小学二年级数学下册《探究余数之谜：有余数的除法》单元整体教案

小学二年级数学下册《探究余数之谜：有余数的除法》单元整体教案

一、单元整体解读与设计理念

（一）单元知识结构与地位分析

“有余数的除法”是人教版小学数学二年级下册第六单元的核心内容，属于“数与代数”领域。本单元是在学生已经熟练掌握表内乘除法、理解了除法“平均分”含义的基础上，对除法运算意义的一次关键性拓展。它标志着学生从“整除”的理想化数学世界，迈向“非整除”的更具普遍性和现实性的数学世界，是整数除法认识过程中的一个重要转折点。

从知识脉络上看，本单元承上启下：

1.承上：直接建立在“表内除法（一）”、“表内除法（二）”的牢固基础上，是除法运算模型的自然延伸。

2.启下：为后续学习多位数除法（试商）、小数除法、分数意义以及同余、周期等更复杂的数学概念奠定坚实的认知基础和运算经验。

本单元的学习，不仅关乎一个具体运算技能的掌握，更是学生数感、运算能力、模型思想、应用意识等核心素养发展的关键契机。对“余数”这一新数学概念的理解，将深刻影响学生对整数系统的完整建构。

（二）学情分析与认知起点

二年级下学期的学生，具备以下认知特点与知识储备：

1.知识储备：能够熟练计算表内乘除法，理解除法的两种基本模型——“等分除”与“包含除”，具备用除法解决简单实际问题的能力。

2.思维特点：以具体形象思维为主，正逐步向抽象逻辑思维过渡。他们的学习依赖于直观操作和具身体验，需要通过“分一分”、“摆一摆”、“圈一圈”等活动积累丰富的感性经验。

3.潜在困难：首次接触“不能正好分完”的情况，容易产生认知冲突。对“余数”概念的理解，尤其是“余数为什么一定要比除数小”这一核心规律的发现与内化，是学习的难点。此外，在横式中书写商和余数，以及将生活语言（如“剩下”、“还剩”）转化为规范的数学语言“余数”，也需要一个适应过程。

（三）设计理念：基于深度学习的单元整体建构

本教案遵循“学生为主体，教师为主导”的原则，以建构主义学习理论和深度学习理念为指导，摒弃传统的“告知-训练”模式，致力于创设一个探究式、结构化、情境化的学习环境。

1.大概念引领：围绕“除法是从平均分物体中抽象出来的运算，当平均分后有剩余时，就产生了余数”这一核心大概念组织学习。

2.问题链驱动：通过一系列环环相扣、富有挑战性的核心问题（如：“全部分完和分后有剩余，有什么相同和不同？”“余数是怎么产生的？”“余数可以比除数大吗？为什么？”）激发学生的认知冲突，驱动深度探究。

3.操作与表征结合：设计多层次的操作活动（实物操作、模型操作、表象操作），并引导学生将操作过程用语言、图画、符号（横式、竖式萌芽）进行多元表征，促进概念的内化与抽象。

4.联系与迁移：将新知与旧知（表内除法）、与生活（周期现象、分配问题）、与未来学习（试商）建立广泛联系，构建知识网络，促进迁移应用。

二、单元学习目标与评价设计

（一）单元学习目标

基于课标要求与学科核心素养，制定如下多维学习目标：

1.知识与技能

1.在平均分物的具体操作活动中，经历“剩余”现象，理解余数及有余数除法的含义。

2.能根据平均分后有剩余的活动结果，正确列出有余数除法的算式，会读、写有余数的除法算式，认识余数。

3.通过操作、观察、比较、归纳等活动，发现并理解“余数比除数小”的规律。

4.掌握有余数除法的求商方法，能熟练地运用乘法口诀求商（试商），并正确计算简单的有余数除法。

5.初步学会用有余数除法的知识解决简单的实际问题，感受数学与生活的密切联系。

2.过程与方法

1.经历从现实生活或具体情境中抽象出数学问题的过程，积累“数学化”的经验。

2.在探索余数和除数关系、试商方法的过程中，发展观察、比较、分析、概括和推理能力。

3.通过解决实际问题，学会从数学角度发现和提出问题，并尝试运用所学知识分析和解决问题。

3.情感、态度与价值观

1.在探究“余数之谜”的过程中，体验克服困难、发现规律的乐趣，增强学习数学的自信心。

2.体会数学知识的严谨性（如余数比除数小的必然性），培养认真思考、仔细计算的学习习惯。

3.在解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值，培养初步的应用意识。

（二）评价设计（逆向设计）

为确保教学目标落地，采用“教学评一体化”设计，设计如下表现性评价任务：

评价目标维度

评价任务设计

评价方式与工具

理解余数概念

活动：“分糖果”操作与表达。提供不同数量的糖果和盘子，要求学生分一分，并用“我把（）颗糖，每（）颗一份（或平均分到（）个盘子里），分了（）份（每盘（）颗），还剩（）颗”的语言描述过程，并列出相应算式。

观察记录表、操作成果照片、学生语言记录分析。

掌握“余数<除数”规律

探究报告：用小棒摆正方形。记录用小棒摆独立正方形的情况（如：用8、9、10、11、12…根小棒），填写表格（小棒总数、摆几个正方形、还剩几根），引导学生观察、讨论并总结规律。

探究记录单、小组讨论观察、课堂提问。

计算能力（试商）

闯关游戏：森林探险。设置多层次计算关卡（如直接求商、最大能填几、判断对错并改正），限时完成。

计算练习单、在线互动平台即时反馈（如使用希沃课堂活动）。

解决问题能力

情境任务：“研学活动策划”。

1.乘车问题：45名师生乘车，每辆车限乘8人，至少需要几辆车？

2.物资分配：有23瓶水分给小组，每组5瓶，最多可以分给几个组？

3.彩旗布置：按照“红、黄、蓝”的顺序插彩旗，第17面是什么颜色？

任务解决报告（含列式、解答、单位、答语）、解题思路讲解（生生互评）。

单元综合素养

单元实践作业：“生活中的余数”调查报告。鼓励学生寻找生活中存在“有余数”现象的例子（如日历、包装、作息时间等），用文字、图画或照片记录，并尝试用数学式子解释。

实践作业评价量规（从发现、表述、数学化三个维度评价）。

三、教学资源与工具准备

1.教师用具：多媒体课件（嵌入互动环节）、磁性教具（圆片、小棒）、实物投影仪、学习任务单、板书设计磁贴。

2.学生学具包（每小组）：

1.3.实物操作材料：一袋围棋（或纽扣）（约20个）、4个塑料小盘子。

2.4.模型操作材料：一捆小棒（50根，可用棉签代替）、正方形框片（用于摆图形）。

3.5.记录工具：探究记录单、小白板、白板笔。

四、单元教学整体安排（共5课时）

1.第1课时：余数的意义——从平均分到有剩余的除法

2.第2课时：余数与除数的关系——深入探究“余数为什么比除数小”

3.第3课时：除法竖式（初步）——有余数除法的算法形式化

4.第4课时：解决问题（一）——运用有余数除法解决“至少”问题（进一法）

5.第5课时：解决问题（二）——运用有余数除法解决“最多”问题与周期问题（去尾法）

五、核心课时教学过程详案

第1课时：余数的意义——从平均分到有剩余的除法

【教学目标】

1.在具体分物的操作活动中，感受平均分物时“有剩余”的情况，理解余数的产生过程。

2.能用语言、算式表征平均分后有剩余的过程和结果，会读、写有余数的除法算式，认识余数。

3.在对比“全部分完”和“有剩余”的活动中，初步理解有余数除法的意义。

【教学重难点】

1.重点：理解余数的含义，会用有余数的除法算式表示平均分后有剩余的过程。

2.难点：将操作过程与除法算式建立联系，理解算式中每个数的含义，特别是余数的意义。

【教学过程】

（一）创设情境，引发认知冲突（预计用时：8分钟）

1.故事导入：“小熊的生日派对”。课件展示：小熊准备了6颗草莓，要平均分给它的2位好朋友。同学们，你能帮它分一分吗？

1.2.学生活动：用小圆片代表草莓，分一分。汇报：每只小熊分得3颗，正好分完。

2.3.教师引导：可以用什么算式记录？6÷2=3（颗）

。回顾：这是我们已经学过的“平均分”，正好分完。

4.制造冲突：这时，又来了1位朋友。现在有6颗草莓，要平均分给3位朋友，怎么分？

1.5.学生操作：动手分一分。汇报：每只小熊分得2颗，正好分完。算式：6÷3=2（颗）

。

6.核心问题提出：小熊一看草莓不够，又赶紧拿出了7颗草莓。现在，要把这7颗草莓，每2颗分给一位朋友（即每份2颗），可以分给几位朋友？

1.7.学生操作探究：用7个圆片，每2个一圈（或每2个放一堆）。

2.8.汇报发现：学生汇报：“可以分给3位朋友，还多出1颗。”

3.9.教师追问：这个“多出1颗”的情况，和我们刚才分6颗草莓时有什么不一样？

4.10.学生思考回答：以前是正好分完，这次分不完，有剩余。

5.11.揭示课题：像这样平均分东西，有时能正好分完，有时会有剩余。这个剩下的数，在数学上有一个新名字，叫做“余数”。今天我们就来研究“有余数的除法”。（板书课题）

【设计意图】从学生熟悉的“正好分完”的除法情境引入，通过增加物品数量，自然引出“分后有剩余”的现实情况，制造强烈的认知冲突，激发学生探究“剩余部分如何处理”的欲望，从而自然引出“余数”概念。

（二）操作探究，建构概念模型（预计用时：20分钟）

1.活动一：多元化表征，理解余数意义

1.2.任务：把7颗草莓，每2颗分给一位朋友，结果怎样？请用不同的方式表示出来。

2.3.学生小组合作：

1.3.4.方式1（实物）：摆出7个圆片，每2个一堆，摆出3堆，旁边单独放1个。

2.4.5.方式2（图画）：画出7个圆圈，每2个圈在一起，圈出3组，剩下1个不圈。

3.5.6.方式3（语言）：7颗草莓，每2颗一份，可以分给3位朋友，还剩1颗。

6.7.教师巡视指导，收集典型表征。

8.活动二：算式抽象，认识有余数除法算式

1.9.引导抽象：我们之前用除法算式6÷2=3

记录“正好分完”。现在，这个“分后有剩余”的过程，能不能也用除法算式来记录呢？

2.10.尝试与讲解：

1.3.11.分的总数是7，写在除号前面。7

2.4.12.每份是2颗，写在除号后面。7÷2

3.5.13.分的结果是分给了3位朋友，这个“3”叫“商”，写在等号后面。7÷2=3

4.6.14.关键问题：剩下的这1颗怎么办？它也是分的结果的一部分。数学家规定，在商的后面点上6个小圆点“……”（板书示范），然后把剩下的“1”写下来。7÷2=3……1

7.15.算式读写教学：

1.8.16.读法：这个算式读作“7除以2等于3余1”。（学生跟读、齐读、个别读）

2.9.17.认识各部分名称：7是被除数，2是除数，3是商，1是余数。（板书名称）

3.10.18.含义理解（结合操作）：这个算式表示“把7平均分，每份是2，可以分成3份，还余1”。同桌互相说一说算式的含义。

19.活动三：变式练习，深化概念

1.20.任务单操作：

1.2.21.有8个圆片，每3个一份，圈一圈。可以分成（）份，还剩（）个。算式：□÷□=□……□

2.3.22.有9个圆片，平均分成4份，分一分。每份（）个，还剩（）个。算式：□÷□=□……□

4.23.学生独立完成，小组交流。教师重点巡视“平均分成4份”的题目，引导学生理解“包含除”和“等分除”两种模型都可以产生余数。

5.24.对比讨论：观察8÷3=2……2

和9÷4=2……1

，说说算式中每个数是怎么来的？余数表示什么？（剩余的不够再分一份的数量）

【设计意图】本环节是概念建构的核心。通过“操作—表征—符号化”的完整过程，让学生亲历余数的产生，理解有余数除法算式的由来、写法、读法和意义。变式练习进一步巩固了两种除法模型下余数的意义，为完整建构概念打下基础。

（三）巩固内化，沟通联系（预计用时：10分钟）

1.基础练习（教材做一做）：用小棒摆正方形（三角形），观察并列出算式。

1.2.用8根小棒摆正方形，能摆几个？8÷4=2（个）

（无余数）

2.3.用9根小棒摆正方形，能摆几个？还剩几根？9÷4=2（个）……1（根）

3.4.用10根、11根、12根呢？学生快速操作并记录算式。

4.5.初步感知规律：在汇报中，教师有意将算式纵向排列，引导学生观察余数一列：“1，2，3，0，1，2…”并提出下节课的悬念：余数好像总是1、2、3，怎么没有4、5呢？余数和除数4有什么关系？

6.生活情境题：13个番茄，每4个装一盘，能装几盘？还剩几个？

1.7.学生独立列式解答：13÷4=3（盘）……1（个）

2.8.交流：这里的商3、余数1分别表示什么实际意义？单位名称怎么写？

【设计意图】练习设计层次分明。基础练习紧扣操作，在巩固新知的同时，为下节课探索规律埋下伏笔。生活情境题则促使学生将抽象的算式回归具体情境解释，深化理解，并规范解题格式。

（四）课堂小结，拓展延伸（预计用时：2分钟）

1.引导学生总结：今天我们认识了除法家族的一位新成员，它是谁？（余数）在什么情况下会出现余数？（平均分后有剩余）有余数的除法算式怎么写、怎么读？

2.延伸思考：余数是不是想是几就是几？它和除数之间会不会有什么秘密呢？我们下节课继续探索。

3.布置实践任务：回家找一找，生活中哪些地方有“平均分后还有剩余”的情况？说给爸爸妈妈听。

【板书设计】

有余数的除法（一）

平均分→有剩余

6÷2=3（颗）7÷2=3（位）……1（颗）

正好分完被除数除数商余数

读作：7除以2等于3余1

含义：把7平均分，每份2，分3份，剩1。

第2课时：余数与除数的关系——深入探究“余数为什么比除数小”

【教学目标】

1.通过大量操作、观察、比较有余数除法的算例，自主发现“余数比除数小”的规律。

2.理解“余数比除数小”的必然性，并能用“余数不够再分一份”来解释其原因。

3.能运用“余数比除数小”的规律判断有余数除法计算的初步合理性，并解决“（）里最大能填几”这类问题。

【教学重难点】

1.重点：发现并理解“余数比除数小”的规律。

2.难点：理解规律的必然性，即“余数如果等于或大于除数，说明还可以继续分”。

【教学过程】（重点环节简述）

（一）游戏激趣，提出问题

1.游戏“猜猜余数”：教师说一个除数（如5），学生快速报出一些可能出现的余数。学生可能会报出0,1,2,3,4,5,6…教师记录。

2.核心问题：在有余数的除法里，余数是不是可以是任何数？它和除数到底有什么关系？

（二）深度探究，发现规律

1.探究活动：用小棒摆五边形

1.2.任务：每组一捆小棒（20根左右），用5根小棒摆一个独立的五边形。从8根小棒开始，依次记录：总根数、摆的个数、剩余根数，并列出算式。

2.3.小组合作，填写记录单。

小棒总根数

摆几个五边形

还剩几根

除法算式

8

8÷5=（）……（）

9

10

11

12

13

14

…

4.观察比较，发现规律

1.5.各组汇报数据，教师将关键数据汇总到大表。

2.6.引导观察：纵向观察“还剩几根”（余数）这一列，你发现了什么？（余数总是1、2、3、4，出现0，但不会出现5、6、7…）

3.7.验证猜想：如果用15根、16根…去摆，余数会是5吗？为什么？学生解释：如果剩5根，就又可以摆一个五边形了，余数实际是0。

4.8.归纳规律：在有余数的除法里，余数都比除数小。（板书）

5.9.追问本质：为什么余数一定要比除数小？请结合摆小棒的过程说一说。（因为余数表示平均分后剩下的部分，如果剩下的部分大于或等于除数，就意味着还可以再分一份（或一个图形），分的过程就没有结束，余数就不应该是那个数。）

（三）应用规律，解决问题

1.判断改错：14÷3=3……5

对吗？为什么？怎么改？

2.（）里最大能填几（为试商做铺垫）：（）×6<57

4×（）<31

（思考：这其实就是找最大的商，使得余数比除数小）。

3.开放性推理：一个数除以6，商是4，余数可能是（）。当余数最大时，被除数是（）。

【设计意图】本课时是单元的逻辑高点。通过系统的探究活动，让学生自己从数据中归纳出核心规律，并通过“为什么”的深度追问，引导学生理解规律的数学本质，实现从“知其然”到“知其所以然”的跨越。应用练习则提升了思维的灵活性和深刻性。

(限于篇幅，第3至第5课时的详细过程将聚焦于核心活动与设计思路进行概述)

第3课时：除法竖式（初步）——有余数除法的算法形式化

1.核心设计：对比引入，建立横式与竖式的联系。以13÷4=3……1

为例，将分物的每一步与竖式的每一步对应起来。

1.2.分物过程：13根小棒，每4根一份。先分走多少？（4×3=12

），竖式中写12

（表示已经分掉的）。减法13-12=1

，得到余数1（表示剩下的）。

2.3.关键讲解：商“3”写在哪一位？（个位，和被除数的个位对齐）。余数“1”写在哪里？（最下面，和个位对齐）。强调书写规范。

3.4.理解检验：如何检查计算是否正确？除数×商+余数=被除数

。

5.活动：开展“竖式书写小医生”活动，辨析常见错误（如商的位置错、余数比除数大、忘记写余数等）。

第4课时：解决问题（一）——“至少”问题（进一法）

1.核心情境：22个学生划船，每条船最多坐4人，他们至少要租几条船？

2.探究策略：

1.3.理解关键词：“最多坐4人”、“至少租几条”的含义。

2.4.独立列式：22÷4=5（条）……2（人）

。

3.5.认知冲突：租5条船，还多2人，怎么办？这多出的2人需要再加1条船吗？

4.6.讨论决策：结合生活实际，为了所有人都能划船，剩下的2人也需要1条船（即使没坐满），所以需要5+1=6（条）

。

5.7.对比反思：这与以前单纯的求商有什么不同？为什么商是5，答案却是6？明确：要根据生活实际对结果进行“进一”处理。

8.变式巩固：运货物、装油桶等情境。

第5课时：解决问题（二）——“最多”问题与周期问题

1.PartA:“最多”问题（去尾法）

1.2.情境：一卷彩带长25米，做一朵花需要3米，这卷彩带最多能做几朵这样的花？

2.3.列式：25÷3=8（朵）……1（米）

。

3.4.讨论：余下的1米还能做一朵花吗？（不能）所以最多能做8朵。明确：要根据生活实际对结果进行“去尾”处理。

4.5.对比“进一法”与“去尾法”：组织学生讨论两种方法在什么情况下使用，决策的关键是什么？（看问题对剩余部分的要求）。

6.PartB:周期问题

1.7.情境：校园里挂起了彩灯，按“