）式中第1项由整个截面沿x方向的位移所引起；第2、3两项分别由绕z轴和y铀的转动所引起，如图3-4a和b所示。其中，和为dz微段两截面分别绕y轴和z轴相对转过的角度。方程(3-6)表明:在FNx、My、Mz作用下,各点的位移不能是任意的，只能从一个平面协调地移动到另一平面，故上述方程又称为变形协调方程。应变分布与应力分布对于直杆，微段上各处的纵向x长度在变形前均为dx，根据式（3－3）以及，由方程（3-6）得到横截面上任意点（x，y，z）的正应变为（3-7）图3-4图3-4(a)(b)其中，——轴向荷载引起的应变；——梁轴线在xz坐标平面内弯曲时的曲率半径；——梁轴线在xy坐标平面内弯曲时的曲率半径；对于确定的截面（x坐标确定），、、均为待定常数。应用物理关系，根据弹性范围内的胡克定律，由式（3-4）、（3-7），得到横截面上任意点（y、z）处的正应力为（3-8）上式表明：在轴力和弯矩作用下，杆件横截面上的正应力对于y、z都是线性分布，即在空间形成一应力平面。静力学平衡方程的应用——待定常数的确定作用在微元面积dA上的内力dA(图3-5a)及其对y、z轴之矩(dA)z、(dA)y分别在整个横截面上积分，便组成三个内力分量、、（图3-5b）。即(3-9)(3-10)(3-11)将方程（3-8）代入上述各式，经整理后得到（3-12）（3-13）（3-14）其中，，，分别为横截面对y、z轴的静矩(即截面一次矩)；横截面面积；横截面对于Y、z轴的惯性矩（即截面二次轴矩）和惯性积。对于给定的截面，这些量均为已知量。于是由式(3-12)、(3-13)和(3-14)联立，即可确定式(3一8)中的待定常数、和。正应力的一般表达式不难看出，求解上述联立方程过于繁琐。但是，如果选择合适的坐标原点和坐标轴，则式(3-15)中的某些量将取零值。注意到，在此之前，对于坐标系，只规定了坐标原点设在截面形心、x轴与杆件的轴线重合。根据本书附录A中关于截面几何性质的分析，当坐标轴通过截面形心时，截面对这些坐标轴的静矩为零。于是式(3-15)中的。若再将y、z取为形心主轴，则式(3-15)中的惯性积，且、皆为截面的形心主惯性矩。在坐标原点与坐标轴这种特定的选择下，由式(3-12)~(3-14)直接得到（3-16）（3-17）（3-18）将它们代人方程(3-8)，最后得到（3-19）这就是计算在FNx、My、Mz作用下，横截面上任意点处正应力的一般表达式。式中，FNx、My、Mz可由截面法求得；A为横截面面积；、分别为横截面对其形心主轴的惯性矩。除了正应力公式，上述分析还得出关于计算杆件轴向变形和位移的公式(3-16)与和曲率和分别表示在xz和xy坐标平面内杆件轴线的弯曲变形程度。上述各式中EA称为杆的拉压刚度；和分别称为杆在xz和xy两个平面内的弯曲刚度。§3-3正应力公式的应用实验结果表明,对于没有剪力作用的情形，正应力公式计算出的正应力值与实验值吻合得很好。当横截面上除了轴力和弯矩外，尚有剪力(FQy或FQz)存在时，横截面上除正应力外，还将有切应力存在，由此引起的切应变将使横截面在变形后不再保持平面。因此，由平面假定导出的正应力表达式(3-19)算出的应力值将与实验值有一定的误差。但是，对于细长的实心截面杆件，实验结果表明，这种误差是很小的，因而通常可以忽略不计。因此，对于细长实心截面杆件，应力表达式(3-19)不仅可以用于无剪力作用情形，而且也可以用于有剪力存在的情形，这样便大大拓宽了式(3-19)的适用范围。轴向载荷作用下杆件横截面上的正应力当杆件承受沿轴线方向的荷载作用时，称为轴向拉压，其横截面上只有轴力FNx一个内力分量。于是，由式（3-19），得到（3-20）这时横截面上的应力分布如图（3-6）所示。图3-6图3-62.平面弯曲正应力在内力分量My、FQz或Mz、FQy作用下，梁的轴线将在一个主轴平面（弯矩作用面，或者荷载作用面）内弯曲成一条平面曲线。因此，梁的这种弯曲又称为平面弯曲。这种情况下，式（3-19）将变为（3-21）或（3-22）在两种平面弯曲情形下，横截面上的正应力分布如图3-7a和b所示。图图3一7平面弯曲时梁横截面上的正应力分布(a)(b)不难看出，在两种情形下的最大正应力分别为（3-23）（3-24）其中，，（3-25）分别称为横截面的对于z轴和y轴的弯曲截面系数。表3一1中列出了几种常见截面的弯曲截面系数。关于轧制的型钢的截面二次轴矩和弯曲截面系数等几何量可由本书附录B型钢表中查得。3.斜弯曲的正应力当杆件的两个互相垂直的主轴平面内都有荷载作用(无纵向荷载)时，杆将在两个方向同时发生弯曲，这种弯曲称为斜弯曲或双向弯曲。这时梁的横截面上将同时作用有My和Mz(可能还会有FQy和FQz)。于是，由式(3-19)，这种情形下横截面上任意一点的正应力为（3-26）这时的正应力分布如图3-8所示。最大正应力作用点的位置需视截面的形状而定。图图3-8斜弯曲时横截面上的正应力分布4.中性轴的概念及其位置在平面弯曲和斜弯曲情形下，横截面与应力平面的交线上各点的正应力值均为零，这条交线称为中性轴。变形时，横截面将绕中性轴转动。所有截面中性轴组成的平面称为中性面。对于平面弯曲，截面的一对形心主轴之一必为某一平面弯曲的中性轴，如图3-7所示。（3-27）读者不难证明，无论是平面弯曲还是斜弯曲，中性轴都通过截面形心。5.偏心荷载概念对于横截面上同时存在FNx、My、Mz三个内力分量的情形(图3-9)，任意点的正应力由式(3-19)直接计算。这时横截面上可能存在中性轴，也可能不存在中性轴，主要取决于横截面上是否存在应力异号的区域，而这要视FNx、My、Mz的大小和方向而定。但是，只要FNx≠0。,即使横截面上存在中性轴，也一定不通过截面形心。当杆件承受不通过形心的纵向荷载时即属此例。这种荷载称为偏心荷载。图图3-9(a)(b)(c)上述分析对于横截面上同时存在FNx以及My、Mz之一的情形也是成立的。对于以脆性材料制成的杆件(例如混凝土柱)，承受偏心压缩时，由于其抗压性能优于抗拉性能(参见第7章§7-1)，因而通常不希望在横截面上出现拉应力。为此，对偏心压缩荷载(图3-9a、b所示分别为其所受荷载与内力分量)的加力点需有一定的限制。§3-4应用举例例题3-1开口链环由直径d=12mm的圆钢弯制而成，其形状如图3-10a所示。链环的受力及其他尺寸均示于图中。试求：1.链环直段部分横截面上的最大拉应力和最大压应力；图3-102.中性轴与截面形心之间的距离。图3-10解：1.计算直段部分横截面上的最大拉、压应力将链环从直段的某一横截面处截开，根据平衡，截面上将作用有内力分量FNx和Mz(图3-10b)。由平衡方程和，得FNx＝800N；Mz＝800×15×10－3＝12（N.m）由轴力FNx引起的正应力在截面上均匀分布(图3-10c)，其值为由弯矩Mz引起的正应力分布如图3-10d所示，最大拉、压应力分别发生在A、B两点，其绝对值为将上述两个内力分量引起的应力分布叠加，便得到由荷载引起的链环直段横截面上的正应力分布，如图3-10e所示。从图中可以看出，横截面上的A、B二处分别承受最大拉应力和最大压应力，其值分别为计算中性轴到形心之间的距离令FNx和Mz引起的正应力之和为零，即其中，y0为中性轴到形心的距离（图3-11e）。于是，由上式解得=0.6mm本题解题过程：先计算杆件的内力，然后针对各个基本变形计算杆件对应的应力，最后利用叠加原理计算某点的应力值。利用中性轴上正应力为零，以确定中性轴的位置。例题3-2图3-11a所示矩形截面梁,截面宽度b=90mm，高度h=180mmo梁在两个互相垂直的平面内分别受有水平力FP1和铅垂力FP2。若已知FP1=800N，FP2=1650N，l=1m，试求梁内的最大弯曲正应力并指出其作用位置。图3-11图3-11(a)(b)解：1.为求梁内的最大弯曲正应力，必须分析FP1和FP2所产生的弯矩在何处取最大值。不难看出，两个力均在固定端处产生最大弯矩，其作用方向如图3-11b所示。其中Mymax由FP1引起，Mzmax由Fp2引起，计算最大弯矩2.计算最大拉、压应力对于矩形截面，Mymax作用下最大拉应力和最大压应力分别发生在AD边和CB边；在Mzmax作用下，最大拉应力和最大压应力分别发生在AC边和BD边。在图3-11b中，最大拉应力和最大压应力作用点分别用"+"和"-"表示。于是点A：点B：对于等截面弯曲梁最大弯曲正应力一般发生在弯矩最大的截面上，当两个方向的最大弯矩都同时出现在同一个截面时，应用叠加法计算正应力时，必须是针对同一个点计算。例题3-2矩形截面木柱承受偏心荷载，如图3-12a所示。试求：确定任意横截面上A、B、D、E四点的正应力；确定截面上中性轴的位置画出横截面上的正应力分布图。图3-12图3-12(a)(b)(c)解：首先将外力Fp向截面形心和形心主轴简化。然后再确定ABDE截面上的内力分量，得My=[4.80×103×(60-35)×10-3]Nm=120NmMz=(4.80×103×40×10-3)Nm=192Nm内力分量的实际方向均示于图3-12b中。为计算应力，横截面面积和弯曲截面系数分别为：A=(120×10-3×80×10-3)m2=9.6×10-3m2Wy=(80×10-3×1202×10-6)/6=1.92×10-4m3Wz=(120×10-3×802×10-6)/6=1.28×10-4m3计算A、B、D、E四点的应力根据FNz、My、、Mz的实际方向，A、B、D、E四点的应力分别为点A：点B：点D：点E：计算上述诸式中各项应力时，由于已经根据FNx、My、Mz的实际方向确定了它们的拉、压性质，并以"+"或"-"加以反映，因此不必再考虑FNx、My、Mz的正负，即压缩正应力为弯矩My引起的最大弯曲正应力为弯矩Mz引起的最大弯曲正应力为利用上面的结果，对A、B、C、D四点的正应力叠加计算分别为σx(A)=-(0.5+0.625+1.5)×106=-2.625×106Pa=-2.625Mpa（a）σx(B)=(-0.5+0.625-1.5)×106=-1.375×106Pa=-1.375Mpa（a）σx(D)=(-0.5-0.625+1.5)×106=0.375×106Pa=0.375MPaσx(E)=(-0.5+0.625+1.5)×106=1.625×106Pa=1.625Mpa2.横截面上的正应力分布图与中性轴位置因为横截面上正应力为平面分布，故截面ABDE上的正应力分布如图3-12c所示。不难看出，在点A和D之间以及B和点E之间的正应力由负变正，其间必有一点上的正应力为零，分别用点H和G表示，两点的连线即为截面上的中性轴。于是，从应力分布图，得到如下关系：,(b)式中，EG=80mm–BG，HD=80mm-AH。最后由式(a)、(b)解出：BG=36.7mm，AH=70.0mm从而确定了中性轴的位置。小结1、应力与应变是材料力学中的基本概念2、由内力求应力的基本方法是基于平面假设的变形协调、由虎克定律表达的物理关系以及内力与应力间的静力学关系三方面分析，缺一不可。3、应用正应力一般表示式时，应注意：FNx为轴力，Mz和My为作用在形心主轴平面内的弯矩。在弹性范围内加载（仅承受轴力FNx的拉压杆除外）。坐标系原点与截面形心重合，x轴与杆件轴线重合，y、z为截面的形心主轴。（4）轴力矢、弯矩矩矢指向与相应坐标轴正向相同时为正，否则为负，y、z为截面内所求应力点的坐标。其中三项的正负号也可按在所求应力点产生的正应力的拉压性质确定。4、横截面上拉压正应力均布，弯曲正应力与斜弯曲正应力均呈线性分布，中性轴上各点正应力为零，最大拉应力与最大压应力分别在离中性轴最远的两侧各点上。

第四章弹性杆横截面上的切应力分析——教学方案学时6基本内容圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转变形特征，变形协调方程，物理关系，静力学关系。2、非圆截面杆扭转时横截面上的切应力，截面翘曲，切应力公式。教学目的了解外力偶矩与功率、转速间的关系。掌握圆轴扭转时横截面上的切应力公式及其应用。了解矩形截面杆扭转时截面上的应力分布规律。了解矩形截面梁、工字形截面梁的弯曲切应力的分布规律。掌握最大弯曲切应力的计算。重点、难点重点：圆轴扭转时横截面切应力公式的建立及其分布规律。难点：矩形截面梁弯曲切应力公式的推导。教学方法用简单模型教具演示圆轴扭转变形的平面假定。课外作业4，5，9，11第四章弹性杆横截面上的切应力分析对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩(Mx)或剪力(FQy或FQz)时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为切应力。分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同。对于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡方程。本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。§4-1圆轴扭转时横截面上的切应力工程上将传递功率的构件称为轴，且大多数情形下均为圆轴。当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时(图4-1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量，轴受扭时，其上的外扭转力偶矩Me（单位为Nm）与轴传递的功率P（单位为kW）和轴的转速n（单位为r/min）有如下关系：（4-1）不难看出，受扭后，轴将产生扭转变形，如图4-2b所示。圆轴上的每个微元(例如图4-2a中的ABCD)的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变，如图4-2c所示。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力(图中AB和CD边对应着横截面；AC和BD边则对应着纵截面)，分别用τ和表示。应用平衡关系不难证明：（4-2）这一关系称为切应力互等定理或切应力成对定理。平面假设及变形几何关系变形协调方程如图4-3a所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：(1)各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；图4-3(2)由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。图4-3平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。从图4-3a取出图4-3b所示微段dx,其中两截面pp,qq相对转动了扭转角d,纵线ab倾斜小角度成为ab’，而在半径()处的纵线cd根据平面假设，转过d后成为cd’,其相应倾角为（见图4-3c）。由于是小变形，从图4-3c可知：。于是（4-3）对于半径为R的圆轴表面（见图4-3b），则为（4-4）应用反对称性和反证法也可以从理论上证明：圆轴受扭后,其横截面依然保持平面,其上的各点只能在同一平面内转动，并且，受扭后圆轴横截面只发生刚性转动。通过扭转变形分析仍可以得到式（4-3），该式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的切应变与该点至截面中心之间的距离成正比。式(4-3)即为圆轴扭转时的变形协调方程。图4-42.物性关系剪切虎克定律图4-4若在弹性范围内加载，即切应力小于某一极限值时，对于大多数各向同性材料，切应力与切应变之间存在线性关系，如图4-4所示。于是，有(4-5)上式即为剪切虎克定律。静力学方程将式(4-3)代入式(4-4)，到（4-6）这表明，横截面上各点的切应力与点到截面中心的距离成正比，即切应力沿截面的半径呈线性分布（如图4-5，6），方向如图4-6a所示。作用在横截面上的切应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化的结果为一力偶，其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有（4-7）此即静力学方程。将式(4-6)代入（4-7）后，得到图4-5（4-8）图4-5其中，（4-9）为圆截面对其中心的极惯性矩。式（4-8）中的称为圆轴的扭转刚度。4.切应力表达式将式(4-8)代人式(4-6)，得到（4-10）此即圆轴扭转时横截面上任意点的切应力表达式，其中Mx由平衡条件确定。IP由式(4-9)积分求得(参见图4-6b中微元面积的取法)。对于直径为d的实心圆轴：（4-11）对于内、外直径分别为d、D的空心圆轴（4-12）从图4-5，6a中不难看出，最大切应力发生在横截面边缘上各点，其值由下式确定：(4-13)其中，（4-14）称为圆截面的扭转截面系数。对于实心圆截面和空心圆截面，分别有（4-15）（4-16）5.端部加载方式的影响以上讨论中忽略了轴端外扭转力偶矩的施加方式(是集中力偶还是位于端截面内的分布力偶；是均匀分布的分布力偶，还是与横截面上切应力分布相似的分布力系)。为了使轴两端之间所有横截面都保持平面并只产生刚性转动，外扭转力偶的施加方式应使两端面保持平面并只产生刚性转动。这种加载方式可以通过将外扭转力偶矩施加在与轴端固结的刚性板上而实现，如图4一7所示。在这样的加载方式下，前面所导出的公式可应用于轴全长的所有截面；否则，根据圣维南原理只适用于离端部稍远处的截面。图图4-7圆轴端部施加力偶的刚性板(a)(b)6.应用举例例题4-1实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图4-8所示。已知轴的转速n=100r/min，传递的功率P=7kW。若要求二者横截面上的最大切应力均等于40Mpa，且已知空心圆轴的内、外径之比α=0.5，试确定实心轴的直径和空心轴的外径。解：由于二者的转速和所传递的功率均相等，故二者承受相同的外扭转力偶矩，横截面上的扭矩也因而相等。根据图4-8图4-8求得 设实心轴的直径为d1，空心轴的内、外径分别为d2和D2。对于实心轴，根据 求得对于空心轴，根据 算得 二者的横截面面积之比为可见，如果轴的长度相同，在最大切应力相同的情形下，实心轴所用材料要比空心轴多。例题4-2图4-9所示传动机构中，功率从轮B输入，通过锥形齿轮将其一半传递给铅垂C轴，另一半传递给H水平轴。已知输入功率P1＝14kw，水平轴(E和H)转速n1=n2=120r/min；锥齿轮A和D的齿数分别为Z1=36，Z3=12；各轴的直径分别为d1=70mm，d2=50mm，d3=35mm，试确定各轴横截面上的最大切应力。3图4-9解3图4-9各轴所传递的功率分别为转速分别为 据此，算得各轴承受的扭矩：计算最大切应力：E、H、C轴横截面上的最大切应力分别为§4-2非圆截面杆扭转时横截面上的切应力截面翘曲——非圆截面杆扭转时的变形特征由于非圆截面杆不具有轴对称性质，故当杆的横截面转过一角度时，位于固定位置的观察者所看到的截面形状是不同的。因此，上一节关于横截面保持平面的结论将不再成立。试验结果表明：非圆(正方形、矩形、三角形、椭圆形等)截面杆扭转时，横截面外周线将改变原来的形状，并且不再位于同一平面内。由此推定，杆横截面将不再保持平面，而发生翘曲。图4-10a中所示为一矩形截面杆受扭后发生翘曲的情形。由于翘曲，非圆截面杆扭转时横截面上的切应力将与圆截面杆有很大差异。根据平衡得到重要结论图4-10(a)(b)(c)考察图4-10a中所示的受扭矩形截面杆上位于角点的微元(图4-10b)。假定微元各面上的切应力如图4-10c中所示。由于垂直于y、z坐标轴的杆表面均为自由表面(图4-10(a)(b)(c)根据切应力成对定理，角点微元垂直于x轴的面(对应于杆横截面)上，与上述切应力互等的切应力也必然为零，即采用类似方法，读者不难证明，杆件横截面上沿周边各点的切应力必与周边相切。于是，根据平衡分析，得到下列重要结论：●非圆截面杆扭转时，横截面上周边各点的切应力沿着周边切线方向。●有凸角的多边形截面杆，横截面上凸角点处的切应力等于零。矩形截面杆的扭转问题(c)图4-11(c)图4-11对于受扭转的矩形截面杆件，如图4-11a所示，杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图4-11b）。扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有切应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下（图14-11c）：1）边缘各点的切应力与周边相切，沿周边方向形成剪流。2）发生在矩形长边中点处，大小为：，（4-17）次大切应力发生在短边中点，大小为 （4-18）四个角点处剪应力。3）杆件横截面单位长度扭转角由下式计算（4-19）式中，G为材料的切变模量。其中系数与有关，可查表4-1。注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。当时，截面成为狭长矩形，此时，若以表示狭长矩形的短边长度，则式（4-17）和式（4-19）化为（4-28）其中，，此时长边上应力趋于均匀，如图4-12所示。实例如图4-13所示的曲拐。在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加载面处等）。此扭转称为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面上除扭转切应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示：（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口薄壁杆件约束扭转”专题；（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍按自由扭转处理。图4-13图4-12图4-13图4-12图4-14图4-14思考题：如图4-14a、b所示，开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为，横截面上的扭矩均为Mx。讨论开口圆环截面与闭环圆截面受扭转时横截面上最大切应力情况，并画出两种情况下，切应力沿厚度方向的分布。§4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有切应力。但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1．矩形截面梁对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力FQ。现分析距中性轴z为y的横线上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力FQ的方向一致。由于对称的关系，横线中点处的剪应力也必与FQ的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想线上各点切应力的方向皆平行于剪力FQ。又因截面高度h大于宽度b，切应力的数值沿横线不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪力FQ。图4-162）切应力沿截面宽度均匀分布。图4-16图4-15基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图4-16b所示。梁的横截面尺寸如图4-16c所示，现欲求距中性轴z为y的横线处的切应力。过用平行于中性层的纵截面自dx微段中截出一微块（图4-16d）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力。微块左右侧面上正应力的合力分别为和，其中图4-15（4-29）(4-30)式中，为微块的侧面面积，为面积中距中性轴为处的正应力，。由微块沿x方向的平衡条件，得（4-31）将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31），得 故因，故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力为（4-32）式（4-32）也适用于其它截面形式的梁。式中，为截面上的剪力；为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；为面积对中性轴的静矩。对于矩形截面梁（图4-17），可取，于是这样，式（4-32）可写成图4-17图4-17上式表明，沿截面高度剪应力按抛物线规律变化（图4-17）。在截面上、下边缘处，y=±,=0；在中性轴上，y=0，切应力值最大，其值为（4-33）式中A=bh,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的倍。2．圆形截面梁在圆形截面上（图4-18），任一平行于中性轴的横线aa两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力FQ，设为均匀分布，其值为最大。由式（4-32）求得图4-18（4-34）图4-18式中，即圆截面的最大切应力为其平均切应力的倍。3．工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（4-32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图4-19所示。最大剪应力在中性轴上，其值为图4-19图4-19式中（S）为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的可以从型钢表中查得。计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.95~0.97）FQ，因此也可用下式计算的近似值式中h为腹板的高度，d为腹板的宽度。§4-3弯曲中心1.切应力流对于薄壁截面，与剪力相对应的切应力具有下列显著特征：·根据切应力成对定理，若杆件表面无切向力作用，则薄壁截面上的切应力作用线必平行于截面周边的切线方向，并形成切应力流。·由于壁很薄，故切应力沿壁厚方向可视为均匀分布。由此可见，在薄壁截面上与剪力相对应的切应力可能与剪力方向一致，也可能不一致。如图4-20a所示。假定平面弯曲正应力公式成立所需的条件都得以满足，则采用考察局部平衡的方法，可以确定相关纵截面上切应力的方向，从而确定薄壁横截面在截开处切应力的方向，如图4-20b所示。据此，由切应力互等定理即可确定横截面上切应力流的方向。图4-20图4-202.弯曲中心对于薄壁截面，由于切应力方向必须平行于截面周边的切线方向，所以与切应力相对应的分布力系向横截面所在平面内不同点简化，将得到不同的结果。如果向某一点简化结果所得的主矢不为零而主矩为零，则这一点称为弯曲中心或剪力中心。以图4-21a所示的薄壁槽形截面为例，先应用式(4-32)分别确定腹板和翼板上的切应力和（图4-21b和c）分别为（腹板）（翼板）图4-21图4-21然后由积分求得作用在翼缘上的合力FT为作用在腹板上的剪力FQ仍由平衡求得。于是，横截面上所受的剪切内力如图4-21d所示。这时，如果将FT、FQ等向截面形心C简化，将得到主矢FQ和主矩M，其中M=FTh+FQe'，如图4-21e所示。若将FT、FQ等向截面左侧点O简化，则有可能使M=0。点O便为弯曲中心，如图4-21f所示。设弯曲中心O与形心C之间的距离为e，则表4-2中列出了几种常见薄壁截面弯曲中心的位置。对于具有两个对称轴的薄壁截面，二对称轴的交点即为弯曲中心。小结受扭圆轴的外扭转力偶矩经常要由所传递的功率及其转速换算而得。由受扭圆轴横截面上的内力扭矩求分布的切应力也须采用基于平面假设的变形协调条件、由虎克定律反映的物理关系与扭矩同切应力的静力学关系三方面分析的基本方法。圆轴扭转时，横截面上的切应力沿半径线性分布，并垂直于半径，圆心处切应力等于零，最大切应力在外表面处，计算公式为：非圆截面杆扭转时，截面发生翘曲，平面假设不再成立。对矩形截面杆，横截面周边上切应力与周边平行，最大切应力发生在长边的中点上。矩形截面梁的弯曲切应力公式为该式是在假设的基础上由平衡条件导出的。切应力大小沿矩形截面高度按二次抛物线规律变化，最大切应力在中性轴上各点，是平均切应力的1.5倍，即。 对于常见截面的最大弯曲切应力也都出现在中性轴上各点处。圆形截面，圆环截面，工字型截面（A为腹板截面积）。

第五章应力状态分析————材料力学教案教学学时8基本内容一点处应力状态的概念及其分类平面应力状态的应力坐标变换；正负号规则；微元局部平衡；应力坐标变换平面应力状态的应力圆；应力圆方程及其画法；对应关系；应力圆的应用主应力、主方向与面内最大切应力三向应力状态简介三组特殊方向面，三向应力状态应力圆，一点处的最大正应力与最大切应力广义虎克定律一般微元与主微元的广义虎克定律表达式及其应用弹性常数之间的关系。一般应力状态下的应变能密度总应变能密度，体积改变能密度与畸变能密度。教学目的掌握一点处应力状态的概念及其研究目的。掌握平面应力状态的应力坐标变换式及微元互垂面上正应力、切应力的关系。应力圆的画法、对应关系。掌握主应力、主方向与面内最大切应力的计算。了解三组特殊方向面与三向应力状态应力圆，掌握一点处的最大正应力、最大切应力的计算。掌握广义虎克定律及其应用。了解应变能密度、体积改变能密度与畸变能密度的概念和计算。重点、难点重点：一点处应力状态的概念、描述与研究目的；平面应力状态的应力坐标变换式与应力圆，主应力、主方向与面内最大切应力；广义虎克定律及其应用。难点：对构件内危险点处的最大切应力（）、第一主方向与最大切应力及其作用方位客观存在的理解。广义虎克定律的应用（解决应力分析与应变分析的工程实际问题）教学方法安排三次课堂讨论：材料破坏与应力状态的关系：塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的破坏形式为什么不同？塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的机械性能（屈服滑移线、颈缩、断口等）应力圆是否描述了一点的应力状态，包含了一点应力状态的各种信息？如何应用广义虎克定律解决应力分析和应变分析问题？课外作业第五章应力状态分析前面两章的分析结果表明，一般情形下杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还将证明，过同一点的不同方向面上的应力，一般情形下也是不相同的。因此，当提及应力时，必须指明"哪一个面上哪一点"的应力或者"哪一点哪一个方向面"上的应力。此即"应力的点和面的概念"。所谓"应力状态"又称为一点处的应力状态，是指过一点不同方向面上应力的集合。应力状态分析是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。与前几章中所采用的平衡方法不同的是，平衡对象既不是整体杆或某一段杆，也不是微段杆或其一部分，而是三个方向尺度均为小量的微元局部。此外，本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法，作为分析和思考问题的一种手段，快速而有效地处理一些较为复杂的问题，从而避免死背硬记繁琐的解析公式。§5-1一点处应力状态描述及其分类对于受力的弹性物体中的任意点，为了描述其应力状态，一般是围绕这一点作一个微六面体，当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时，六面体便趋于所考察的点。这时的六面体称为微单元体，简称为微元。一旦确定了微元各个面上的应力，过这一点任意方向面上的应力均可由平衡方法确定。进而，还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们的作用面。因此，一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其各面上的应力描述。图5-1中所示为一般受力物体中任意点处的应力状态，它是应力状态中最一般的情形，称为空间应力状态或三向应力状态。图5-1图5-1图5-2当微元只有两对面上承受应力并且所有应力作用线均处于同一平面内时，这种应力状态统称为二向应力状态或平面应力状态。图5-2中所示为平面应力状态的一般情形。当图5-2所示的平面应力状态微元中的切应力，且只有一个方向的正应力作用时，这种应力状态称为单向应力状态；当上述平面应力状态中正应力时，这种应力状态称为纯剪应力状态或纯切应力状态。不难分析，横向荷载作用下的梁，在最大和最小正应力作用点处，均为单向应力状态；而在最大切应力作用点处，大多数情形下为纯剪应力状态。同样，对于承受扭矩的圆轴，其上各点均为纯剪应力状态。需要指出的是，平面应力状态实际上是三向应力状态的特例，而单向应力状态和纯剪应力状态则为平面应力状态的特殊情形。一般工程中常见的是平面应力状态。§5-2平面应力状态的应力坐标变换1.正负号规定图5一3a、b、c中所示分别为平面应力状态微元以及任意方向上的受力图。图中θ为、坐标轴与x、y坐标轴之间的夹角，即Oxy坐标系旋转的角度。关于θ角以及各应力分量有下列正负号规则：图5-3图5-3θ角一一从x正方向反时针转至x‘正方向的为正；反之为负。正应力一一拉为正；压为负。切应力一一使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正；反之为负。图5一3中所示的角及正应力和切应力均为正；为负。2.微元的局部平衡为确定平面应力状态中任意方向面上的应力，将微元从任意方向面截为两部分，考察其中任意部分，其受力如图5-3b所示，假定任意方向的正应力，和切应力,均为正方向。于是，根据力的平衡方程，可以写出：